■張文偉

三角恒等變換是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的必考內(nèi)容。三角恒等變換的公式多,如“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”“正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式”“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”“二倍角的正弦、余弦、正切公式”等,同學(xué)們要熟練掌握這些公式的正用、逆用和變形應(yīng)用,要掌握三角恒等變換的解題規(guī)律和解題技巧。下面舉例解讀這部分的常見典型考題,供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考。

題型一：三角函數(shù)公式的應(yīng)用

利用三角函數(shù)公式應(yīng)注意的三點(diǎn):(1)要注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和符號(hào)變化規(guī)律,如兩角差的余弦公式可簡(jiǎn)記為“同名相乘,符號(hào)相反”;(2)要注意同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用;(3)要注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用。

題型二：三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用

題型三：三角函數(shù)中的變“角”

題型四：三角函數(shù)中的變“名”

三角函數(shù)的名稱變換的關(guān)鍵是要明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系,常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式、弦化切或切化弦。轉(zhuǎn)化思想是三角恒等變換的主導(dǎo)思想,要從角的差異、函數(shù)名稱的差異、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異中,尋求聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。

題型五：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)遵循“三看”原則:一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式;二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”;三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助找到變形的方向,如“遇到分式要通分”。三角函數(shù)常見的基本變換方法有:異角化同角,異名化同名,異次化同次,降冪或升冪,“1”的代換,弦切互化等。

題型六：給角求值問(wèn)題

對(duì)于給角求值問(wèn)題,一般所給的角都是非特殊角,這時(shí)需要觀察所給角與特殊角之間的關(guān)系,利用三角變換轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)問(wèn)題。

題型七：給值求值問(wèn)題

解答給值求值問(wèn)題的三個(gè)基本步驟:(1)先化簡(jiǎn)所求式子或所給條件;(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系;(3)將已知條件代入所求式子,化簡(jiǎn)求值。

題型八：給值求角問(wèn)題

題型九：三角函數(shù)中的參數(shù)范圍問(wèn)題

求三角函數(shù)中的參數(shù)范圍問(wèn)題,主要涉及三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性等。

題型十：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合問(wèn)題

題型十一：三角函數(shù)與平面向量的綜合問(wèn)題

三角函數(shù)與平面向量的綜合問(wèn)題的求解思路:利用向量平行(共線)或垂直關(guān)系得到三角函數(shù)式,再利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn),最后結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)行求解。及對(duì)應(yīng)的θ值。

圖1

跟蹤訓(xùn)練11：已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0,π]。

(1)若a//b,求x的值。

(2)記函數(shù)f(x)=a·b,求函數(shù)f(x)的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的x值。