楊 浩，吳健榮

1.蘇州科技大學 數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215009；2.南通理工學院，基礎教學學院，江蘇 南通 226002

為描述兩點距離的不確定性，文獻[1]給出了模糊度量(簡稱為KM模糊度量)的概念，文獻[2]對KM模糊度量進行了改進，提出了現(xiàn)在被稱之為GV模糊度量的新概念．文獻[3]對KM模糊度量和GV模糊度量進行了推廣，引入了(L，M)模糊度量的概念．到目前為止，許多經(jīng)典度量空間的重要結(jié)果被推廣到了模糊度量空間中[4-10]，同時，模糊度量已經(jīng)被廣泛地應用在彩色圖像處理和算法分析中[11-17]．為研究模糊度量與分明度量之間的關(guān)系，文獻[7]給出了偽度量族空間的概念，建立了兩個分解定理．然而正如文獻[7]中所指出的，這兩個定理成立需要對模糊度量定義中的t-模進行嚴格的限制．

本文引入了星偽度量族的概念，利用這一概念，建立了具有一般t-模的模糊度量的分解定理．此外，在引入模糊度量空間與偽度量族空間等距同構(gòu)的概念之后，給出了模糊度量空間與偽度量族空間等距同構(gòu)的充分條件和必要條件．

1 預備知識

本文約定R+=[0，∞)，N為自然數(shù)集，?為空集．

(a) *對結(jié)合律和交換律成立；

(b) *是連續(xù)的；

(c)a*1=a，?a∈[0，1]；

(d) 當a≤c和b≤d時，a*b≤c*d．

則稱*是連續(xù)t-模，常用的連續(xù)t-模包括以下3個算子：?a，b∈[0，1]，a*b=a∧b，a*b=max{a+b-1，0}，a*b=a·b．

性質(zhì)1[9]設*是連續(xù)t-模，

(M1) ?t>0，M(x，y，t)>0；

(M2) ?t>0，M(x，y，t)=1當且僅當x=y；

(M3) ?t>0，M(x，y，t)=M(y，x，t)；

(M4) ?t，s>0，M(x，y，t)*M(y，z，s)≤M(x，z，t+s)；

則稱(M，*)(簡寫成M)是X上的模糊度量，稱(X，M，*)為模糊度量空間．

注1如果將定義2中的(M2)，(M5)分別改為：

(M2)′M(x，y，t)=1當且僅當x=y；

(M5)′M(x，y，·)是連續(xù)的．

則(X，M，*)為GV模糊度量空間[2]．

若(X，M，*)是模糊度量空間，設x∈X，r∈(0，1)，t>0，稱

BM(x，r，t)={y∈X：M(x，y，t)>1-r}

(1)

是以x為心，r為半徑的開球．定理1的證明可參見文獻[2]中相應結(jié)論的證明．

定理1設(X，M，*)是模糊度量空間．如果

τM={A?X：?x∈A，存在t>0，0

(2)

2 星偽度量族

本節(jié)引入星偽度量族的概念，并給出模糊度量的星偽度量族分解定理．

定義3設X是一非空集合，*是連續(xù)t-模，{dr：r∈(0，1)}是X×X到R+中的一族映射．若對任意的x，y，z∈X，都有：

(SPM1) ?t>0，存在r∈(0，1)，使得dr(x，y)≤t；

(SPM2) ?r∈(0，1)，dr(x，x)=0；

(SPM3) ?r∈(0，1)，dr(x，y)=dr(y，x)；

(SPM4) 對固定的x，y∈X，關(guān)于r∈(0，1)的函數(shù)dr(x，y)是單調(diào)遞增的；

(SPM5) 對任意的α，β∈(0，1)，dα*β(x，z)≤dα(x，y)+dβ(y，z)；

則稱{dr：r∈(0，1)}是X上的星偽度量族，稱(X，dr：r∈(0，1))為星偽度量族空間．

注2當*=∧時，星偽度量族即為偽度量族．對于一般的連續(xù)t-模*，星偽度量族中的元素未必為偽度量，但為方便起見，我們?nèi)苑Q其為星偽度量族．

為與星偽度量族空間作區(qū)分，我們將由X上的一族偽度量{dr：r∈(0，1)}構(gòu)成的空間(X，dr：r∈(0，1))稱為偽度量族空間．

定理2設X是一非空集合，D={dr：r∈(0，1)}是X上的星偽度量族，對任意的x∈X，n∈N，r1，r2，…，rn∈(0，1)和ε>0，

Vx(r1，r2，…，rn；ε)={y∈X：dri(x，y)<ε，i=1，2，…，n}

則X存在唯一的拓撲τD，使得對任意的x∈X，

Vx={Vx(r1，r2，…，rn；ε)：n∈N，r1，r2，…，rn∈(0，1)，ε>0}

恰好是x關(guān)于τD的鄰域基，且τD為X上的Hausdorff拓撲．

證前半部分的證明是常規(guī)的，這里僅給出τD是Hausdorff拓撲的證明．

事實上，對任意的不同的點x，y∈X，由條件(SPM6)，存在r∈(0，1)，使得dr(x，y)=ε>0．由性質(zhì)1，存在s∈(r，1)，使得s*s>r，從而以及利用條件(SPM4)和(SPM5)可驗證因此τD是Hausdorff的．

引理1設(X，M，*)為模糊度量空間，x，y∈X，r∈(0，1)．則：

定理3設(X，M，*)為模糊度量空間，x，y∈X，r∈(0，1)．令

dr(x，y)=inf{t>0：M(x，y，t)≥r}

(3)

則DM={dr：r∈(0，1)}是星偽度量族．

證只要證DM滿足條件(SPM1)-(SPM6)即可．(SPM2)和(SPM3)是顯然的．

(SPM1)：?x，y∈X，t>0，由M(x，y，t)>0，則存在r0∈(0，1)使得M(x，y，t)>r0>0．由(3)式得dr0(x，y)≤t．

(SPM4)：任取r1，r2∈(0，1)，r1>r2．因為M(x，y，·)是單調(diào)增的，所以

{t>0：M(x，y，t)≥r1}?{t>0：M(x，y，t)≥r2}

所以dr1(x，y)≥dr2(x，y)．因此dr(x，y)關(guān)于r∈(0，1)是單調(diào)增的．

(SPM6)：?x，y∈X，x≠y，由定義2，存在t0>0使得M(x，y，t0)<1．取r0∈(0，1)滿足M(x，y，t0)

dr(x，y)=sup{t>0：M(x，y，t)

注3稱上述D={dr：r∈(0，1)}為由模糊度量M導出的星偽度量族．

定理4設D={dr：r∈(0，1)}為X上的星偽度量族，對x，y∈X，t>0，設

MD(x，y，t)=sup{r∈(0，1)：dr(x，y)

(4)

則(X，MD，*)是一個模糊度量空間．

證以下證明MD滿足條件(M1)-(M6)．(M3)顯然成立．

(M1)：對任意的t>0，取00．

(M2)：令x=y．由條件(SPM2)，對任意的r∈(0，1)，t>0，有t>dr(x，y)=0．因此

MD(x，y，t)=sup{r：r∈(0，1)}=1

相反地，假設對任意的t>0，有MD(x，y，t)=1，則對任意的r∈(0，1)，MD(x，y，t)>r．由(4)式知，存在1>r′>r，使得dr′(x，y)

(M4)：任取x，y，z∈X，t，s>0，令MD(x，y，t)=β，MD(y，z，s)=γ．對任意的ε>0且εβ-ε，r″>γ-ε，dr′(x，y)

dγ-ε(x，y)

因此MD(x，z，t+s)≥γ-ε．由ε的任意性和*算子的連續(xù)性可得

MD(x，z，t+s)≥γ=1*γ≥β*γ=MD(x，y，t)*MD(y，z，s)

(M5)：對任意的x，y∈X，t0>0和ε>0，有MD(x，y，t0)-εMD(x，y，t0)-ε，即MD(x，y，t0)-r0<ε．當dr0(x，y)

MD(x，y，t0)-MD(x，y，t)≤MD(x，y，t0)-r0<ε

也就是說MD(x，y，·)在t0處是左連續(xù)的．再由t0的任意性知MD(x，y，·)是左連續(xù)的．

3 模糊度量空間中的等距同構(gòu)

在本節(jié)中，我們將研究模糊度量和偽度量族之間的等距同構(gòu)關(guān)系．

(5)

證只需證Φ和Φ的逆映射Φ-1都是連續(xù)的，只要證明：

具體證明過程是常規(guī)的．

推論1設(X，M，*)為模糊度量空間，DM={dr：r∈(0，1)}為由M生成的星偽度量族，則由M誘導的拓撲τM與其對應的由星偽度量族所誘導的拓撲τDM是一致的．

定義5設(X，M，*)和(X′，M′，*′)是兩個模糊度量空間，若存在X到X′上的一一映射ψ，使得?x，y∈X，t>0，都有M(x，y，t)=M(ψ(x)，ψ(y)，t)，則稱ψ是(X，M，*)到(X′，M′，*′)上的等距同構(gòu)映射，稱模糊度量空間(X，M，*)等距同構(gòu)于模糊度量空間(X′，M′，*′)．

(6)

(7)

由r的任意性知

(8)

由(7)式和(8)式知

由(6)式知

M(x，y，t)=M′(Φ(x)，Φ(y)，t)

從而(X，M，*)等距同構(gòu)于(X′，M′，*′)．

推論2設(X，M，*)為模糊度量空間，DM={dr：r∈(0，1)}為由M生成的星偽度量族，MDM為由DM={dr：r∈(0，1)}導出的模糊度量，則(X，M，*)等距同構(gòu)于(X，MDM，*)．因此，由M和MDM導出的拓撲是一致的．

定理7設(X，M，*)為模糊度量空間，若(X，M，*)滿足條件：對任意的x，y，z∈X，s，t>0，有

M(x，y，s+t)≥M(x，z，s)∧M(z，y，t)

(9)

證取X=X′，Φ(x)=x(?x∈X)．設dr(x，y)由(3)式定義，則由定理3知dr(x，y)為X上的分離的星偽度量族．

于是由(3)式知

再由t1，t2的任意性得

dr(x，y)≤dr(x，z)+dr(z，y)

最后，由dr(x，y)的定義即知(X，M，*)與(X′，dr，r∈(0，1))等距同構(gòu)．

推論3每個模糊度量(X，M，∧)都可以被分解成X上的一族偽度量．

容易證明，若M(x，y，·)是連續(xù)的，則定理7的逆定理也成立，即：