李 林 余玉龍 韓 慧

①(電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 洛陽 471003)

②(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 西安 710071)

1 引言

波達(dá)角(Direction Of Arrival， DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理中的一個(gè)重要研究課題，在無線通信、雷達(dá)和醫(yī)學(xué)成像等許多領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。在陣列結(jié)構(gòu)方面，平面陣的應(yīng)用最為廣泛。在過去的幾十年中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了許多基于平面陣列結(jié)構(gòu)的DOA估計(jì)算法，包括面陣[1，2]、L型陣列[3]和平行線陣[4]等。平面陣列通常由幾個(gè)均勻間隔的線性子陣列構(gòu)成，具有有限的自由度，例如含 M個(gè)陣元的L型均勻線陣陣列，最多可以估計(jì)M -1個(gè)入射信號(hào)角度。

近年來，稀疏陣列由于能夠有效提高陣列的自由度而受到廣泛關(guān)注，例如最小冗余陣列[5]、嵌套陣列[6]和互質(zhì)陣列[7]等。與傳統(tǒng)陣列相比，稀疏陣列可以在保證性能的前提下充分地減少陣元數(shù)，或在陣元數(shù)相同的情況下，擁有更大的陣列孔徑、更低的旁瓣級(jí)，通過對(duì)陣元位置和加權(quán)的解算改善測(cè)向算法的精度、分辨率和自由度。在稀疏嵌套陣列方面，文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]將嵌套陣列從1維DOA估計(jì)推廣到2維DOA估計(jì)，提出了一種包含兩個(gè)均勻間隔線性子陣的2維嵌套陣列。在L型互質(zhì)陣列方面，有基于迭代最小化和離網(wǎng)格稀疏學(xué)習(xí)[10，11]。在平行互質(zhì)陣列方面，文獻(xiàn)[12]首次提出了利用平行互質(zhì)陣列的互協(xié)方差矩陣構(gòu)造1維向量，通過稀疏重構(gòu)和最小二乘法得到相互匹配的DOA估計(jì)，提升了陣列的自由度，但是在小快拍情況下精度較差，且算法復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]針對(duì)復(fù)雜度較高問題，將2維DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為1維表示，利用互協(xié)方差矩陣和壓縮感知方法進(jìn)行角度估計(jì)，一定程度上提高了估計(jì)精度。上述算法主要利用了平行互質(zhì)陣列的互協(xié)方差矩陣，文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]使用平行互質(zhì)陣列的協(xié)方差矩陣，采用1維DOA估計(jì)結(jié)合功率進(jìn)行匹配實(shí)現(xiàn)俯仰角和方位角估計(jì)，但是容易出現(xiàn)失配現(xiàn)象。

可以看出，現(xiàn)有平行互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法只利用了陣列的協(xié)方差矩陣或互協(xié)方差矩陣，需要網(wǎng)格搜索和匹配，存在著計(jì)算復(fù)雜度較高、算法精度不足、容易出現(xiàn)失配等問題。針對(duì)現(xiàn)有算法的不足，本文提出了一種新的基于平行互質(zhì)線陣2維DOA估計(jì)算法，利用兩個(gè)線陣的協(xié)方差矩陣和互協(xié)方差矩陣構(gòu)造新的DOA估計(jì)矩陣。在此基礎(chǔ)上，利用SVD和ESPRIT算法，根據(jù)特征值和特征向量得到相匹配的方位角和俯仰角。與現(xiàn)有算法相比，本文算法充分地利用了自相關(guān)和互相關(guān)矩陣信息，可以估計(jì)更多的信源數(shù)，精度更高。同時(shí)由于陣元孔徑的擴(kuò)展，算法的分辨能力較高，計(jì)算復(fù)雜度較低，且在低信噪比和小快拍的情況下性能較好。

文中符號(hào)說明：(·)T， (·)*， (·)H， (·)-1和(·)+分別表示矩陣轉(zhuǎn)置、共軛、共軛轉(zhuǎn)置、求逆和求偽逆；diag(v)表示以v 為主對(duì)角線元素的對(duì)角矩陣；vec(·)表示矩陣?yán)欤? 表示Khatri-Rao積； I表示單位矩陣；arg(·)表示取相位角。

2 信號(hào)模型

圖1 平行互質(zhì)陣列幾何模型

3 基于平行互質(zhì)虛擬陣列的低復(fù)雜度2維DOA估計(jì)算法

前文已指出，現(xiàn)有的2維DOA估計(jì)算法存在著計(jì)算復(fù)雜度較高、算法精度不足、容易出現(xiàn)失配等問題。針對(duì)這一問題，本文重點(diǎn)研究了2維虛擬陣列，提出了一種適用于平行互質(zhì)虛擬陣列的2維DOA估計(jì)算法。

3.1 擴(kuò)展矩陣構(gòu)造

可見，矩陣 V1的尺寸為(MN +M)×(MN +M)?？梢詫1表示為

其中，W 為對(duì)角矩陣，和信號(hào)的功率相關(guān)。 D中包含了入射信號(hào)與X軸的夾角信息。

同樣，可以通過接收的信號(hào)，定義子陣1和子陣2的互協(xié)方差矩陣為

同理，剔除v2中的重復(fù)元素，并取其中連續(xù)的虛擬陣元，可以得到

與式(7)類似，構(gòu)造互協(xié)方差矩陣，即對(duì) vˉ2中的元素重新排列，可得

由式(8)和式(12)，構(gòu)造DOA估計(jì)的擴(kuò)展矩陣

3.2 2維DOA估計(jì)

在3.1節(jié)中，通過子陣1的協(xié)方差矩陣及其與子陣2的互協(xié)方差矩陣，構(gòu)造出DOA估計(jì)矩陣Rm。接下來，本文利用SVD和ESPRIT算法，由特征值和特征向量得到相匹配的方位角和俯仰角。

首先，對(duì)DOA估計(jì)矩陣Rm進(jìn)行奇異值分解可得

其中，U1為信號(hào)子空間，U2為噪聲子空間，則

其中，U11和U12的維度均為(MN +M)×K。

通過U11和U12的關(guān)系，構(gòu)造矩陣 F，使得

通過對(duì)式(20)進(jìn)行特征值分解，其對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成的矩陣為 T，通過(18)式有

通過聯(lián)立式(21)和式(25)，可得到相互匹配的方位角和俯仰角，即

3.3 算法步驟

基于以上理論分析，這里給出本文算法的具體步驟。

步驟 1 根據(jù)實(shí)際應(yīng)用，通過有限的快拍數(shù)對(duì)協(xié)方差矩陣和互協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)，即

本文所提出的算法，利用互質(zhì)虛擬陣列的思想，對(duì)于2維平行陣列進(jìn)行擴(kuò)展，能利用有限的陣元估計(jì)更多的入射角度，同時(shí)由于陣元孔徑的擴(kuò)展，對(duì)入射角度的分辨能力更好，并且在低信噪比和小快拍的情況下精確度相對(duì)較高，且算法復(fù)雜度更低。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

在本節(jié)實(shí)驗(yàn)中，令 M=3， N=5，則子陣1的真實(shí)陣元數(shù)為2M -1+N，即L=10，陣元位置為{0 3 5 6 9 10 12 15 20 25}。考慮多個(gè)入射信號(hào)的情況，假設(shè)信號(hào)源個(gè)數(shù)K=11，即入射信號(hào)大于實(shí)際陣元數(shù)。此時(shí)，傳統(tǒng)平行線陣算法均已失效，而本文算法仍然可以有效地估計(jì)出入射角度，如圖2所示。本文提出算法能很好地?cái)U(kuò)展陣列孔徑，提高陣元利用率，最多可估計(jì)MN +M -1個(gè)入射角度，遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)算法。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證提出算法的高分辨性能，我們假設(shè)入射信號(hào)個(gè)數(shù)為2，入射角為(10°，11°)和(11°，12°)。此時(shí)，傳統(tǒng)算法失效。本文算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，可以看出，雖然存在一定誤差，但依然可以分辨出兩個(gè)非常接近的入射角度。需要注意的是，由于角度較為接近，實(shí)驗(yàn)中需要較高的信噪比和快拍數(shù)。

為了衡量算法的估計(jì)精度，本文采用均方根誤差(RMSE)準(zhǔn)則，定義為

圖4為快拍數(shù)對(duì)本文算法性能的影響，并與已有算法進(jìn)行比較。其中，文獻(xiàn)[4]基于平行線陣2維PM算法，文獻(xiàn)[12]基于基于平行互質(zhì)陣列算法。考慮現(xiàn)有算法的適用范圍，這里對(duì)4個(gè)信源進(jìn)行估計(jì)，入射角分別為(10°，10°) ， (20°，20°)，(30°，30°)和(40°，40°)。可以看出，本文算法在少量快拍下也有較好的估計(jì)性能。特別當(dāng)快拍數(shù)P=10時(shí)候，本文算法依然可以實(shí)現(xiàn)有效DOA估計(jì)，可適用于小快拍場(chǎng)景下工作。

接下來，分析信噪比變化對(duì)圖4中各種算法性能的影響。為了減小快拍數(shù)對(duì)不同算法的影響，實(shí)驗(yàn)中采用較大的快拍數(shù)，即P=1000。實(shí)驗(yàn)中入射信號(hào)情況與圖4相同，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯觯疚乃惴ㄔ诘托旁氡惹闆r下依然具有較高的估計(jì)精度。

圖2 K=11時(shí)算法估計(jì)結(jié)果(SNR=10 dB， P=500)

圖3 高分辨率實(shí)驗(yàn)(K=2， SNR=20 dB， P=500)

最后，為了對(duì)不同DOA估計(jì)算法的復(fù)雜度進(jìn)行比較分析，在相同硬件和軟件條件下，進(jìn)行1000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)各種算法的運(yùn)行時(shí)間。實(shí)驗(yàn)中計(jì)算機(jī)的CPU為I7-8550U，內(nèi)存為8 G。實(shí)驗(yàn)中入射信號(hào)情況與圖3和圖4相同，采樣快拍數(shù)P =500，信噪比SNR=20 dB。實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示，可以看出，本文算法的計(jì)算復(fù)雜度優(yōu)于文獻(xiàn)[12]中的平行互質(zhì)陣列算法，但略高于平行線陣PM算法。

5 結(jié)論

本文提出一種基于平行互質(zhì)虛擬陣列的低復(fù)雜度2維DOA估計(jì)算法，將傳統(tǒng)平行線陣與互質(zhì)虛擬陣列相結(jié)合。本文采用擴(kuò)展的DOA矩陣，在進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，通過奇異值分解并提取旋轉(zhuǎn)不變因子，避免了傳統(tǒng)算法的譜峰搜索，降低了算法復(fù)雜度，獲得了自動(dòng)匹配的DOA估計(jì)。同時(shí)，采用虛擬陣列擴(kuò)展了陣元孔徑，解決了傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法入射信源數(shù)小于真實(shí)物理陣元數(shù)問題。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提算法具有更高的分辨能力，可以分辨更多的輻射源信號(hào)，而且在低信噪比和小快拍情況下也優(yōu)于傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法。

圖4 不同快拍數(shù)算法性能對(duì)比(K=4， SNR=10 dB)

圖5 不同信噪比下的性能分析(K=4， P=1000)

表1 不同2維DOA估計(jì)算法運(yùn)行時(shí)間(s)