孫增田，陳 毅，巫春玲，巨永鋒

（1.廣州地鐵設(shè)計(jì)研究院股份有限公司，廣東廣州 510010；2.中交一公局第六工程有限公司，天津 300451；3.長(zhǎng)安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院，陜西西安 710064）

軌道交通中的傳統(tǒng)內(nèi)燃式工程車輛在地鐵隧道內(nèi)作業(yè)產(chǎn)生的空氣和噪音污染一直飽受詬病，伴隨動(dòng)力電池技術(shù)的進(jìn)步，出現(xiàn)了以蓄電池為動(dòng)力源的電力工程車輛[1-2]。由于隧道工程車運(yùn)行工況復(fù)雜，運(yùn)行條件極端，需要一套隧道工程車輛電池管理系統(tǒng)（BMS）對(duì)各種運(yùn)行工況下鋰電池的信息進(jìn)行實(shí)時(shí)的監(jiān)控和管理。電池的荷電狀態(tài)（SOC）是BMS 的一項(xiàng)核心參數(shù)[2]，精確的SOC 估計(jì)不僅可以幫助使用者預(yù)測(cè)電池的能量產(chǎn)出，還可以幫助使用者避免電池過(guò)充或過(guò)放，以達(dá)到確保電池的安全，延長(zhǎng)電池的使用壽命的目的。

對(duì)于SOC 的估計(jì)方法有很多，主要有三大類：傳統(tǒng)的SOC 估計(jì)方法、基于電池模型的估計(jì)方法和基于融合模型的估計(jì)方法。當(dāng)前估計(jì)電池SOC 的方法大多是基于電池等效電路模型[3-5]，結(jié)合現(xiàn)代控制理論方法，確定電池等效電路模型后構(gòu)造空間狀態(tài)方程。然后采用擴(kuò)展卡爾曼濾波器[6-8]、無(wú)跡卡爾曼濾波器[9-11]、粒子濾波器[12-15]等方法對(duì)狀態(tài)變量SOC 進(jìn)行精確估計(jì)。

文獻(xiàn)[16]提出離散時(shí)間非線性濾波算法-求積分卡爾曼濾波器（Quadrature Kalman Filter,QKF）。其基本思想是，從統(tǒng)計(jì)線性回歸（Statistical Linear Regression,SLR）的角度，運(yùn)用高斯-厄米特積分點(diǎn)推導(dǎo)出新的求積分卡爾曼濾波器。在目前的眾多SOC 估計(jì)算法中，運(yùn)用QKF 估計(jì)方法的文獻(xiàn)非常少，該文采用QKF 算法對(duì)SOC 進(jìn)行高精度估計(jì)。首先運(yùn)用二階等效電路模型（Thevenin 模型）對(duì)電池進(jìn)行等效建模，并建立模型的狀態(tài)方程，然后運(yùn)用QKF 算法對(duì)SOC進(jìn)行估計(jì)，實(shí)驗(yàn)證明了QKF 算法在估計(jì)SOC 時(shí)具有較高的估計(jì)精度。

1 鋰離子電池荷電狀態(tài)SOC定義

電池荷電狀態(tài)SOC 可直觀地表現(xiàn)電池的剩余電量?！峨妱?dòng)汽車電池試驗(yàn)手冊(cè)》中對(duì)SOC的定義如下：

其中，Qremain表示鋰離子電池的剩余電量，QN為電池出廠時(shí)標(biāo)定的額定容量，這個(gè)標(biāo)定值是在特定的溫度、放電倍率等條件下獲得的。工程中考慮到電池循環(huán)使用多次后，額定容量會(huì)有一定的衰減，所以可以用式（2）來(lái)描述電池SOC，同時(shí)也可以表示為：

其中，Qdischarged表示鋰離子電池已使用的電荷量，此式成立的前提是鋰離子電池的額定電荷量是已消耗電量與剩余電量之和。

2 鋰離子電池等效模型

電池模型的建立與參數(shù)的辨識(shí)，決定著鋰離子電池SOC 估算的精確性，采用二階RC 等效電路模型對(duì)電池進(jìn)行建模。

如圖1 所示，Uoc表示電池開路電壓，Ro表示電池等效歐姆內(nèi)阻，R1、R2表示極化電阻，C1、C2表示極化電容。該模型模擬了電流It發(fā)生變化時(shí)終端電壓Ut的變化過(guò)程，此變化過(guò)程緩慢且穩(wěn)定。

圖1 二階RC等效電路模型

根據(jù)二階RC 等效電路模型，其數(shù)學(xué)模型可以描述為：

其中，U1(t)和U1(t)分別是R1C1和R2C2兩個(gè)環(huán)節(jié)的電壓。

將該二階等效電路模型離散化：

離散化后的SOC 表達(dá)式可以寫成：

其中，QN表示電池的額定容量，Δt是采樣時(shí)間。

進(jìn)一步得到如下形式：

其中，各狀態(tài)變量轉(zhuǎn)移矩陣分別為：

wk表示由于模型本身存在的誤差和輸入變量中噪聲的干擾所引起的過(guò)程噪聲，vk表示測(cè)量所引起的觀測(cè)噪聲，假設(shè)過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲是不相關(guān)的高斯白噪聲，其特性為wk～N(0,Qk)，vk～N(0,Rk)。

3 求積分卡爾曼濾波器QKF

考慮如下的非線性離散狀態(tài)空間模型：

式中，xk是狀態(tài)向量，zk是觀測(cè)向量，f(·)為非線性過(guò)程函數(shù)，h(·)是量測(cè)函數(shù)，wk是過(guò)程噪聲序列，vk是量測(cè)噪聲序列。假定wk和vk都是零均值高斯的，且滿足：

這里δ是Kronecker-delta 函數(shù)。QKF 算法的時(shí)間更新和量測(cè)更新如下。

3.1 時(shí)間更新

在狀態(tài)空間中找到m個(gè)回歸點(diǎn)及其相關(guān)的權(quán)這些回歸點(diǎn)的均值和方差分別為和Pk-1|k-1，則：

式（11）的線性函數(shù)表達(dá)如下：

其中，ek表示線性化誤差。Αf,k-1和bf,k-1分別如下：

對(duì)式（15）取直到k-1 時(shí)刻的條件期望，得到狀態(tài)估計(jì)預(yù)測(cè)

從式（15）和式（18）得預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差：

將Pk|k-1按回歸點(diǎn)的加權(quán)和求得，即

增加過(guò)程噪聲的影響：

即QKF 最終近似的預(yù)測(cè)密度:

3.2 量測(cè)更新

而后對(duì)量測(cè)函數(shù)h(·)線性化，進(jìn)行量測(cè)更新：

由此得到k時(shí)刻的后驗(yàn)概率密度：

4 實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果分析

在運(yùn)行QKF 算法之前，需要初始化狀態(tài)向量x0、協(xié)方差矩陣P0、系統(tǒng)噪聲矩陣Q0和測(cè)量噪聲矩陣R0。其中，初始的狀態(tài)向量x0中SOC 值為SOC0，U1、U2只有在極化現(xiàn)象時(shí)存在，故其初值均為0。根據(jù)二階等效電路模型，進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)得出R0為0.13 Ω，R1為0.005 Ω，R2為0.03 Ω，C1為1 140 F，C2為1 630 F，令Δt=0.002 s，SOC 初始值為100%。狀態(tài)向量協(xié)方差矩陣系統(tǒng)過(guò)程噪聲矩陣測(cè)量噪聲

根據(jù)該文所給電池的二階等效電路模型，運(yùn)行以上所描述的QKF 算法，對(duì)電池SOC 進(jìn)行估計(jì)，以驗(yàn)證算法的有效性。電池的OCV 與SOC 的關(guān)系如圖2所示，QKF 對(duì)電池的估計(jì)效果見圖3 和圖4。

圖2 電池OCV與SOC的關(guān)系

圖3 電池的SOC實(shí)際值與估計(jì)值

從圖2 可以得出，當(dāng)電池端電壓處于3.2～3.4 V時(shí)（SOC 處于10%～100%），電池的SOC 與端電壓的關(guān)系可以近似形成斜率為12.857 的一次曲線。

從圖3 可以看出，SOC 估計(jì)值和實(shí)際值這兩條線幾乎是重合的。從圖4 的估計(jì)誤差曲線也可以看出誤差很小，低于1%。證明QKF 對(duì)于估計(jì)電池SOC 很有效，具有較高的精確度。

圖4 SOC估計(jì)誤差

5 結(jié)論

電池荷電狀態(tài)的精確估計(jì)是電力工程車輛中電池管理系統(tǒng)的重要任務(wù)。該文提出采用QKF 用于對(duì)SOC 的高精度估計(jì)。QKF 通過(guò)一套參數(shù)化高斯密度的高斯-厄米特積分點(diǎn)線性化非線性函數(shù)，算法的數(shù)值魯棒性高，估計(jì)精度高。該文首先運(yùn)用二階等效電路模型對(duì)鋰電池進(jìn)行等效建模，并建立模型的狀態(tài)空間方程，然后通過(guò)離線參數(shù)辨識(shí)法辨識(shí)出模型中參數(shù)，再運(yùn)用QKF 算法對(duì)SOC 進(jìn)行估計(jì)，實(shí)驗(yàn)表明，QKF 對(duì)SOC 的估計(jì)誤差低于1%。表明QKF 算法具有很高的精確度，對(duì)于估計(jì)電池SOC 很有效。