張利偉，李 娟

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶 246133）

光學(xué)是一門(mén)既古老又年輕的學(xué)科，是物理學(xué)中一個(gè)重要的分支，是研究光的本性、光的傳播以及光與物質(zhì)相互作用規(guī)律及其應(yīng)用的科學(xué)。光學(xué)與信息科學(xué)、生命科學(xué)、精密機(jī)械與制造和微電子技術(shù)等領(lǐng)域密切交叉和相互滲透，光學(xué)工程以及光學(xué)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展很大程度上推動(dòng)了社會(huì)和科技的進(jìn)步，例如，利用晶體的雙折射效應(yīng)可以設(shè)計(jì)出各種晶體光學(xué)器件，其中有許多是由多塊光軸取向不同的晶體級(jí)聯(lián)構(gòu)成的，如偏振分光鏡、波片、渥拉斯頓棱鏡等，利用弧形波晶片還可以產(chǎn)生矢量光束實(shí)現(xiàn)強(qiáng)聚焦特性[1]。晶體的雙折射現(xiàn)象是指當(dāng)一束光由各向同性介質(zhì)入射到各向異性晶體表面時(shí)，在晶體內(nèi)產(chǎn)生兩束折射光的現(xiàn)象[2]。晶體的雙折射主要是由于晶體結(jié)構(gòu)的各向異性造成的，與構(gòu)成晶體的原子晶格結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。有些晶體的晶格結(jié)構(gòu)屬于單軸各向異性，有些屬于雙軸各向異性。晶體材料結(jié)構(gòu)的特殊性質(zhì)導(dǎo)致了各向異性的電學(xué)、光學(xué)等特性，比如彈性系數(shù)、熱膨脹、導(dǎo)熱、電導(dǎo)率等。這些各向異性性質(zhì)在偏振光電器件、偏振熱電器件、偏振光探測(cè)器等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。這里我們主要討論各向異性晶體界面處的雙折射問(wèn)題。單軸各向異性晶體中的雙折射最早由惠更斯借助波面作圖法進(jìn)行了解釋?zhuān)朔椒m簡(jiǎn)單易解，但缺乏系統(tǒng)的理論支撐，學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容理解得不深不透。對(duì)于單軸晶體和單軸晶體的界面來(lái)說(shuō)，相對(duì)比較復(fù)雜，可以出現(xiàn)雙折射雙反射性質(zhì)，宋哲等人通過(guò)作圖法進(jìn)行了分析[3]。為了加深學(xué)生對(duì)雙折射物理圖像的理解，本文從光波的電磁理論出發(fā)，通過(guò)推導(dǎo)光波在各向異性介質(zhì)中傳播的色散關(guān)系，利用等頻面的方法對(duì)各向異性晶體界面處的雙折射進(jìn)行直觀地分析和模擬，這種具有理論支撐的方法不但能分析單軸各向異性晶體的雙折射，還能分析雙軸各向異性晶體以及光軸與坐標(biāo)軸有任意夾角的情況，此外，借助等頻面還能直觀地解釋超材料的反常折射、反射性質(zhì)[4-5]。

1 光在各向異性介質(zhì)中傳播的色散關(guān)系

各向異性介質(zhì)的介電常數(shù)ε為二階張量（非磁性介質(zhì)），為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，采用對(duì)角化的形式，在笛卡爾坐標(biāo)系中

其中，當(dāng)εx≠εy≠εz時(shí)，稱(chēng)為雙軸各向異性介質(zhì)；當(dāng)εx=εy≠εz時(shí)，稱(chēng)為單軸各向異性介質(zhì)；當(dāng)εx=εy=εz時(shí)，介質(zhì)則退化為各向同性。介質(zhì)中傳播的平面波的電場(chǎng)形式為E=E0ei(ωt-k·r)，磁場(chǎng)為H=H0ei(ωt-k·r)，根據(jù)麥克斯韋方程組[D]=[ε][E]，?×H=jωD和?×E=-jμH很容易推導(dǎo)出角頻率為ω的平面波在各向異性介質(zhì)中傳播時(shí)滿足的色散關(guān)系[6-7]：

對(duì)一定角頻率，滿足式（2）的波矢構(gòu)成的面就是等頻面，kx、ky和kz分別為波矢的x分量、y分量和z分量。

這里主要考慮各向同性介質(zhì)與單軸各向異性晶體界面雙折射的情況。假設(shè)一平面波從空氣斜入射到單軸各向異性介質(zhì)中，x-y平面為界面，z軸為光軸，垂直交界面，則各向異性晶體中x-z平面內(nèi)光波滿足的色散關(guān)系為

kx和kz滿足的曲線就是等頻線，kx=k0sinθ，k0=ω/c，θ為入射角。從時(shí)間平均坡印亭矢量的定義S=可得，

E0′和H0′分別為折射光的電場(chǎng)、磁場(chǎng)振幅，折射波矢的z分量kz的正負(fù)符號(hào)選取要保證能量遠(yuǎn)離界面，能量折射角θs=arctan(Sx/Sz)。另外，根據(jù)電磁場(chǎng)邊界條件可得界面處o光和e光的反射系數(shù)為

2 單軸各向異性晶體界面的折射

為了直觀地分析各向異性介質(zhì)中的雙折射，首先計(jì)算非磁性單軸各向異性晶體中兩種光波的等頻面，這里選擇e 光主軸折射率是o 光主軸折射率的兩倍，kx、ky和kz相對(duì)于k0進(jìn)行了歸一化，如圖1（a）所示。很顯然，等頻面是個(gè)雙層面，橢球面代表的是e光的等頻面，球面代表的是o光的等頻面。根據(jù)各向異性介質(zhì)介電常數(shù)張量和磁導(dǎo)率張量的取值，其等頻面會(huì)有更復(fù)雜的形狀[6]?，F(xiàn)在考慮空氣與單軸各向異性晶體界面的折射情況(?x=?y)，分界面為x-y面，z＞0為單軸晶體，z＜0為空氣，x-z面是入射面，如圖1（b）所示。θin為入射角，θo和θe分別為o光和e光的能量折射角。根據(jù)式（3）計(jì)算出空氣中光波傳播滿足的等頻線是圓，如圖1（c）中的點(diǎn)線圓所示，單軸各向異性晶體中o光和e光的2維等頻線，分別對(duì)應(yīng)圓和橢圓，這里取?x=?y=4，?z=1.5。根據(jù)電磁理論，電磁波的能量傳播方向與群速度?k(ω)k相同，這意味著群速度與等頻面垂直[8]，即光束在波矢面上任一點(diǎn)的傳播方向?yàn)樵擖c(diǎn)切線的法線方向。根據(jù)邊界處電磁場(chǎng)的切向分量連續(xù)的性質(zhì)，界面兩側(cè)的入射波矢和折射波矢的x分量相等。基于這些基本規(guī)則，就可借助等頻面定性、定量地分析各向異性晶體中的o 光和e 光的折射。

圖1 （a）單軸各向異性晶體中o光和e光的3維等頻面示意圖；（b）空氣與單軸各向異性晶體的界面折射；（c）單軸各向異性晶體中o光和e光的等頻線，不同顏色的箭頭線分別代表入射光，o光折射和e光折射

在一定的入射角θ下，入射波矢的x分量kx=k0sinθ，當(dāng)θ=30°時(shí)，kx/k0=0.5，如圖1（c）中的豎直點(diǎn)線所示。根據(jù)光波在界面上相位相等的條件，o光和e光的折射光的x分量也應(yīng)該是0.5k0。這條kx=0.5k0的豎線分別與空氣中光的等頻線，o 光和e 光的等頻線相交于a(a′)，b(b′)和c(c′)點(diǎn)。由于入射波沿z軸正方向，所以只能通過(guò)在a、b和c三點(diǎn)處分析其入射和折射情況。連接坐標(biāo)原點(diǎn)與a點(diǎn)的矢量就代表入射光，其與z軸之間的夾角也就是入射角。在b和c點(diǎn)作垂直于等頻線且指向傳播方向的矢量就是o 光和e 光的折射光，它們與z軸之間的夾角也就是o光和e光的折射角。從圖1（c）可以看出，o光和e光折射角不同，并且會(huì)隨著等頻線形狀的變化而改變，也就是隨著各向異性介質(zhì)主軸介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的不同而發(fā)生變化。

圖2（a）是單軸各向異性晶體界面o光和e光在不同入射角下的能量折射角，從圖中可以看出，無(wú)論是o光還是e光，其能量折射角的值均隨著入射角的增大而增大。根據(jù)式（2），發(fā)現(xiàn)o光的等頻面與?z無(wú)關(guān)，只由?x和?y決定，而e 光的等頻面與?z有很大的關(guān)系。在圖2（a）中，保持?x=?y=4 不變，分別取?z為1.5、2、2.5，發(fā)現(xiàn)隨著?z的增加，e 光的折射角逐漸減小。對(duì)于這樣的單軸各向異性介質(zhì)界面，其反射率隨著入射角也會(huì)有所不同。圖2（b）是?x=?y=4，?z=1.5條件下，o光和e光的界面反射率，可以看出，o光的反射率隨著入射角的增大而增大，而e 光的界面反射率隨著入射角的增大先減小后增大，在滿足布魯斯特角時(shí)會(huì)出現(xiàn)零反射。

圖2 （a）單軸晶體界面o光和e光的折射角與z軸介電常數(shù)的關(guān)系；（b）?z=1.5，?x=?y=4，o光和e光的界面反射率

為了直觀地理解雙折射的物理圖像，對(duì)30°入射角的o光和e光的界面折射情況進(jìn)行了電磁仿真模擬。圖3（a）和（b）分別是使用電磁仿真軟件Comsol進(jìn)行模擬的e光和o光折射的場(chǎng)分布情況，白色箭頭線和藍(lán)色箭頭線分別代表入射和折射光。很顯然折射電磁場(chǎng)和入射場(chǎng)分別處在法線的兩側(cè)，說(shuō)明為正折射，并且e光和o光的折射角分別是35°和14°，與理論分析也非常的吻合。

圖3 （a）和（b）分別是模擬的e光和o光折射的場(chǎng)分布情況，其中?z=1.5，?x=?y=4，入射角為30°

3 超材料界面的折射性質(zhì)

在前面的討論中，無(wú)論是e光或o光，晶體的主軸介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都是正值，所以其3維的等頻面是橢球面，2維的等頻面是橢圓。隨著光學(xué)的發(fā)展，一些具有奇異特性的超材料在實(shí)驗(yàn)上制備出來(lái)。超材料[9]是指一些具有天然材料所不具備的超常物理性質(zhì)的人工復(fù)合結(jié)構(gòu)，多是一些亞波長(zhǎng)金屬或介質(zhì)微結(jié)構(gòu)，通過(guò)局域共振機(jī)制或米氏散射機(jī)制實(shí)現(xiàn)了任意的有效介電常數(shù)和有效磁導(dǎo)率，從而導(dǎo)致新奇的光調(diào)控能力，如負(fù)折射、超分辨成像、隱身、場(chǎng)局域和增強(qiáng)自發(fā)輻射等[7,10]。由于奇異的電磁性質(zhì)和應(yīng)用，超材料成為國(guó)際上光學(xué)、凝聚態(tài)物理、信息科學(xué)等學(xué)科的前沿研究領(lǐng)域，不但可以調(diào)控光的全吸收、全透射和反射相位等，而且可以調(diào)控空間場(chǎng)的分布。對(duì)于超材料來(lái)說(shuō)，介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的張量參數(shù)可以具有不同的符號(hào)（正或負(fù)）和數(shù)值，在應(yīng)用上具有很大的靈活性。這里考慮超材料的磁導(dǎo)率也是各向異性的，取?z=1.5，?x=?y=4，μx=μy=1，μz=-1，很顯然這是一個(gè)單軸各向異性材料，根據(jù)式（2）和（3），可以計(jì)算e光和o光的3維和2維等頻面。圖4（a）是這一單軸各向異性超材料中o光和e光的2維等頻線，o光的色散關(guān)系為一雙曲線，透射波的波矢＞0總是成立的，e光的色散關(guān)系為一橢圓，其中紅色點(diǎn)線代表空氣中光波的等頻線。根據(jù)能流公式（4）中So的表達(dá)式，需要選擇雙曲線的上半支(kz＞0)以保證能量沿z方向傳播。根據(jù)前面介紹的判斷能量折射的方法，就可畫(huà)出e光和o光的折射情況。

在圖4（a）中不同顏色的箭頭線分別代表入射光、o光折射和e光折射，在一定入射角下，e光具有正的能量折射角，而o光總是具有負(fù)的能量折射角。圖4（b）是空氣和單軸各向異性超材料界面處o光和e光不同入射角下的能量折射角，無(wú)論是o 光還是e 光，其能量折射角的值均隨著入射角的增大而增大。為了直觀地印證這一點(diǎn)，對(duì)30°入射角的情況進(jìn)行了電磁仿真模擬。

圖4 （a）單軸各向異性超材料中o光和e光的2維等頻線，點(diǎn)線代表空氣中光波的2維等頻面，不同顏色的箭頭線分別代表入射光、o光折射和e光折射，垂直點(diǎn)線代表的是30°入射角；（b）單軸各向異性超材料界面o光和e光在不同入射角下的能量折射角，其中，?z=1.5，?x=?y=4，μz=-1

圖5（a）和（b）分別是模擬e光和o光折射的場(chǎng)分布情況，可見(jiàn)折射角分別是35°和-14°。根據(jù)超材料主軸介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的取值情況，超材料界面會(huì)出現(xiàn)o光或e光的全反射、全透射和負(fù)折射，此外雙軸各向異性介質(zhì)界面的復(fù)雜折射情況也可以借助等頻面進(jìn)行直觀地理解和分析。

圖5 （a）和（b）分別是e光和o光折射的場(chǎng)分布，其中?z=1.5，?x=?y=4，μz=-1，入射角為30°

4 結(jié)論

綜上所述，本文主要利用等頻面分析了單軸各向異性介質(zhì)界面處的光學(xué)反射與折射性質(zhì)，計(jì)算了e光和o光在單軸各向異性晶體中的折射情況。在理論分析的基礎(chǔ)上，利用電磁仿真軟件對(duì)各向異性介質(zhì)中光的雙折射場(chǎng)分布進(jìn)行了模擬。利用等頻面方法還分析、計(jì)算了雙曲色散超材料中的負(fù)折射，使學(xué)生對(duì)光學(xué)前沿課題有所了解。這種采用等頻面分析與軟件模擬相結(jié)合的方法，加深了學(xué)生對(duì)雙折射物理圖像的深刻理解，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了課程教學(xué)效果。