徐 征，張 弓?，汪火明，侯至丞，楊文林，梁濟民，王 建，顧 星

1) 廣州中國科學院先進技術(shù)研究所機器人與智能裝備中心，廣州 511458 2) 中國地質(zhì)大學機械與電子信息學院，武漢 430074

準確的機器人動力學模型是搭建仿真模型，驗證先進控制算法和對控制系統(tǒng)進行深度分析的基礎(chǔ)[1-2].隨著對機器人動態(tài)性能要求的提高和協(xié)作機器人概念的興起，常規(guī)無模型控制方法，如PID算法不僅軌跡跟蹤精度較低，抗干擾能力較差，尤其無法實現(xiàn)碰撞檢測、柔順控制等人機交互功能[3].

對于多軸串聯(lián)機器人進行動力學建模一般會考慮重力、科里奧利力、慣性力和摩擦力等主要因素，但是對于較復(fù)雜的特性，例如減速機柔性、連桿彈性、摩擦力隨工況的變化、電機轉(zhuǎn)子慣性力等，較少建立其數(shù)學模型[4-5]，從而導(dǎo)致計算力矩與實際力矩誤差較大，阻礙了協(xié)作機器人碰撞檢測、拖動示教和柔順控制的良好實現(xiàn).有學者對此進行了研究，文獻[6-8]各自建立了摩擦特性模型并提出了針對性的補償方法，也有采用機器學習方法的，如利用反向傳播（Back propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9]和徑向基函數(shù)（Radial basis function，RBF）網(wǎng)絡(luò)進行擬合或補償[10-11]，有些也提出了對應(yīng)的控制方法[12]，但鮮有研究對各種復(fù)雜特性綜合起來考慮的.

對于參數(shù)辨識技術(shù)，有解體測量計算方法[13-14]、解體實驗測量法[15-16]、不解體實驗測量方法[17-18]和理論辨識[19]等方法.解體方法無法或難以計算機器人關(guān)節(jié)特性[20]，理論辨識法得到的慣性張量矩陣在任意形位上不一定是正定的，實際中也不可能存在，其控制也不穩(wěn)定[21].

為此，本文提出利用深度循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對協(xié)作機器人動力學模型進行誤差補償，首先建立動力學方程，然后采用不解體實驗測量方法結(jié)合最小二乘法對其中參數(shù)進行辨識.接著，針對協(xié)作機器人的未建模特性或建模不精確的問題，采用深度循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行補償，以減小動力學模型誤差并提高力矩預(yù)測精度.最后在實驗中，以電機電流等效作為關(guān)節(jié)力矩信號，把電機電流和電機常數(shù)的乘積作為輸出軸力矩，同時結(jié)合摩擦力模型計算得到機器人關(guān)節(jié)的輸出力矩，代替價格高昂且安裝不便的力矩傳感器，以完成補償方法的實驗驗證.

1 協(xié)作機器人動力學模型

本研究基于自主研發(fā)的六自由度協(xié)作機器人，圖1和圖2分別為其三維模型圖和Denavit-Hartenberg（D-H）模型圖，從圖中可以看到軸 2、3、4的相互平行，逆運動學存在封閉解.考慮重力、科里奧利力、慣性離心力和摩擦力，采用歐拉-拉格朗日法計算關(guān)節(jié)力矩，得到機器人剛體動力學方程：

圖 1 協(xié)作機器人三維模型圖Fig.1 3D model of the collaborative robot

圖 2 協(xié)作機器人D-H模型圖Fig.2 D-H structure of the collaborative robot

式中：q為關(guān)節(jié)角向量；為關(guān)節(jié)角速度向量；為關(guān)節(jié)角加速度向量；M(q)為機械臂慣性矩陣；H(q,)為離心力和科里奧利力矩陣；G(q)為重力矩陣；τf為摩擦力項.

機器人關(guān)節(jié)的減速機、軸承等帶來的摩擦影響較大[15]，導(dǎo)致角速度換向處，即在速度零點附近，計算力矩相對實際誤差較大.針對該現(xiàn)象，采用Stribeck摩擦力模型對關(guān)節(jié)摩擦機械建模，其摩擦力矩為：

式中：D為 黏滯摩擦系數(shù)矩陣；μ為庫倫摩擦系數(shù).

綜合式（1）和（2），可以得到方程：

故方程（1）可改成如下線性形式：

式中：Φr為重組后的觀測矩陣；θr為最小慣性參數(shù)集向量.

對于模型精度，本文以預(yù)測力矩（計算力矩）相對于實際測量力矩的均方根誤差作為評價標準.若均方根誤差較小，則說明模型精度高，反之則精度較低.

2 激勵軌跡生成

不解體實驗測量方法需要驅(qū)動機器人運動以獲取數(shù)據(jù)，考慮到計算精度和實驗可行性，機器人運動軌跡即激勵軌跡需要滿足多種條件.六軸機器人動力學運算復(fù)雜度高，在辨識后三軸的動力學參數(shù)時可以鎖定前三軸單獨實驗，辨識的難度大大降低，更具針對性且減小了運算量[16].限于篇幅和運算量，本文僅對協(xié)作機器人末端軸4至軸6的動力學參數(shù)進行了辨識和研究.實驗采用傅里葉級數(shù)前五項，即式（5）作為激勵軌跡.由于是周期函數(shù)，便于重復(fù)多次進行該實驗，同時與驅(qū)動器通信采集位移、速度和電流等信息.

式中：qi(t)∈Rn為關(guān)節(jié)i在關(guān)節(jié)空間中的軌跡關(guān)于時間t的函數(shù)；ωf是基頻；qi,0(t)∈Rn為常量偏移；每條軌跡包含11個參數(shù)，即ai,k，bi,k，qi,0和ωf=1.

激勵軌跡的優(yōu)劣與觀測矩陣抑制噪聲的能力和其病態(tài)性息息相關(guān)，直接影響辨識參數(shù)的精度，這里通過觀測矩陣W的條件數(shù)來定義目標函數(shù)：

式中：Cond(W)=σmax(W)/σmin(W)，σmax(W)和σmin(W)分別為W的最大和最小奇異值.

目標函數(shù)值越小，則辨識參數(shù) θ對測量誤差的敏感度越低，實驗辨識得到的參數(shù)精度就有可能更高.同時還要考慮實際機器人有運動性能的限制，以運動范圍、起始和停止階段的速度和加速度為約束，則該激勵軌跡優(yōu)化問題可描述為：

式（8）是一個非線性多約束的優(yōu)化問題，可以采用NSGA等目標優(yōu)化算法[22]對其進行優(yōu)化，得到優(yōu)化后的激勵軌跡如圖3所示.三張圖中，橫軸均為時間，縱軸依次為角位移，角速度和角加速度.從圖中可以看出，軌跡變化平滑，起止點均為零，運動幅值較大，但也未超出限制范圍，該優(yōu)化后的激勵軌跡將用于第4節(jié)的實驗研究.

圖 3 參數(shù)辨識所用激勵軌跡.（a）位移；（b）速度；（c）加速度Fig.3 Excitation trajectory for parameter identification: (a) position; (b) velocity; (c) acceleration

3 深度循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差補償

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Recurrent neural network，RNN）是一類用于處理序列數(shù)據(jù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中的長短期記憶（Long short-term memory，LSTM）單元網(wǎng)絡(luò)相比于普通的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，解決了早期RNN網(wǎng)絡(luò)存在的長時期依賴，梯度爆炸和梯度消失等問題[23-24]，在對歷史信息的保留和對未來信息的預(yù)測上有較大進步.本研究將進一步探索LSTM在機器人動力學方面的應(yīng)用.

機器人運動學和動力學數(shù)據(jù)在時間上連續(xù)相關(guān)，且摩擦力的記憶特性和電機參數(shù)隨溫度變化帶來的時變特性，采用LSTM網(wǎng)絡(luò)可以很好地補償這些因素.本研究采用具有細胞狀態(tài)和門控結(jié)構(gòu)的LSTM細胞單元以期實現(xiàn)較好的補償效果.

如圖4所示，LSTM細胞單元增加了細胞狀態(tài)向量C和相關(guān)的門控結(jié)構(gòu)，以控制遺忘和記憶的方法較好地解決了普通RNN Cell存在的梯度爆炸和梯度消失問題.其前向運算過程為：

圖 4 LSTM隱含層細胞結(jié)構(gòu)Fig.4 LSTM cell of hidden layer

式中：σ為 sigmoid函數(shù)；ft為遺忘門輸出量；Wf，Wi、WC和Wo依次為遺忘門、輸入門、更新狀和輸出門狀態(tài)參數(shù)；bf，bi、bC和bo依次為遺忘門、輸入門、更新狀和輸出門狀態(tài)的偏移量；C和h分別為細胞輸出向量和隱含狀態(tài)，x為輸入向量，i和為細胞更新狀態(tài)中間變量，o為輸出門中間變量，以上各變量下角標為時間序列編號.

LSTM網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程采用是隨時間反向傳播算法 (Back propagation trough time，BPTT)，與經(jīng)典的反向傳播算法類似，包括前向計算、反向計算、計算梯度、更新參數(shù)等步驟.

其中基于梯度的優(yōu)化算法種類眾多，本文選用適應(yīng)性動量估計(Adaptive moment estimation，Adam)算法[25].該算法是一種有效的基于梯度的隨機優(yōu)化方法，能夠?qū)Σ煌瑓?shù)計算適應(yīng)性學習率且占用存儲資源較少，相比于其他隨機優(yōu)化方法，Adam算法在實際應(yīng)用中整體表現(xiàn)更優(yōu).

綜上所述，提出如圖5所示的技術(shù)框架，包括LSTM網(wǎng)絡(luò)、數(shù)據(jù)集的產(chǎn)生、網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練手段等.其中網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出層為全連接網(wǎng)絡(luò)，隱含層由LSTM細胞單元組成，其中x為分批數(shù)據(jù)，C為細胞輸出，H為細胞隱含狀態(tài)，P為每層網(wǎng)絡(luò)輸出，角標L為網(wǎng)絡(luò)層數(shù)，Compensation value是實際力矩和計算力矩的差值.其主要步驟為：

（1）原始數(shù)據(jù)（位移、速度、加速度、力矩）采集；

（2）原始數(shù)據(jù)（位移、速度、加速度）經(jīng)未補償動力學模型計算得到預(yù)測力矩；

（3）原始數(shù)據(jù)和預(yù)測力矩經(jīng)過歸一化操作，分為訓(xùn)練集和測試集；

（4）訓(xùn)練集進入全連接的輸入層；

（5）經(jīng)過包括64個LSTM節(jié)點的隱含層迭代計算（依次計算每個細胞輸出）；

（6）經(jīng)過輸出層輸出經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償后的力矩值；

（7）損失為預(yù)測力矩（計算力矩）相對于實際測量力矩的均方根誤差；

（8）以該損失最小采用Adam優(yōu)化器對網(wǎng)絡(luò)參數(shù)迭代優(yōu)化；

（9）反向計算每個LSTM細胞的誤差項，包括按時間和網(wǎng)絡(luò)層級兩個反向傳播方向；

（10）根據(jù)相應(yīng)的誤差項計算每個權(quán)重的梯度；

（11）應(yīng)用更新權(quán)重；

（12）測試集經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)計算出經(jīng)補償后的預(yù)測力矩，評估補償效果.

網(wǎng)絡(luò)由開源機器學習平臺Tensorflow1.15.0實現(xiàn)，根據(jù)經(jīng)驗和實際情況，確定網(wǎng)絡(luò)主要超參數(shù)如表1所示.

表 1 網(wǎng)絡(luò)主要超參數(shù)值Table 1 Hyperparameters of the net

其中輸入向量依次包括4、5和6各軸的計算力矩、歷史各時刻實際力矩、實際速度和實際位移.輸出向量依次包括4、5和6各軸的下一時刻預(yù)測力矩.網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)則根據(jù)特征維度和數(shù)據(jù)量進行選擇，損失即為下一時刻預(yù)測力矩相對于下一時刻實際力矩的均方根誤差，即：

式中：N為數(shù)據(jù)集樣本數(shù)量，實際為機器人連續(xù)運動量的采樣點數(shù)量；(i)為預(yù)測力矩值；τi為實際力矩.

數(shù)據(jù)集來源于激勵軌跡驅(qū)動下的機器人實際采集的數(shù)據(jù)，可分為兩部分：訓(xùn)練集Ftr和測試集Fte.對于訓(xùn)練集，激勵軌跡即是第3節(jié)中得到的最優(yōu)激勵軌跡；對于測試集，可以通過增加新約束條件的方法再產(chǎn)生一條新的激勵軌跡.在式（6）的基礎(chǔ)上增加約束：qi(t=3.8)=0，得到測試集軌跡如圖6所示.

圖 6 測試集的激勵軌跡.（a）位移；（b）速度；（c）加速度Fig.6 Excitation trajectory of test set: (a) position; (b) velocity; (c) acceleration

從圖6中可以看出，測試集曲線各處平滑連續(xù)，運動幅值較大，但也未超出限制范圍，相比于圖3的訓(xùn)練集曲線，圖6中的各軸位移曲線具有兩個顯著分開的波峰，運動中存在一個零點，且速度和加速度也有較大差異，可在充分利用機器人性能的同時測試網(wǎng)絡(luò)的泛化能力.同時，運動過程中的零點便于在實驗中核對誤差，起到監(jiān)控機器人工作狀態(tài)的作用.

下一步的工作，如網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，需要實驗數(shù)據(jù)的支撐，故在下一節(jié)實驗部分繼續(xù)進行.

4 實驗結(jié)果

本次實驗僅對該機器人末端的軸4、軸5和軸6進行分析和實驗.由于靠近末端的軸4至軸6三軸力臂相對較短，質(zhì)量相對較小，慣性和重力矩相對較小，摩擦力和電機轉(zhuǎn)子慣量等未精確建模的特性會帶來更大的相對誤差，因此誤差補償技術(shù)具有較大的實際應(yīng)用價值.

實驗中，各軸電機伺服驅(qū)動器與控制器由EtherCAT連接通信，驅(qū)動器置為周期性位置模式，控制器以100 Hz固定頻率發(fā)送圖3和圖6的激勵軌跡至驅(qū)動器，保證整個運動過程連續(xù)流暢.由于只研究軸4至軸6的動力學特性，軸1至軸3的位移指令始終為零.

網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練采用上述的激勵軌跡與實驗數(shù)據(jù)為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，以理論計算力矩和實際力矩的均方根誤差為損失函數(shù)，訓(xùn)練目標即為該損失函數(shù)最小.隨著網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練次數(shù)增加，損失逐漸減小，如圖7所示.

圖 7 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練步數(shù)與均方根損失Fig.7 Epochs vs RMS loss

圖8和圖9分別為測試集激勵軌跡下，補償前和補償后軸5的實際力矩、預(yù)測力矩和誤差曲線，可以明顯看到經(jīng)過LSTM補償后的動力學模型對力矩的預(yù)測誤差相比未經(jīng)補償?shù)挠酗@著提高，各軸補償前后預(yù)測力矩與實際力矩的均方根誤差如表2所示.從圖表中可以看出，補償后的動力學模型對力矩具有良好的預(yù)測效果，軸4至軸6預(yù)測力矩（理論計算）與實際力矩的均方根誤差，相比于傳統(tǒng)模型分別降低了66.5%、78.9%和61.8%.這是由于協(xié)作機器人軸4至軸6結(jié)構(gòu)輕巧，慣性力和重力較小，因此摩擦力等未建?；蛭茨芫_建模的因素影響占比很大，造成很大誤差.

圖 8 軸5計算力矩（未經(jīng)補償）、實際力矩和誤差Fig.8 Calculated torque (uncompensated), real toruqe, and errors of axis-5

圖 9 軸5經(jīng)過LSTM網(wǎng)絡(luò)補償后的計算力矩、實際力矩和誤差Fig.9 Calculated torque with LSTM compensation, real torque, and errors of axis-5

表 2 各關(guān)節(jié)計算力矩相對實際力矩的均方根誤差Table 2 RMS error of calculated torque between real value

5 結(jié)論

為了解決協(xié)作機器人動力學模型難以建立與辨識，導(dǎo)致機器人計算預(yù)測力矩誤差較大的問題，本文針對自主研發(fā)的六自由度協(xié)作機器人，首先建立了一般的機器人動力學模型，然后生成了優(yōu)化后的激勵軌跡并進行了相關(guān)實驗.同時，在此基礎(chǔ)上采用深度循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的長短期記憶模型對模型預(yù)測力矩和實際力矩之間的誤差進行了補償.結(jié)論如下：協(xié)作機器人軸4至軸6結(jié)構(gòu)輕巧，慣性力和重力較小，摩擦力、轉(zhuǎn)子慣性力等未建?；蛭茨芫_建模的因素影響占比很大，依靠一般動力學方程計算預(yù)測力矩有較大誤差.采用深度循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的長短期記憶模型可有效補償動力學模型誤差.實驗表明軸4、5和6的預(yù)測力矩與實際力矩的均方根誤差與傳統(tǒng)模型相比，分別下降了66.5%，78.9%和61.8%.由此可見，基于循環(huán)神經(jīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差補償技術(shù)是可行和有效的，可為后續(xù)的動力學控制研究提供良好的基礎(chǔ).