【關(guān)鍵詞】量子計算? 物質(zhì)量子比特? 邏輯量子比特? 拓?fù)淞孔颖忍?/p>

【中圖分類號】O413? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標(biāo)識碼】A

【DOI】10.16619/j.cnki.rmltxsqy.2021.07.004

引言

在人類發(fā)展的歷史長河中，數(shù)次工業(yè)革命極大地改善了人類的生活、生產(chǎn)條件。第一次工業(yè)革命是以蒸汽機為引擎，第二次工業(yè)革命主要是以電力為能源的大規(guī)模生產(chǎn)模式，現(xiàn)在我們正處在信息革命中，晶體管是我們的引擎。盡管這次工業(yè)革命方興未艾，但是下一次工業(yè)革命已經(jīng)萌芽。這即將來臨的工業(yè)革命將是以量子技術(shù)為基礎(chǔ)，所以實際上量子計算機只是這次量子革命當(dāng)中一個比較突出的技術(shù)而已。第一次量子革命是理論的建立，第二次量子革命將把量子理論轉(zhuǎn)化為量子技術(shù)，從而釋放出量子現(xiàn)象的潛能，指數(shù)級地改善計算速度、助推科學(xué)技術(shù)進步。量子計算機首先是一種量子眼鏡，正如望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡賦予人類探索遙遠(yuǎn)星際和微觀世界的新能力，量子計算機會讓我們感受到量子世界的豐富多彩。建造量子計算機不可避免但又困難重重，從現(xiàn)在到可擴展通用量子計算機還有很遠(yuǎn)的路要走。建造可擴展通用量子計算機現(xiàn)在應(yīng)該正處于科學(xué)和工程的交接當(dāng)口。

量子計算是量子信息科學(xué)的一部分，本文不會涉及包括量子通信在內(nèi)的其他部分。廣義的計算已經(jīng)滲入社會的每一個層面，從而使計算速度和信息儲存成為計算機發(fā)展的頸瓶。量子計算機不僅會大大提高計算速度，也會帶來計算理論的一次范式革命。但即使大規(guī)模量子計算機建成，在很長時間內(nèi)也不會全面取代現(xiàn)在的計算機，就像飛機的出現(xiàn)并沒有讓汽車消失。第一，長期內(nèi)，量子計算機會非常昂貴;第二，對于大多數(shù)計算，現(xiàn)在的計算機已經(jīng)綽綽有余;第三，量子計算機現(xiàn)在僅僅對某些特殊的問題有超快的算法。

經(jīng)過科學(xué)家?guī)资甑呐?，量子計算機的建造終于到了一個拐點時刻：量子霸權(quán)的發(fā)表（后面解釋怎么回事）[1]。但這并不意味著可擴展通用量子計算機的出現(xiàn)就在眼前。建造大規(guī)模量子計算機是一個從微觀到宏觀、從低溫到常溫、從科學(xué)到技術(shù)的復(fù)雜工程問題。量子計算機本身是一個矛盾體，一方面要把量子比特從環(huán)境中完全孤立出來，另一方面要讓它們有可控的相互作用，還有很多科學(xué)技術(shù)工程方面的困難問題有待解決，但這并沒難倒科學(xué)家們。

量子計算的信息單位是量子比特。量子比特是所有擁有兩個經(jīng)典態(tài)的量子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)抽象，是具有二維希爾伯特空間量子系統(tǒng)的統(tǒng)稱。典型的例子是電子自旋——電子不僅可以自旋向上或向下，也可以是它們的任何線性疊加。

量子計算機是很多量子比特的多體系統(tǒng)。描述量子計算機最粗淺的說法是有多少量子比特，但更重要的是量子比特的精確度。另外，量子比特又分物質(zhì)量子比特和邏輯量子比特。物質(zhì)量子比特沒有糾錯機制，而邏輯量子比特能夠主動在計算過程中不斷地糾正足夠小的隨機錯誤。物質(zhì)量子比特的建造就是控制一個物理系統(tǒng)兩個經(jīng)典態(tài)的疊加。它的實現(xiàn)五花八門，最領(lǐng)先的是超導(dǎo)和離子阱。而邏輯量子比特的實現(xiàn)極其困難，只有在物質(zhì)量子比特造得足夠多、足夠精確時才可以考慮，我們目前已經(jīng)能夠考慮造邏輯量子比特。在這方面，微軟獨樹一幟：拓?fù)淞孔佑嬎悴蛔鑫镔|(zhì)量子比特，因為拓?fù)淞孔颖忍貞?yīng)該等同于邏輯量子比特。但拓?fù)淞孔颖忍嘏c邏輯量子比特思路不同：邏輯量子比特是按量子糾錯思路，相當(dāng)于軟件糾錯，拓?fù)淞孔颖忍夭恢鲃蛹m錯，而是利用拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)的特有剛性避免局部錯誤，使計算不受破壞。

目前建成的是大約一百個物質(zhì)量子比特的沒有糾錯機制的量子計算機。因為不能糾錯，所以不能精確地大規(guī)模計算，目前還沒有找到解決實際問題的應(yīng)用。另外還有幾百甚至上千個量子比特的量子模擬機，但業(yè)內(nèi)人士并沒形成共識：這些模擬機是否利用了量子現(xiàn)象，也不清楚是否超越了現(xiàn)有計算機。

量子計算的理論與歷史

從四千年前的算盤到現(xiàn)在的手機，信息處理的原理都是基于比特，也就是像投硬幣有兩個結(jié)果的隨機過程。量子比特是經(jīng)典比特在量子力學(xué)里的體現(xiàn)，用到線性疊加和糾纏原理，所以理論是完全不同的，這個我們后面討論。

為什么我們要考慮量子計算？第一，摩爾定律已近極限。經(jīng)典計算機現(xiàn)在差不多到了經(jīng)典技術(shù)的極限，進入量子世界?，F(xiàn)在晶體管的尺寸大約3～7納米，在這個尺寸里量子現(xiàn)象已經(jīng)非常重要了。芯片技術(shù)需要解決的一個重要問題就是要散熱，即使不做量子計算，在如此微觀的量子世界里，量子力學(xué)也必須考慮在內(nèi)。第二，量子計算從理論上看有巨大的超算能力。和現(xiàn)在最好的經(jīng)典計算辦法相比，例如分解數(shù)因子，量子計算有指數(shù)級增長的優(yōu)勢[2]。很多秘密基于數(shù)因子的分解對經(jīng)典計算機而言是很難破解的假設(shè)。如果存在大規(guī)模的量子計算機，這些秘密將不再安全。第三，量子計算機在理論上是可行的。如果量子理論在大規(guī)模量子計算理論中的應(yīng)用還成立，那么理論上量子計算機就是可以實現(xiàn)的。

什么是量子計算？量子計算的想法可以溯源到物理學(xué)家費曼（Feynman）1959年的一次飯后講話：微觀世界還有足夠多的余地[3]。隨后這一領(lǐng)域有很多非常重要的進展，但是真正引起人們注意的是1994年數(shù)學(xué)家秀爾（P. Shor）給出的一個量子分解數(shù)因子的高效算法[4]。秀爾的算法證明用量子計算機可用隨位數(shù)呈多項式增長的運算次數(shù)實現(xiàn)分解大數(shù)，而不是現(xiàn)在人們相信的指數(shù)增長。這是一個非常了不起的計算機算法結(jié)果，但很快有人指出這個結(jié)果只是數(shù)學(xué)家的定理而已，因為誰也造不出來量子計算機。量子力學(xué)有個“未知不能復(fù)制”的原理：一個未知量子態(tài)是不可能隨便完全復(fù)制一份的。這不像我們經(jīng)常做的，如果拿到一篇即使不懂的數(shù)學(xué)文章，還是可以復(fù)印一份，但這在量子世界里做不到，經(jīng)典計算理論里的簡單重復(fù)糾錯的辦法在量子世界里是不可行的。數(shù)學(xué)家是很聰明的，1995年，秀爾做了另外一項工作，他發(fā)現(xiàn)，在量子計算里還是可以有糾錯的辦法[5]。因此，大約在1996年的時候基本上已經(jīng)證明：理論上是可以造出大規(guī)模量子計算機。量子糾錯這個工作非常重要，奠定了建造可擴展通用量子計算機的理論基礎(chǔ)，我也是從1996年開始研究量子計算的。

從某種意義上講，任何一個量子物理實驗室都有一種量子比特，但能否用它做量子計算機則是一個完全不同的問題。谷歌用超導(dǎo)體做了一個6乘9方塊的量子芯片，本來是54個量子比特，但有一個壞掉了，所以就是53個可以計算的量子比特。他們的文章宣布做到了所謂的“量子霸權(quán)”[6]——證明存在一個量子計算機只需三分種就能解決的問題，而世界上最好最快的超級計算機估計也要一萬年。當(dāng)然，科學(xué)實驗一定要能被別人重復(fù)，到現(xiàn)在為止別人還沒有能重復(fù)。假設(shè)有別人能重復(fù)，那就證明量子計算是一種新的計算模型，而這種新模型是基于量子力學(xué)理論的。

畢達哥拉斯說過，任何事情都可以用數(shù)來代表。這個觀點在計算機理論里表現(xiàn)為任何一個問題的解決都可以變成一個函數(shù)的計算：輸入的是一個數(shù)，算出的答案也是一個數(shù)。什么是計算模型呢？每一個物理理論都能給出一個計算模型。選定一個物理理論，然后給我一個數(shù)，把這個數(shù)變成這種理論里物理系統(tǒng)的一個態(tài)，這個物理系統(tǒng)就會隨著時間的流失而演化，這個演化的過程就是計算的過程，停下來的時候物理狀態(tài)給出一個數(shù)，就是計算結(jié)果。當(dāng)然停下來的時候要剛好停在給出答案的狀態(tài)上。所以，計算模型就像一個黑匣子，把經(jīng)典力學(xué)放進去就是經(jīng)典計算模型——圖靈機。我們現(xiàn)在用的計算機模型都是基于經(jīng)典物理。如果在黑匣子里放進量子力學(xué)，計算模型就是量子計算。

量子現(xiàn)象怪誕不可思議，所以各種解釋說法都有，由此而建立的量子力學(xué)是一次物理革命。一個重要原因在于量子力學(xué)在微觀世界里給我們一種新的存在狀態(tài)的描述。量子力學(xué)最重要的原理是量子疊加。在經(jīng)典世界中，例如，要描述我的位置，可以說：11月16號下午6點鐘，王正漢在北京。如果在量子世界中，那我可能在宇宙當(dāng)中任何一個地方出現(xiàn)。我的量子態(tài)就在宇宙里每一個我能出現(xiàn)的地方寫下一個復(fù)數(shù)，全部復(fù)數(shù)的絕對值平方加起來要等于1。這就是量子力學(xué)很不同的地方，即任何經(jīng)典上可能的狀態(tài)都可以成為線性疊加中的一員。一個具體例子就是著名的“雙夾縫實驗”，如果你躲在雙夾縫屏幕背后，有人用一支電子槍打你，什么地方是最安全的？ 如果電子是一個經(jīng)典的粒子的話，顯然是兩個縫中間的背后最安全。然而，電子不是經(jīng)典的，電子是量子的，你認(rèn)為安全的地方是最不安全的。實驗發(fā)現(xiàn)：兩個縫中間背后是最容易被打中的，就是因為量子線性疊加原理。雙夾縫實驗存在各種解釋，但是量子力學(xué)給出了最科學(xué)的解釋。在雙夾縫實驗里每個電子有兩個態(tài)，一個態(tài)是電子可以從左邊的縫過去，另一個態(tài)可以從右邊過去，兩種可能可以作線性疊加，所以才會出現(xiàn)匪夷所思的現(xiàn)象。谷歌的實驗證明可以有2的53次方這么多東西疊加在一起。2的53次方是9007199254740992。這個數(shù)字有多大？全世界所有美元加起來都比這個數(shù)小的多。在巨大的數(shù)字之下，量子力學(xué)還成立是一件了不起的事情。

量子力學(xué)還有一個更加怪誕的“量子糾纏”，愛因斯坦稱之為“幽靈般的行為”。如果一個量子系統(tǒng)有很多子系統(tǒng)，我們不好說這個子系統(tǒng)處在怎樣一個狀態(tài)之下，因為只有整體才有所謂的“純態(tài)”。只描述子系統(tǒng)的狀態(tài)要失掉很多關(guān)于整體態(tài)的信息，這就是所謂“量子糾纏”。

量子力學(xué)的動態(tài)行為也是完全不同的。第一，一個量子態(tài)是很多經(jīng)典態(tài)的疊加，所以當(dāng)時間演變時，所有經(jīng)典態(tài)都同時跟著演化;第二，量子態(tài)有所謂的量子隧穿效應(yīng)。假設(shè)有一個粒子，沒有足夠的能量爬到山頂上，那么在經(jīng)典世界里，這個粒子就到不了山的另一邊。但在量子世界的粒子就有可能過得去。這實際上是“時間能量測不準(zhǔn)原理”的一個應(yīng)用。另外，還有所謂“隱性傳輸”：一個量子系統(tǒng)的狀態(tài)一方面是由那些粒子構(gòu)成，另一方面是這些粒子怎么形成的這個態(tài)。量子隱性傳輸?shù)腄NA，也就是這些粒子怎么造出這個態(tài)的信息，而不是傳輸這些粒子物質(zhì)。

量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述用的是希爾伯特空間，也就是復(fù)線性代數(shù)。任何一個物理系統(tǒng)都有可能被一個希爾伯特空間表示，每一個態(tài)對應(yīng)于希爾伯特空間里面的一條線。時間演化是通過酉算子在態(tài)上的作用實現(xiàn)，相當(dāng)于是薛定諤方程的解。

用量子計算解決一個問題，就是計算一個函數(shù)。首先就是要把輸入數(shù)表達在一個量子系統(tǒng)狀態(tài)上，然后按照量子力學(xué)時間演化，通過測量結(jié)束的態(tài)得到計算結(jié)果。量子力學(xué)測量的時候會出現(xiàn)概率，這就是為什么量子計算結(jié)果會是概率性的。量子力學(xué)不是最精確的物理理論，量子場論更精確。那么把量子場論放在黑匣子里面會得到什么樣的計算模型呢？大多數(shù)人認(rèn)為得不到新的計算模型，也就說用量子場論得到的計算模型跟量子力學(xué)是一回事，也是量子計算。這只是一個猜想，也是我做量子計算的原因。如果考慮特殊的拓?fù)淞孔訄稣摚@是我跟弗里德曼（M. Freedman）和基塔耶夫（A. Kitaev）證明的一個定理[7]，從這個角度看，也可以理解為什么量子計算困難。現(xiàn)實世界的材料遵循的是量子場論，所以建造量子計算機是在用量子場論模擬量子力學(xué)。

為什么量子計算能算得更快？計算復(fù)雜性根本上是一個熵的問題，難的是因為有很多不同的選擇，有很多選擇就有所謂的熵。用經(jīng)典計算機找到答案，要把每個可能性都試一遍。在量子力學(xué)里，可能性的計算可以并行，因此，量子計算會快是有道理的。53個量子比特的量子態(tài)是一個巨大數(shù)9007199254740992，這么多經(jīng)典狀態(tài)的疊加，每一個狀態(tài)都有一個復(fù)數(shù)加權(quán)，取這個數(shù)絕對值平方就得到一個9007199254740992樣?xùn)|西的概率分布。谷歌采樣這樣的概率分布，僅用200秒。IBM認(rèn)為，大概三天就能做得到。但第一，IBM這是一個理論結(jié)果;第二，要用到巨大的足球場大小的外部儲存;第三，要用世界上最快的經(jīng)典計算機。即使IBM是對的，比這樣的計算機快1000倍也是某種量子霸權(quán)了。谷歌的量子霸權(quán)目前還沒有實際應(yīng)用價值，僅僅是科學(xué)技術(shù)上的進步。

量子計算機有沒有什么真正好的應(yīng)用？前文說過，我個人覺得即使沒有別的，僅僅可以讓我們對量子世界有真正的感覺這一條就非常值得了。當(dāng)然還有很多別的可能，例如，開發(fā)新材料、新醫(yī)藥，解決氣候問題等。

量子計算機的建造與現(xiàn)狀

建造量子計算機最大的困難在于量子系統(tǒng)非常脆弱，容易發(fā)生退相干：由于誤差的不斷積累，量子性丟失，成為經(jīng)典態(tài)。怎樣控制誤差也成為量子計算成功與否的關(guān)健。目前有兩種思路：一是計算過程中隨時糾錯，二是依靠特殊材料能夠不受某些誤差的破壞。隨之量子計算建造也分成兩派：一派微軟獨此一家做拓?fù)淞孔佑嬎悖玫酵負(fù)湮镔|(zhì)形態(tài);另一派則是分兩步走，第一步要造非常精確的物質(zhì)量子比特，第二步做量子糾錯，造出邏輯量子比特。目前，物質(zhì)量子比特最多最好的是谷歌用超導(dǎo)體做的53個物質(zhì)量子比特。目前還沒有拓?fù)淞孔颖忍兀矝]有邏輯量子比特。量子計算要真正改變世界一定要實現(xiàn)可擴展通用?？蓴U展是指我們可以在可期的未來不斷地增加量子比特的個數(shù)。通用是指我們可以通過不同軟件解決各種問題。領(lǐng)域共識是指可擴展通用量子計算的建造一定需要邏輯量子比特或者拓?fù)淞孔颖忍亍?/p>

為了區(qū)別于拓?fù)淞孔佑嬎?，我們把分兩步造量子計算稱為傳統(tǒng)量子計算。傳統(tǒng)量子計算的第一步已有近30年的歷史，進步遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出很多專家的預(yù)期。目前，超導(dǎo)量子計算已很接近可以走第二步的精度。超導(dǎo)量子計算準(zhǔn)備實現(xiàn)的量子糾錯碼是一種拓?fù)浼m錯碼[8]。除了超導(dǎo)量子計算，還有離子阱、電子自旋、光子，等等。超導(dǎo)量子計算也有不同的設(shè)計。除了高精度的要求，傳統(tǒng)量子計算可擴展也非常艱難。一個邏輯量子比特目前估計要上百個高質(zhì)量的物質(zhì)量子比特。

拓?fù)淞孔佑嬎愕南敕▉碜杂谖业牟┦可鷮?dǎo)師弗里德曼和基塔耶夫[9]。拓?fù)淞孔佑嬎阈枰业椒浅Ｌ厥獾耐負(fù)湮镔|(zhì)形態(tài)。如果有，就可以從“真空”里邊生成一些非交換任意子，做一個辮子的操作讓它們演變。我和弗里德曼、拉森（M. Larsen）證明至少理論上存在一種任意子，可以作通用量子計算[10]。跟別的量子計算比較就在于拓?fù)淞孔佑嬎阒苯舆M入第二步。拓?fù)鋵嶋H上是一種整體幾何。一個典型的例子是歐拉示性數(shù)。每一個曲面都有一個歐拉示性數(shù)，是一個整數(shù)。這個整數(shù)可以寫成一個曲率的積分，曲率可以隨意變，但積分總和必須是整數(shù)。這個歐拉示性數(shù)描述的就是拓?fù)湫再|(zhì)：局部的可以任何變化，但是整體變不了。因為很多錯誤、誤差都是局部的，但這個拓?fù)湫再|(zhì)是整體的，所以表述在拓?fù)湫再|(zhì)里的信息是免疫的：不會被局部的錯誤、誤差破壞。微軟要實現(xiàn)的非交換任意子現(xiàn)象叫馬耶拉納（Majorana）零模。

拓?fù)淞孔颖忍氐慕ㄔ煲环N是用人造拓?fù)洳牧?，一種是用天然拓?fù)洳牧?。天然拓?fù)洳牧现饕欠謹(jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的二維電子系統(tǒng)[11]。人造的主要是半導(dǎo)體和超導(dǎo)體混合成的納米線[12]。但目前都沒能確定非交換任意子的存在，因此也就還沒有拓?fù)淞孔颖忍?。如果有，理論上拓?fù)淞孔佑嬎闶强蓴U展的。目前，世界主要國家都投入了巨大的財力、人力建造量子計算機。美國起步很早，在離子阱、超導(dǎo)和拓?fù)淞孔佑嬎愕阮I(lǐng)域明顯領(lǐng)先。加拿大和澳大利亞幾乎和美國同時長期投入，效果顯著。歐洲的國家起步晚些，近幾年也加大投資力度。建造通用大規(guī)模量子計算機是一個長期的點滴積累的過程，需要全世界科學(xué)家們默默無聞、堅持不懈地辛苦耕耘，而大量人力財力支持也會加快其進程。

量子計算從一開始就面對很多反對的聲音，但大多的理由并不科學(xué)，屬于“我怎么都不信”一類。另一類是基于計算復(fù)雜性理論，但計算復(fù)雜性理論并不適用于現(xiàn)實實驗，因為現(xiàn)實里的計算機并不完全符合理論模型的極限。我們知道量子態(tài)的波函數(shù)不可能無限精準(zhǔn)——測不準(zhǔn)原理，所以可擴展通用量子計算不能實現(xiàn)也是有可能的。如果量子計算不能實現(xiàn)是因為量子理論需要修正，這個結(jié)局同樣重要。

量子比特里的世界

現(xiàn)實物理世界是量子的，量子態(tài)的個數(shù)是指數(shù)增長的。要深刻認(rèn)識和控制量子現(xiàn)象需要模擬量子世界，但經(jīng)典計算機是不可能做到的，因為三百個量子比特用到的經(jīng)典態(tài)的數(shù)目已經(jīng)超出了可見全宇宙里原子的個數(shù)。拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)里經(jīng)常有上千個電子，它們的量子態(tài)就是上千個量子比特。因此，只有用量子計算機模擬量子世界才是可行的。量子技術(shù)的潛力無法預(yù)測，但毫無疑問會深刻地影響量子計量、量子化學(xué)、先進材料、納米成像等領(lǐng)域，會加速室溫超導(dǎo)體的發(fā)現(xiàn)，幫助設(shè)計無毒染料，提供發(fā)明碳匯和改進化肥催化劑的方向。

量子計算隨之帶來的軟件革命同樣深刻。全新的軟件人才的培養(yǎng)和教育，全新的編程語言、操作系統(tǒng)和框架，現(xiàn)在的小量子計算機可以當(dāng)作量子儀器用于量子教育。量子世界與人類屬不同世界，只有通過不斷地模擬才會產(chǎn)生真正的量子直覺?；诮?jīng)典物理的科學(xué)技術(shù)為人類生活帶來了天翻地覆的變化，改變?nèi)祟惷\的航空、通信、醫(yī)藥等行業(yè)如何繼續(xù)發(fā)展遭遇空前挑戰(zhàn)。許多問題的解決都需要全新的辦法，量子技術(shù)雖然尚未起步，但無疑提供了無數(shù)的可能。

量子計算機將成為人類進入量子世界的門戶，但是我們現(xiàn)在看到的量子世界很難分清是“明月光”還是“地上霜”。工具的建造與使用是人類的特性，量子計算機的建造是人類發(fā)展中的新篇章。無論量子計算機建造成功與否，量子技術(shù)的革命都會極大地推進科學(xué)與技術(shù)的進步，為人類帶來福祉。量子思想的影響也會延伸到邏輯學(xué)等領(lǐng)域，從而改變數(shù)學(xué)等自然科學(xué)的基礎(chǔ)，為人類發(fā)掘量子世界的秘密提供新的語言和工具。

注釋

[1][6]Arute， F.， et al.， "Quantum Supremacy Using a Programmable Superconducting Processor"， Nature， 574.7779 （2019） pp， 505-510.

[2][4]Shor， P. W.， "Polynomial-time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer"， SIAM review， 41.2 （1999）， pp. 303-332.

[3]Feynman， R. P.， "There's Plenty of Room at the Bottom： an Invitation to Enter a New Field of Physics"， Handbook of Nanoscience， Engineering， and Technology， CRC Press， 2018， pp. 26-35.

[5]Shor， P. W.， "Scheme for Reducing Decoherence in Quantum Computer Memory"， Physical Review A， 52.4 （1995）： R2493.

[7]Freedman， M. H.; Kitaev， A. and Wang， Z. H.， "Simulation of Topological Field Theories by Quantum Computers"， Communications in Mathematical Physics， 227.3 （2002）， pp. 587-603.

[8]Fowler， A. G.， et al.， "Surface codes： Towards practical large-scale quantum computation"， Physical Review A， 86.3 （2012）： 032324.

[9]Rowell， E. and Wang， Z. H.，" Mathematics of Topological Quantum Computing"， Bulletin of the American Mathematical Society， 55. 2 （2018）， pp. 183-238.

[10]Freedman， M. H.; Larsen， M. and Wang， Z. H.， "A Modular Functor Which is Universal for Quantum Computation"， Communications in Mathematical Physics， 227.3 （2002）， pp. 605-622.

[11]Wan， X.; Wang， Z. H. and Yang， K.， "From the Fractional Quantum Hall Effect to Topological Quantum Computation"， Physics（Beijing）， 42.8 （2013）， pp. 558-566.

[12] Lutchyn， R. M.， et al.， "Majorana zero modes in Superconductor–Semiconductor Heterostructures"， Nature Reviews Materials， 3.5 （2018）， pp. 52-68.

責(zé) 編/張 曉

王正漢，加州大學(xué)圣塔巴巴拉分校數(shù)學(xué)教授和微軟量子研究所首席研究員。研究方向為量子數(shù)學(xué)，拓?fù)湮锢?，和拓?fù)淞孔佑嬎?。主要著作有《Topological Quantum Computation》《A Modular Functor Which is Universalfor Quantum Computation》等。