譚 奧 陳再輝 劉沛堯 夏金康 陳 臣 陳凱文

(河南科技大學(xué),河南 洛陽471003)

目前,無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于軍事偵察、高空攝影、農(nóng)林植保、電力巡檢等諸多領(lǐng)域,其中,四旋翼無人機(jī)憑借結(jié)構(gòu)簡單、機(jī)身輕巧、飛行靈活等優(yōu)勢備受關(guān)注。而單旋翼垂直起降系統(tǒng)是四旋翼無人機(jī)的基礎(chǔ)控制系統(tǒng)。所以本文將通過Matlab建模仿真,探索單旋翼垂直起降控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案。

1 數(shù)學(xué)建模

電機(jī)螺旋槳懸臂構(gòu)成了一組具有一定質(zhì)量的機(jī)械系統(tǒng),能夠在拉力的作用下繞中心上下轉(zhuǎn)動,為了簡化分析,忽略懸臂質(zhì)量和摩擦力。設(shè)l為懸臂長度,m為電機(jī)質(zhì)量,θ為懸臂角度,f為螺旋槳拉力,u為電機(jī)電壓,如圖1所示。

圖1 受力分析圖

已知電機(jī)電壓和轉(zhuǎn)速的簡化數(shù)學(xué)模型為一階線性微分方程,而工作點附近螺旋槳拉力和電機(jī)轉(zhuǎn)速成正比。則在切線方向上的運(yùn)動方程由牛頓第二定律可以得到:

由(1)式可得到角度和電壓的關(guān)系:

在matlab Simulink搭建電機(jī)螺旋槳懸臂模型,選取參數(shù)后進(jìn)行仿真。探究電機(jī)螺旋槳懸臂自身固有變量參數(shù)對模型的性能影響分析,進(jìn)而對電機(jī)、懸臂的選用提供理論基礎(chǔ)。

2 參數(shù)辨識

2.1 螺旋槳懸臂系統(tǒng)傳遞函數(shù)的建立

由所建模型可得螺旋槳升力與電機(jī)電壓的傳遞函數(shù):

方程(1)中存在難以分析的非線性項,則可以使用微小偏差法對其在某個特定的工作點附近進(jìn)行線性化處理,得到其最后的傳遞函數(shù)為:

懸臂系統(tǒng)為三階系統(tǒng),有3個極點p1、p2、p3,如果電機(jī)的反應(yīng)速度非?？?遠(yuǎn)快于懸臂的反應(yīng)速度,也就是說對應(yīng)的極點遠(yuǎn)離虛軸,其它兩個極點是主導(dǎo)極點。綜合公式(3)和(4)則可以簡化為二階系統(tǒng)為:

2.2 階躍響應(yīng)辨識模型參數(shù)

搭建一簡易電機(jī)螺旋槳懸臂,以51單片機(jī)為控制器,進(jìn)行單位階躍響應(yīng)實驗。在工作電壓2V上施加一個 ΔU=0.2 V電壓增量,記錄角度 θ隨時間的變化情況,然后利用Matlab的系統(tǒng)辨識工具辨識懸臂系統(tǒng)模型的傳遞函數(shù)參數(shù),擬合曲線如圖2所示。

圖2 電機(jī)螺旋槳懸臂模型擬合曲線

圖中黃色代表三階系統(tǒng),擬合度為92.6%;

圖中紅色為二階系統(tǒng),擬合度為86.7%;

3 控制系統(tǒng)的設(shè)計仿真

3.1 PID的基本控制方法

通過持續(xù)不斷的調(diào)節(jié),系統(tǒng)最終能夠自動找到某個合適的控制指令,此時螺旋槳以某個速度旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生的拉力恰好與重力平衡,使懸臂停留在設(shè)定位置上,流程圖如圖3所示。

圖3 閉環(huán)負(fù)反饋控制器流程圖

PID控制算法作為工業(yè)控制實踐中最常見的控制算法?？刂破魇怯杀壤龁卧⒎e分單元及微分單元組成,包括Kp、Ki和Kd三個需要設(shè)定的系數(shù)。即:

而一個控制系統(tǒng)的基本要求是穩(wěn)定、準(zhǔn)確、快速。PD控制中的比例項能夠減小偏差,微分項能夠減小偏差的變化速度、抑制振蕩。PI調(diào)節(jié)器主要用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。通過仿真可以得到Kp、Ki和Kd對控制器性能參數(shù)的影響。

3.2 綜合校正

電機(jī)懸臂控制系統(tǒng)中,Gmp(s)作為被控對象的傳遞函數(shù),控制器Gc(s)被稱為校正環(huán)節(jié)。輸入是期望角度,輸出是實際角度。則可以得到經(jīng)過校正后的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:

設(shè)計控制器使閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)滿足下列性能指標(biāo):

(1)上升時間小于0.5 s;

(2)穩(wěn)態(tài)誤差小于5%;

(3)幅值裕量大于20dB;

(4)相位裕量大于40°。

第一條代表了快速性,第二條代表快速性,第三、四條代表穩(wěn)定性。利用Matlab中的“Contral System Design”對控制系統(tǒng)進(jìn)行校正,使控制器滿足給定的性能要求,校正結(jié)果如圖4所示。

圖4 校正設(shè)計結(jié)果

最終設(shè)計出的控制器由一個積分環(huán)節(jié)、兩個超前校正環(huán)節(jié)構(gòu)成。即:

閉環(huán)系統(tǒng)性能完全滿足給定要求:

(1)上升時間0.12 s;

(2)穩(wěn)態(tài)誤差0%;

(3)幅值裕量31.8 dB;

(4)相位裕量69.8°。

4 結(jié)論

4.1 電機(jī)螺旋槳懸臂是一個三階系統(tǒng),若電機(jī)反應(yīng)速度很快,即電壓能迅速控制螺旋槳拉力,系統(tǒng)就可以進(jìn)一步簡化為二階系統(tǒng),通過階躍響應(yīng)實驗可以得到其傳遞函數(shù)模型。

4.2 從時間的角度考慮,比例作用主要是針對當(dāng)前系統(tǒng)誤差進(jìn)行控制,積分作用則針對系統(tǒng)誤差進(jìn)行記憶,提高系統(tǒng)的無差度,而微分作用則反映了系統(tǒng)誤差的變化趨勢,這三者的組合PID則是“過去、現(xiàn)在、未來”的完美結(jié)合。

4.3 對控制系統(tǒng)進(jìn)行綜合校正,可以達(dá)到設(shè)定的性能要求。