蒙 璐，儲(chǔ)昌木，雷 俊

貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴陽(yáng) 550025

考慮如下非線性Neumann問題：

(1)

其中Ω?RN(N≥3)是邊界光滑的有界域，

(2)

(f1) 存在常數(shù)a>0和0<σ<1，使得對(duì)任意(x，s)∈Ω×R，|f(x，s)|≤a|s|σ；

近年來，對(duì)具有Neumann邊界的橢圓型偏微分方程的研究引起了許多學(xué)者的注意，也獲得了一些新的成果(見文獻(xiàn)[1-10])．此外，文獻(xiàn)[11]研究了如下帶有變號(hào)位勢(shì)的Neumann問題：

其中Ω是RN中光滑的有界域，p>1，a(x)是Ω上變號(hào)的連續(xù)函數(shù)，并利用約束最大化方法探討了半線性橢圓型問題正解的存在性．

文獻(xiàn)[12]研究了以下問題：

問題(1)對(duì)應(yīng)的泛函為

其中u∈H1(Ω)，

由文獻(xiàn)[10]知，H1(Ω)可作直和分解

H1(Ω)=R?V

其中

對(duì)u∈H1(Ω)，有u=t+v，其中v∈V，

時(shí)，有

證若不然，則對(duì)?n∈N，存在tn∈R，vn∈V，使得當(dāng)

時(shí)，有

(3)

或

(4)

由ωn在Lp-(Ω)和Lp+(Ω)上均趨于0知

當(dāng)|tn|≤1時(shí)，對(duì)?x∈Ω，|tn|p+-p-≤|tn|p(x)-p-≤1．(4)式兩邊同時(shí)除以|tn|p-，可得

即

同樣，當(dāng)n→∞時(shí)，有

綜上所述，引理1的結(jié)論成立．

引理2假設(shè)條件(f1)，(f2)和(2)式成立，則存在λ*，β，ρ>0，使得對(duì)任意λ∈(0，λ*)，有：

證當(dāng)|t|≤1時(shí)，對(duì)某一固定的η>0，若‖v‖2≤η|t|，則由引理1可知

其中

因此

(5)

(6)

由Sobolev不等式知，當(dāng)‖u‖V=ρ<1時(shí)，存在常數(shù)C1>0，使得

故當(dāng)‖u‖V=ρ<1時(shí)，

取

就有

由‖u‖V=ρ和(6)式，有

(7)

由條件(f1)知，存在常數(shù)C(ρ)>0，使得

因而，對(duì)‖u‖V=ρ，存在λ*>0，當(dāng)0<λ<λ*時(shí)，有

由mes(Ω1)>0，則

注意到p->2，當(dāng)t→∞時(shí)，Jλ(tv0)→-∞．取t1充分大，使得ω=t1v0滿足‖ω‖≥ρ，則Jλ(ω)<0．

引理3假設(shè)條件(f1)，(f2)和(2)式成立，則存在Λ*>0，使得0<λ<Λ*時(shí)，Jλ滿足(PS)條件．

證設(shè){un}是H1(Ω)中的任一(PS)序列，則存在c>0，使得當(dāng)n→∞時(shí)，有

(8)

由(8)式可得

(9)

(10)

由條件(f1)知

由于‖vn‖=1，則存在C≥0，使得

故當(dāng)n→∞時(shí)，

類似地可以推出，當(dāng)n→∞時(shí)，

由此，

則當(dāng)n→∞時(shí)，可得

取任意的i，j∈N，就有

又因?yàn)?/p>

定理1假設(shè)條件(f1)，(f2)和(2)式成立，則存在λ*>0，使得0<λ<λ*，那么問題(1)有兩個(gè)非平凡解．

證由引理2知

由山路引理知，問題(1)存在另一個(gè)解u2，滿足Jλ(u2)=cλ>0．由于

Jλ(u1)<0=Jλ(0)

故u1和u2是問題(1)的兩個(gè)不同的非平凡解．