鄧 琳, 徐金利

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 哈爾濱 150040)

0 引 言

設(shè)Mm和Sm分別是復(fù)數(shù)域上m×m全矩陣和對(duì)稱矩陣全體。Eij表示矩陣單位,In和0分別表示單位矩陣和零矩陣, ?表示矩陣的張量積。 1959年, Marcus等最早刻畫了保矩陣秩的線性映射[1], 之后Beasley等給出了Sn上保持秩k線性映射的形式[2], Zhang刻畫了不同對(duì)稱矩陣空間之間保持秩的線性映射[3]。

引理1[3]設(shè)L是Sm到Sn的線性映射, 則

rankL(A)=rank(A), ?A∈Sm

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)m≤n并且存在可逆陣P∈Mn,使得

2012年, 著名矩陣論專家李志光教授在矩陣與算子國際會(huì)議上提出刻畫保持矩陣張量積秩的線性映射問題[4], Zheng等隨后給出該問題的回答[5]。近年來, 很多學(xué)者對(duì)矩陣張量積上各種保持問題進(jìn)行了大量的研究, 參看文獻(xiàn)[6-14]。

本文考慮保持對(duì)稱矩陣張量積秩的線性映射:

定理1線性映射φ:Sm?Sn→Smn保持矩陣張量積秩, 即：

rankφ(A?B)=rank(A?B), ?A∈Sm,B∈Sn

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆陣P∈Mmn，使得

φ(X)=PXPt, ?X∈Sm?Sn

1 相關(guān)引理

引理2設(shè)U,V∈Mn是可逆陣。如果

XU=VX, ?X∈Sn

(3)

則U=V=λIn, 其中λ∈*。

Matsaglia等在1974年得到如下的引理:

引理3[15]設(shè)m,n,r是正整數(shù), 滿足mr≤n。如果Xk∈Sn,k=1,…,m滿足

則存在可逆陣U,V∈Mn滿足

Xk=U((Ekk?Ir)⊕0n-mr)V,k=1,…,m

引理4設(shè)k,m,n是正整數(shù)滿足k≤m,A,B∈Sn是可逆矩陣。如果X∈Smn滿足

(4)

則存在Y∈Mn，使得

X=Eij?Y+Eji?Yt

證明不失一般性, 不妨設(shè)i=1,j=2。

由于A,B是可逆的對(duì)稱矩陣, 所以存在可逆陣U,V∈Mn使得A=UUt，B=VVt, 再記

式中：X11,X22∈Sn，X33∈Smn-2n。

由式(4)得到

記tanθ=λ, 則有

由于使得det(λ-1In+X11)≠0的λ有無窮多個(gè), 對(duì)這些λ有

進(jìn)而

式中adj(λ-1In+X11)是(λ-1In+X11)的伴隨矩陣。注意到det(λ-1In+X11)是關(guān)于λ-1的n次多項(xiàng)式, 而adj(λ-1In+X11)的每個(gè)位置元素均是關(guān)于λ-1的至多n-1次多項(xiàng)式。 因此有

2 保對(duì)稱矩陣張量積秩的線性映射刻畫

定理5充分性是顯然的， 由于必要性的證明較長(zhǎng), 分成以下兩個(gè)命題:

命題6設(shè)Ak∈Sm,k=1,…,m滿足

則存在可逆陣U∈Mmn使得對(duì)任意的k=1,…,m，有

φ(Ak?B)=U(Ekk?B)Ut, ?B∈Sn

證明因?yàn)?/p>

rank(Ak?In)=n,k=1,…,m

和

所以

rank(φ(Ak?In))=n,k=1,…,m

及

由引理3知, 存在可逆矩陣U,V∈Mmn，使得

φ(Ak?In)=U(Ekk?In)V,k=1,…,m

記VU-t=[Fij],Fij∈Mn，并注意到φ(Ak?In)∈Smn，有

φ(Ak?In)=U(Ekk?In)(VU-t)Ut

因?yàn)?/p>

所以當(dāng)j≠k時(shí)Fjk=0, 于是U(Ekk?In)(VU-t)Ut=U(Ekk?Fkk)Ut。 由于

rankFkk=rankφ(Ak?In)=n

將φ與映射X復(fù)合, 復(fù)合后的映射仍然滿足式(2), 因此不妨設(shè)

φ(Ak?In)=Ekk?In,k=1,…,m

(5)

對(duì)k=1,…,m，定義Lk:Mn→Mmn,

Xφ(Ak?X)

由于rankAk=1，所以對(duì)任意的B∈Sn,有

rank(B)=rankLk(B)

這說明Lk是從Mn到Mmn的保對(duì)稱矩陣秩的線性映射, 對(duì)Lk應(yīng)用引理1知, 存在可逆矩陣Rk∈Mmn使得對(duì)任意的X∈Sn，有

(6)

由式(5)和式(6)可得

(7)

令

即

將上式代入式(6)得到

令

則對(duì)任意的X∈Sn,有

φ(Ak?X)=U(Ekk?X)Ut

這就證明了命題6。

對(duì)Ak=Ekk,k=1,…,m，應(yīng)用命題1, 不妨設(shè)

φ(Ekk?B)=Ekk?B,k=1,…,m, ?B∈Sn

(8)

命題7對(duì)任意的1≤i

φ((Eij+Eji)?B)=((λijEij+λjiEji)?B), ?B∈Sn

(9)

證明為了方便, 僅對(duì)i=1,j=2時(shí)給出證明, 其他情況的證明是類似的。

令

由命題6, 存在可逆陣Q∈Mmn使得對(duì)任意的X∈Sn，有

φ(Ak?X)=Q(Ekk?X)Qt,k=1,…,m

(10)

由式(8)和式(10)可得

Ekk?X=Q(Ekk?X)Qt,k=3,…,m

(11)

記Q=[Qij]m×m, 式中Qij∈Mn。 取X=In, 由式(11)得

(Ekk?In)Q-t=Q(Ekk?In),k=3,…,m

因此

(12)

記

式中T11,T12,T21,T22∈Mn, 由式(8)、式(10)和式(12)可知，對(duì)任意的X∈Sn，有

(13)

及

(14)

另一方面, 注意到, 對(duì)任意可逆的B∈Sn和任意的λ∈C, 有

rank(cos2θ(E11?B)+sin2θ(E22?B)+sinθcosθ((E12+E21)?B))=n

由式(8)得

rank(cos2θ(E11?B)+sin2θ(E22?B)+sinθcosθφ((E12+E21)?B))=n

應(yīng)用引理4得

式中YB∈Mn， 再由B∈Sn的任意性, 可知

(15)

式中Y(X)∈Mn。

取X=In, 由式(13)、式(14)和式(15)可得

2Q11T11=2Q22T22=2Q21T21=2Q12T12=In

這表明T11,T21和Q22是可逆陣， 再由式(13)、式 (14)和式(15)可得

由引理2得，(T11)-1T21=λ12In。 由式(13)和式(15)可得

如果m≥3, 則對(duì)1≤i

rank((Eii+Ejj+Ekk+(Eij+Eji)+(Eik+Eki)+(Ejk+Ekj))?In)=n

及φ的性質(zhì)、式(2)和式(8)，結(jié)合命題2所得的結(jié)果可知

于是有

(16)

由式(16)得

λijλjk=λik

(17)

令

因?yàn)閷?duì)任意的i=1,…,m,

及任意的1≤i

再由φ是線性映射, 結(jié)合式(8)和式(9), 對(duì)任意的A∈Sm,B∈Sn有

φ(A?B)=∑aiiφ(Eii?B)+∑aijφ((Eij+Eji)?B)

=∑aiiEii?B+∑aij(λijEij+λjiEji)?B

=∑aiiPEiiP?B+∑aij(P(Eij+Eji)P)?B

=(P(∑aiiEii+∑aij(Eij+Eji))P)?B

=(PAP)?B=(P?I)(A?B)(P?I)

這證明了定理5的必要性。