劉雄峰，姚思遠(yuǎn)

（三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院，湖北宜昌，443002）

0 引言

在電路課程中經(jīng)常涉及到線性方程組的求解，具體的方法有精確法和迭代法，精確法求解不需要采取近似舍入，而是采用初等變換方法求出方程組的解；迭代法則是通過有限次的迭代，在允許的精度范圍內(nèi)求解方程組的近似解，精度要求設(shè)定越高，求解值越趨近與真實值。

1 MATLAB軟件和迭代算法簡介

MATLAB是美國mathworks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分；MATLAB具有高效的數(shù)值計算及符號計算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學(xué)運算分析中解脫出來。

迭代法也稱為轉(zhuǎn)輾法，是一種不斷用變量舊值遞推新值的過程，迭代算法是用計算機解決數(shù)學(xué)問題的一種基本方法，它利用計算機運算速度快、適合做重復(fù)性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進(jìn)行重復(fù)執(zhí)行，在每次執(zhí)行這組指令或步驟時，都將從變量的原值推出它的一個新值[1]。

設(shè)有線性方程組Ax=b，其中

選取x0作為方程的初始近似解，以之迭代出一個方程組近似解收斂數(shù)組(xk),k≥0。[2]即可將式（1）變?yōu)椋?/p>

根據(jù)初始近似解x0，通過如下的迭代過程可以產(chǎn)生迭代根數(shù)組。

Pxk+1=Qxk+b,k=0,1,...，當(dāng)‖P-Q‖＜0時數(shù)組收斂。

線性方程組的解滿足：

將矩陣A作標(biāo)準(zhǔn)分解可得到：A=D+L+U

其中，D=diag(a11,a22,...,amm)

此時可將式（1）變?yōu)椋?/p>

此時，應(yīng)用雅克比迭代法可以得到：

當(dāng)應(yīng)用高斯-賽德爾迭代法可得：

式中 ：i=1,...,m；k=1,2,...

計算xi與k-1次迭代值的加權(quán)平均ω作為第k次的迭代值，即：

上式也可整理成：

其中ω稱為松弛因子，要求0＜ω＜2。當(dāng)ω＞1時，上式稱為逐次超松弛迭代法；當(dāng)ω=1時，上式即為高斯-賽德爾迭代法；當(dāng)0＜ω＜1時，上式稱為低松弛迭代法[2]。

2 應(yīng)用案例

如圖1所示的電路圖中，已知Ue1=8 V,Ue2=4 V,Ue3=2 V,R1=R2=R4=1 Ω,R3=3 Ω,R5=2 Ω,R6=7Ω，利用迭代法求解Il1Il2Il3。

圖1 電路圖

本文將針對該應(yīng)用案例使用MATLAB軟件實現(xiàn)雅克比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和逐次超松弛迭代法在求解線性電路方程中的應(yīng)用[3]，并對運行結(jié)果進(jìn)行分析。（計算精度控制在10-5）

根據(jù)電路等效分析可得：

根據(jù)戴維南定理可得：

代入數(shù)值：

上述方程組對應(yīng)于（1）式中的A、b矩陣：

3 迭代法的MATLAB實現(xiàn)

3.1 雅克比迭代法的MATLAB實現(xiàn)

Step1：編寫雅克比迭代法的程序

Step2：編寫驗證程序

Step3：運行驗證程序jacobi.m，得到在10-5精度范圍內(nèi)的Il1Il2Il3值和計算機迭代次數(shù)如表1所示。

表 1

3.2 高斯-賽德爾迭代法的MATLAB實現(xiàn)

Step1：編寫高斯-賽德爾迭代法的程序[4]

Step2：編寫驗證程序

Step3：運行驗證程序gauss.m，得到在10-5精度范圍內(nèi)的Il1Il2Il3值和計算機迭代次數(shù)如表2所示。

表2

3.3 逐次超松弛迭代法的MATLAB實現(xiàn)

Step1：編寫逐次超松弛迭代法的程序

Step2：編寫驗證程序

Step3：運行驗證程序sor.m，得到在10-5精度范圍內(nèi)的Il1Il2Il3值和計算機迭代次數(shù)如表3所示。

表3

說明：這里的最佳松弛因子w為1.15，可以通過w取不同值進(jìn)行驗證。

4 總結(jié)

由表1-表3可以看出三種迭代法解線性方程組的收斂速度，三種迭代法達(dá)到要求的精度（例題要求精度：10-5）所需的迭代次數(shù)如下表所示：

表4

分析表4可以得到逐次超松弛迭代法的收斂速度最快，高斯-賽德爾迭代法次之，雅克比迭代法最慢，通過上面的應(yīng)用案例可以知道，高斯-賽德爾迭代法可看作是雅克比迭代法的一種改進(jìn)，逐次超松弛迭代法是高斯-賽德爾迭代法的一種修正。鑒于程序的可移植性，在求解更為復(fù)雜的電路時只需要修改程序里的數(shù)據(jù)參數(shù)即可，電路越復(fù)雜越能體現(xiàn)計算機的高效。

本文使用了MATLAB軟件使電路分析的計算過程得到了極大的簡化，同時也為廣大學(xué)生提供了一種新的解題思路，通過計算機高效的特點，激發(fā)學(xué)生利用編程軟件學(xué)習(xí)專業(yè)知識的興趣，具有一定的參考價值。