白瑞霞

（南京工業(yè)大學浦江學院，江蘇南京 211134）

0 引言

中值定理在數(shù)學分析起著重要的作用,而導數(shù)本質(zhì)上只反映函數(shù)在一點的局部特征，如果我們希望了解一個函數(shù)的整體特性，我們就必須在局部與整體之間建立某種聯(lián)系，而建立此聯(lián)系的橋梁正是作為核心的中值定理,同時也是探究函數(shù)在某個區(qū)間性質(zhì)的強有力的工具。微分中值定理不僅在理論上很重要，而且在我們?nèi)粘Ｉ钪械膽靡埠軓V泛。在這篇短文中，我們試圖對中值定理的應用做一個較為系統(tǒng)的闡述和總結(jié)，希望能夠拋磚引玉，對中值定理的研究和教學起到一定的參考作用。

1 微分中值定理

1.1微分中值定理的簡述

我們知道，羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理。它們之間有著密切的聯(lián)系，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，它們之間的具體關系我們可以用下面的例題來將它們聯(lián)系起來。

例1.1.1設f(x)，g(x)，

?

(x)在[a,b]內(nèi)可導，試證：存在ζ∈（a,b）使得

F

= 則Cauchy中值定理就變成Lagrange定理。從而Cauchy中值定理可視為Lagrange定理在表達形式上的推廣。

1.2 微分中值定理的推廣

前面我們已經(jīng)討論了中值定理之間的關系，接下來我們來看它們的推廣。從前面的內(nèi)容我們知道，這三個定理都要求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導。那么如果我們把定理中的閉區(qū)間推廣到無限區(qū)間，再把開區(qū)間推廣到無限區(qū)間的話，則這些定理是否還能滿足條件，或者我們能得出哪些相應的定理或結(jié)論呢？

通過討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區(qū)間推廣到無限區(qū)間上可以得到幾個相應的定理，本文在此只提到其中的一個，下面給出定理。

1.2.1 泰勒(Taylor)定理

若函數(shù)f在[a,b]上存在n階的連續(xù)導函數(shù)，在（a,b）上存在（n+1）階導函數(shù)，則對任意給定的x，x∈[a,b]，至少存在一個點ζ∈（a,b），使得

1.2.2 帶佩亞諾(Peano)型余項的泰勒公式

稱此式為(帶佩亞諾(Peano)余項的)麥克勞林公式。

1.2.3 帶拉格朗日型余項的泰勒公式

2 微分中值定理的應用

2.1 討論存在性

例2.1.2：設f(x)在[0,1]上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導，且f(1)=0，求證：存在ζ∈（a,b），使

2.2 利用Lagrange中值定理證不等式[3]

例2.4.1利用微分中值定理證明：

2.3 證明恒等式及等式

2.4 求近似值

幾個微分中值定理給出了計算近似值減少誤差的方法，若能構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，利用具體的中值定理就能得出近似值。

當要求的算式不能得出它的準確值時，即只能求出其近似值,這時微分中值定理是解決這種問題的最好方法。

3 微分中值定理的應用總結(jié)

上述我們已經(jīng)詳細的給出了微分中值定理的一部分應用，另外微分中值定理還有求行列式的值、求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值、求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式、判斷函數(shù)的極值等的應用，我們就不在這里一一舉例。