裴 喆

（92941部隊 葫蘆島 125000）

1 引言

通常利用光學測量防空導彈遭遇段導彈和目標的x、y、z方向運動數(shù)據(jù)，對這6組數(shù)據(jù)進行擬合除差處理是計算導彈戰(zhàn)斗部毀傷、脫靶量等參數(shù)的重要依據(jù)［1～3］。如果其中1組甚至多組數(shù)據(jù)的擬合精度不高，那么勢必影響導彈性能分析。目前經(jīng)常采用普通最小二乘（Ordinary Least Squares）擬合（以下簡稱OLS擬合）方法，數(shù)據(jù)不含粗差時擬合精度較高［1，3］。但是由于設備測量誤差、彈目尾焰紅外成像面積散布誤差、事后人工選點誤差等因素影響，實測數(shù)據(jù)有時包含少量粗差，尤其小幅值粗差。OLS擬合抗粗差能力弱，致使擬合精度下降。為此本文研究基于M估計的遭遇段彈目運動數(shù)據(jù)擬合方法，并對其抗粗差能力和擬合效果進行仿真驗證。

2 M估計與Tukey權(quán)重函數(shù)

OLS擬合給予每個測量數(shù)據(jù)的權(quán)重均為1，且擬合目標是使殘差平方和最小，因此擬合結(jié)果受粗差影響較大［4］。穩(wěn)健擬合的目的就是減小粗差影響，目前主要有L估計、R估計、M估計等方法。其中M估計是經(jīng)典極大似然估計的推廣，被稱為廣義極大似然估計［4～5］?；贛估計的穩(wěn)健擬合方法采用特定的權(quán)重函數(shù)構(gòu)建一個增速較低的殘差函數(shù)，擬合目標是使該殘差函數(shù)之和最小，所以殘差越大，權(quán)重越小，達到抵抗粗差的目的［6～7］。

M估計常用的權(quán)重函數(shù)有Huber、Tukey、Ham?pel等。本文采用Tukey權(quán)重函數(shù)，其表達式如式（1）所示［8～9］：

式中，w為權(quán)重大?。?≤w≤1）；c為調(diào)節(jié)系數(shù)；u為標準化殘差，計算公式如下［9］：

式中εn為擬合殘差；S為穩(wěn)健估計量的尺度，通常用殘差εn的中位數(shù)絕對離差MAD計算，當εn服從正態(tài)分布時，利用式（3）計算的S是該正態(tài)分布標準差的無偏估計［9～10］。

中位數(shù)絕對離差MAD的計算公式為［9～10］：

式中MED為殘差εn的中位數(shù)。MED和MAD分別是穩(wěn)健擬合中重要的位置測度和尺度測度［11］。

調(diào)節(jié)系數(shù)c取常用值4.685時，Tukey權(quán)重函數(shù)如圖1所示。

證據(jù)留痕 積極應對（李遠強等） ....................................................................................................................7-57

圖1 Tukey權(quán)重函數(shù)（c=4.685）

由式（1）和圖1可知，對于|u|＞c（即|εn|＞cS）的兩端殘差，Tukey函數(shù)賦予的權(quán)重w均為0，因此它是 有 淘 汰 域 的 權(quán)重 函數(shù)［5］；對 |u|≤c（即|εn|≤cS）的中間段殘差也進行權(quán)重分配，越靠近中心其權(quán)重w越接近1。同時可知c值越小，其抗粗差能力越強，這也是本文用來識別小幅值粗差的理論依據(jù)。

3 不含粗差時的擬合結(jié)果分析

假設防空導彈和目標在遭遇段150ms時間內(nèi)均作勻速直線運動是成立的［3］，以導彈y方向運動為例，其真值數(shù)據(jù)yM0（ti）可由式（5）表示。

式中，ti為采樣時間（i=1，2，…，n），yM0（ti）為位置真值，vMy為速度真值，y0為位置截距真值。

測量誤差用ε（ti）表示，則yM0（ti）的測量數(shù)據(jù)yM（ti）表示為

下面對yM（ti）不含粗差時OLS擬合和M估計擬合結(jié)果進行對比分析。設置ti=［10.01s，10.15s］，采樣周期為10ms，則采樣個數(shù)為15。設vMy為-50m/s，y0為100m，由式（5）得到y(tǒng)M0（ti）。再設ε（ti）為白噪聲誤差，即ε（ti）～N（0，σ02），σ0取 0.15m，ε（ti）不含粗差（幅值絕對值均小于 3σ0），由式（6）得到 yM（ti）。擬合結(jié)果（vMy的估計值 vMye和 y0的估計值 y0e）如表1所示，擬合殘差特征量（標準差σMy、MAD以及尺度S）如表2所示。

表1 yM（ti）不含粗差時的擬合結(jié)果

表2 yM（ti）不含粗差時的擬合殘差特征量

分析表1和表2可知：

1）從擬合結(jié)果看，不含粗差時兩種擬合得到vMy和y0的估計精度都很高，其中OLS擬合與c=4.685時M估計擬合的精度相當。當c值從4.685逐漸減小到2，vMy和y0的估計精度逐步下降，但下降幅度非常小，可知擬合仍是穩(wěn)健的，并未將正常數(shù)據(jù)誤判為粗差。這是因為由正態(tài)分布可知，1次測量誤差絕對值超過2σ0的概率僅為4.56%［12］，即在22次測量中只有1次的誤差絕對值超過2σ0，而yM（ti）的采樣個數(shù)僅為15。

4 包含粗差時的擬合仿真驗證

4.1 基于M估計的擬合方法及步驟

本文主要討論幅值絕對值在（3σ0～3.5σ0）范圍內(nèi)的粗差，因為這種小幅值粗差較為“隱蔽”，OLS擬合很難識別它們。由于雙站光學同幀畫幅數(shù)據(jù)已經(jīng)有效減小各種測量誤差［2～3］，粗差比例很少大于15%，因此對于上節(jié)中采樣個數(shù)為15的yM（ti）數(shù)據(jù)，只討論包含1～2個粗差的情況。

基于M估計的擬合方法及步驟如下。

1）取最小c值識別粗差

調(diào)節(jié)系數(shù) c最小取 2，對 yM（t）i進行 M 估計擬合，根據(jù)殘差|εn|＞2.5S的準則識別粗差，標記粗差的位置和個數(shù)。如果未識別出粗差則對yM（ti）進行OLS擬合。

2）增大c值替換粗差

逐步增大c的取值（每次增大0.1），對yM（ti）進行M估計擬合并且識別粗差，如果識別的粗差與c=2時所識別粗差的位置和個數(shù)均相同，就將粗差替換為當前c值對應的擬合數(shù)據(jù)，因為c值越大擬合精度越高；直到識別粗差的位置或個數(shù)與c=2時所識別粗差的不同，即可停止增大c值。最后再對粗差替換后的數(shù)據(jù)進行OLS擬合。

4.2 只包含1個粗差時的仿真驗證

與位于其他位置相比，1個粗差位于數(shù)據(jù)一端時OLS擬合識別它更困難。為此在上節(jié)中無粗差的yM（ti）末端加入1個粗差（幅值為3.2σ0），擬合結(jié)果如表3所示，擬合殘差特征量如表4所示。

表3 1個粗差位于yM（ti）一端時的擬合結(jié)果

表41 個粗差位于yM（ti）一端時的擬合殘差特征量

分析表3和表4，并與表1、表2對比，可知：

1）受粗差影響，OLS擬合估計值vMye、y0e均沒有不含粗差時的估計值準確。依據(jù)通常采用的殘差絕對值大于3σMy的準則，OLS擬合未能識別出粗差。

2）c值從2～3.2，M估計擬合均能正確識別粗差，c=3.2時的擬合估計值比c=2時的準確。將粗差數(shù)據(jù)用c=3.2時的擬合數(shù)據(jù)替換后，再次OLS擬合的估計值已逼近真值，相比粗差替換前的估計精度明顯提高。

3）與不含粗差相比，包含粗差時的擬合殘差標準差σMy均有所增大，但M估計擬合的MAD和S增幅較小，可見二者的穩(wěn)健性較好。同時正因為MAD和S的增幅較小，本文識別粗差準則采用|εn|＞2.5S，而不是常用的|εn|＞3S。

4.3 包含兩個粗差時的仿真驗證

4.3.1 含兩個同向粗差時的擬合效果

與位于其他位置相比，兩個同向粗差集中靠近數(shù)據(jù)一端時，OLS擬合識別更為困難。為此，在無粗差的yM（ti）末端加入兩個同向粗差，幅值均為3.3σ0，擬合結(jié)果如表5所示，擬合曲線如圖2所示。圖中，yM（ti）、yM2（ti）分別為替換粗差前、后的測量數(shù)據(jù)曲線，yMO（ti）、yMO2（ti）分別為替換粗差前、后的OLS擬合數(shù)據(jù)曲線，縱坐標統(tǒng)一用yM表示。

表5 兩個同向粗差集中于yM（ti）一端時的擬合結(jié)果

圖2 2個同向粗差集中于yM（ti）一端時的擬合曲線

由表5和圖2可知，兩個粗差對OLS擬合曲線有明顯的拉偏影響，粗差替換后擬合效果明顯改善。c值從2到2.6時M估計擬合均能正確識別出兩個粗差，且未將正常數(shù)據(jù)誤判為粗差。

4.3.2 含兩個反向粗差時的擬合效果

對于兩個反向粗差，正、負粗差分別位于數(shù)據(jù)兩端形成“蹺蹺板”式情形相比位于其他位置的情形對擬合影響更大。OLS擬合識別它們更為困難為此，在無粗差的yM（ti）兩端加入兩個反向粗差，幅值分別為-3.3σ0和3.3σ0，擬合結(jié)果如表6所示，擬合曲線如圖3所示。

由表6和圖3可知，反向粗差分布于兩端比同向粗差集中于一端對擬合的影響還要嚴重，因此僅在c從2～2.3時M估計擬合能正確識別出兩個粗差。粗差替換后擬合估計值vMye、y0e的準確性明顯提高。

表6 兩個反向粗差分布于yM（ti）兩端時的擬合結(jié)果

圖3 兩個反向粗差分布于yM（ti）兩端時的擬合曲線

5 結(jié)語

本文研究了基于M估計的遭遇段彈目運動數(shù)據(jù)擬合方法。對于測量數(shù)據(jù)中的少量小幅值粗差，方法通過選取較小的Tukey權(quán)重函數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)c值，可在正確識別粗差的同時得到較為穩(wěn)健的擬合結(jié)果；而在此基礎上增大c值又可提高粗差替換值的準確性。研究表明：當數(shù)據(jù)中小幅值粗差比例不大于15%時，本文方法可有效識別這些粗差，粗差替換后的擬合效果明顯優(yōu)于普通最小二乘法。