劉方正 韓振中 曾瑞琪

(國防科技大學電子對抗學院電子對抗信息處理重點實驗室 合肥 230037)

1 引言

對雷達信號的準確分析處理是雷達對抗的核心任務之一?，F(xiàn)有偵察采集設備特別是升空設備在信號實時采集過程中，受一系列弱觀測因素(如低信噪比、信號傳輸和存儲短猝故障、平臺姿態(tài)斷續(xù)對準目標等)的影響，導致部分時間內(nèi)采集數(shù)據(jù)發(fā)生連續(xù)丟失或者隨機丟失，同時伴有噪聲干擾，嚴重影響了采集信號的完整性和準確性。因此，在進行雷達信號的分析與處理之前，必須進行合理的降噪與重構(gòu)處理。如果能夠去除實際采集數(shù)據(jù)中的噪聲干擾，修復采集過程中丟失的數(shù)據(jù)，則將有效提高雷達對抗偵察信號處理結(jié)果的正確性和可靠性。

針對雷達信號的降噪問題，學者先后提出了短時傅里葉變換(Short-Time Fourier Transform，STFT)、卡爾曼濾波(Kalman Filtering， KF)、小波域變換(Wavelet Transform， WT)[1]、經(jīng)驗模態(tài)分解(Empirical Mode Decomposition， EMD)[2]等方法。雷達信號一般為非平穩(wěn)信號，但STFT不能完全表征非平穩(wěn)信號的時間頻率變換特性，故這類方法存在一定的局限性。KF雖然可以處理非平穩(wěn)信號，但在處理缺失信號或快速變化信號時，該類方法誤差較大[3]。WT具有良好的時頻局部特性，但由于其基函數(shù)難以自適應信號變化的特點[4]，這類方法亦有不足。EMD具有良好的自適應性，可以極好地反映信號局部頻率特征，但存在端點效應、模態(tài)混疊等問題[5]。2014年，文獻[6，7]提出的變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition，VMD)方法自適應效果好，可處理非線性、非平穩(wěn)信號。該類方法可克服EMD的模態(tài)混疊問題，運算效率高，降噪能力強。目前，VMD已應用于激光雷達信號、監(jiān)測信號、地震勘探信號、語音信號等領域的降噪處理[8—11]。

對于弱觀測條件下雷達信號重構(gòu)問題，即采集過程中丟失數(shù)據(jù)修復問題的傳統(tǒng)解決方法主要有插值法和曲線擬合法等。該類方法首先基于已有數(shù)據(jù)信息提取數(shù)據(jù)的分布，然后根據(jù)分布估計缺失的數(shù)據(jù)，然而該類方法需要求解高維方程組，隨著數(shù)據(jù)量的增大，求解過程會越來越困難。此外，該類方法并未結(jié)合雷達信號的數(shù)據(jù)特點，因此其重構(gòu)信號與原始信號相差較大，難以滿足信號精細分析處理需求，影響雷達信號脈沖寬度、重復頻率、脈內(nèi)調(diào)制類型、碼元寬度及編碼規(guī)律等重要特征的判斷和參數(shù)估計。壓縮感知理論(Compressed Sensing，CS)將原始采集數(shù)據(jù)投影到只有少量測量值的稀疏空間，通過采用適當?shù)闹貥?gòu)算法得到完整信號。CS理論目前已經(jīng)在諸多領域得到研究和應用，如圖像處理領域，龔忠毅[12]研究了基于子帶自適應稀疏表示的圖像壓縮感知重構(gòu)方法；醫(yī)療信號監(jiān)測領域，齊林等人[13]提出了基于CS的心電信號稀疏采樣和重構(gòu)方法；雷達領域，雷勵[14]基于CS理論設計了MIMO雷達波形，蔣瑩等人[15]提出的分布式壓縮感知算法有效地解決了基于稀疏陣列的寬帶欠定信號到達角估計問題；數(shù)據(jù)修復領域，張新鵬等人[16]提出一種基于壓縮感知原理的振動數(shù)據(jù)修復方法，另外在航天[17，18]、超寬帶雷達[19]等領域也都開展了CS 的應用研究工作。

本文在上述研究的基礎上，將VMD算法和CS原理引入弱觀測條件下雷達信號數(shù)據(jù)修復問題中，提出了一種基于VMD-CS的雷達信號數(shù)據(jù)重構(gòu)方法。該方法首先利用VMD算法對采集信號進行降解去噪處理，然后根據(jù)VMD算法的處理結(jié)果構(gòu)造CS框架下的觀測矩陣，進而針對雷達信號的特點，建立稀疏表示字典矩陣，在此基礎上利用正交追蹤匹配(Orthogonal Matching Pursuit， OMP)算法重構(gòu)完整的雷達信號[20]。

2 VMD-CS雷達信號數(shù)據(jù)重構(gòu)

弱觀測條件下，實際采集的雷達信號不僅在完整性上有損失，且伴有污染。因此，高精度重構(gòu)原始雷達信號須在實際采集的殘損信號中，一方面消除噪聲干擾的影響，另一方面修復丟失的數(shù)據(jù)。因此本文提出了一種基于VMD-CS算法的雷達信號數(shù)據(jù)重構(gòu)方法，如圖1所示。假定采集信號是由殘缺的實際信號疊加上噪聲等干擾信號構(gòu)成。首先使用VMD算法對采集信號進行降解去噪處理，進而使用CS模型處理降噪數(shù)據(jù)，高精度重構(gòu)原始雷達信號。

圖1 VMD-CS雷達信號數(shù)據(jù)重構(gòu)系統(tǒng)框圖

3 VMD降解去噪

VMD算法針對EMD算法存在的模態(tài)混疊、虛假分量和端點效應等問題作出改進。該方法首先假設每一個固有模態(tài)(Intrinsic Mode Function，IMF)分量有著不同的中心頻率和有限帶寬，然后采用交替方向乘子法(Alternate Direction Method of Multipliers， ADMM)，不斷更新各模態(tài)及其中心頻率，使得每一個IMF分量的估計帶寬之和最小，逐步將各模態(tài)解調(diào)到相應的基頻帶，這樣便實現(xiàn)了信號從低頻到高頻的有效分離。換言之，只需在VMD算法處理之后，選取合適的IMF即可從采集信號中去除噪聲等干擾信號的影響。

假定將輸入信號f(t)分解為N個IMF分量，則相應的變分問題構(gòu)造過程如下：

(1) 對每個IMF分量進行Hilbert -Huang變換得到其解析信號

其中，δ(t)為狄利克來函數(shù)，uk(t)為IMF函數(shù)。

(2) 對各解析信號預估其中心頻率，將各信號的頻譜變換到基帶上，即

其中，wk為IMF的中心頻率

(3) 計算式(2)解調(diào)信號的歐氏距離，估計各模態(tài)帶寬。得到變分約束問題

為計算該變分約束模型的最優(yōu)解，需將該約束問題轉(zhuǎn)換成無約束問題。因此，引入二次罰函數(shù)項α和Lagrange乘數(shù)λ算子進行約束。

(4) ADMM算法迭代，得到最終的IMF分量。

由于VMD算法對信號進行模態(tài)分解時，雷達信號中的隨機噪聲將會被分離到較高模態(tài)中，通過去除較高頻率模態(tài)分量，便能抑制信號中的噪聲。另一方面，本文同時使用了非相關模態(tài)去除原則，既可以抑制噪聲的干擾，也可以消除實際雷達信號中混入的非相關無意干擾信號，處理結(jié)果如圖2所示?？梢娡ㄟ^VDM算法處理之后的降噪信號無論在時域上還是頻域上都得到了一定改善，信號中的噪聲部分被較好地分離出來了。

4 CS重構(gòu)

雷達信號采集數(shù)據(jù)可能存在連續(xù)丟失或者隨機丟失，通過標簽索引的方式標記所有數(shù)據(jù)，即標簽1表示數(shù)據(jù)未丟失，標簽0表示數(shù)據(jù)丟失，構(gòu)造采集信號的索引集合?；谒饕虾蛦挝痪仃嘔n∈RN×N可構(gòu)造出殘缺雷達信號的觀測矩陣Φ ∈RN×N。考慮到CS的數(shù)據(jù)恢復原理是將數(shù)據(jù)壓縮過程和采樣過程合并，將原始采集數(shù)據(jù)投影到只有少量測量值的稀疏空間，再采用適當?shù)闹貥?gòu)算法由測量值重構(gòu)得到完整信號。而在稀疏空間，雷達信號數(shù)據(jù)丟失概率相對較小，通過稀疏空間的信號重構(gòu)可以大概率恢復出原始雷達信號。因而，本文引入CS方法重構(gòu)雷達信號，同時考慮到離散余弦變換(Discrete Cosine Transform， DCT)適用于雷達信號數(shù)據(jù)的稀疏表示，故基于DCT變換構(gòu)造稀疏字典矩陣，再通過OMP算法重構(gòu)雷達信號。綜上所述，可將殘缺雷達信號重構(gòu)算法流程如圖3所示，具體步驟如下：

圖2 雷達信號VMD降噪結(jié)果

圖3 弱觀測條件下雷達信號重構(gòu)方法流程圖

4.1 信號重構(gòu)原理

設觀測得到的采集信號為y ∈RM(M＜N)，其中M表示實際采集得到的數(shù)據(jù)點數(shù)，N表示無丟失情況下的原始數(shù)據(jù)點數(shù)，即：采集設備在實際采集過程中丟棄了原始完整信號不是特別重要的N—M點數(shù)據(jù)。令這丟失的N—M點數(shù)據(jù)的數(shù)值為零(因為該N—M點數(shù)據(jù)對應時刻未能成功采集到信號)，因此可由實際采集的M點數(shù)據(jù)和這補充的N—M個零數(shù)據(jù)，重新構(gòu)建一組N點數(shù)據(jù)，記為x0，其在數(shù)據(jù)丟失位置對應的數(shù)據(jù)值為零。將丟失位置的索引記為集合Z，則將x0中對應集合Z索引位置的N—M個零值去掉，保持其它元素值順序和大小不變，可得到觀測信號y ∈RM(M＜N)。

設In∈RN×N為單位矩陣，將In中的第j行(j ∈Z)刪除，其它行保持順序和大小不變，可得到觀測矩陣Φ ∈RN×N，進而應用CS修復算法，可以重構(gòu)原始信號N點數(shù)據(jù)的估計值。

根據(jù)上述定義和假設，可得

其中， Φ為觀測矩陣。

原始信號x可以通過稀疏表示字典矩陣Ψ ∈RN×N進行稀疏化，即

其中，Θ 為稀疏表示系數(shù)向量。

令A=ΦΨ，則

此時已知實際觀測值(采集信號)y和測量矩陣A，需要重構(gòu)稀疏系數(shù)向量 Θ，如果Θ 滿足稀疏便可成為CS框架下的信號重構(gòu)過程。

有學者證明，只需測量矩陣A滿足約束等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property， RIP)或者觀測矩陣 Φ和稀疏表示字典矩陣 Ψ不相關即可實現(xiàn)信號的重構(gòu)[21]。

RIP的定義如下：對任意k-稀疏的信號 Θ和常數(shù)δk∈(0，1)，滿足

4.2 雷達信號修復

由上所述，雷達信號的修復過程主要與觀測矩陣 Φ、稀疏字典矩陣 Ψ以及稀疏表示系數(shù)向量Θ 有關。其中觀測矩陣Φ ∈RN×N的構(gòu)造方法前文已經(jīng)詳敘。為實現(xiàn)信號的重構(gòu)，測量矩陣A必須滿足RIP條件或者觀測矩陣 Φ和稀疏表示字典矩陣 Ψ不相關。即：只需要選擇合適的字典矩陣 Ψ即可實現(xiàn)信號修復。一般來說能夠使原始采集信號足夠稀疏的字典矩陣 Ψ并不是惟一的，能夠?qū)⒉杉盘栂∈杌淖值渚仃嚲捎糜谛盘栔貥?gòu)中。由于雷達信號的數(shù)據(jù)經(jīng)過DCT后對應的系數(shù)比較稀疏，因此本文采用DCT矩陣作為稀疏字典矩陣，設其為C ∈RN×N，矩陣C的第i行、j列的元素計算方法如式(10)所示。

稀疏表示向量Θ 為

4.3 OMP算法

5 仿真實驗

為驗證本文方法的有效性，本文針對常見雷達信號(線性調(diào)頻信號LFM、非線性調(diào)頻信號NLFM、Baker碼信號PSK)進行對比實驗，設置信號中心頻率為52 MHz采集時長為2 μs，采樣頻率為500 MHz，采樣點數(shù)為1000。對于線性調(diào)頻信號設置其調(diào)頻帶寬為4 MHz且為正向調(diào)頻，對于非線性調(diào)頻信號采用正向偶二次方方式進行調(diào)頻，調(diào)頻帶寬為4 MHz，對于Baker碼信號選用11位編碼方式。分別進行連續(xù)丟失和隨機丟失兩種情況下的對比實驗，分別從時域、頻域以及時頻域角度對比了傳統(tǒng)方法與本文方法的信號重構(gòu)結(jié)果。為了進一步精確分析本文方法的重構(gòu)效果，特別選用平均絕對誤差進行衡量，如式(12)所示

5.1 連續(xù)丟失數(shù)據(jù)信號重構(gòu)實驗

針對原始完整信號連續(xù)丟失的情況，分別從信號時域、頻域以及時頻域角度對比了原始完整信號、連續(xù)丟失數(shù)據(jù)信號、本文方法重構(gòu)結(jié)果以及傳統(tǒng)方法重構(gòu)結(jié)果，如圖4所示(由于圖片較多，連續(xù)丟失情況只顯示了LFM信號修復結(jié)果，隨機丟失選擇NLFM信號顯示)對于多脈沖信號，其脈內(nèi)信號與單脈沖信號相似，因此對于多脈沖信號情況，可采用逐個脈沖依次重構(gòu)的方法處理，然后再將各脈沖的重構(gòu)結(jié)果拼接，從而得到多脈沖信號的重構(gòu)結(jié)果。因此，多脈沖信號的實驗結(jié)果及其產(chǎn)生原因與單脈沖情況相似，只是幅值上有所增大。

分析圖4可知，在連續(xù)丟失10%數(shù)據(jù)的情況下，傳統(tǒng)的插值方法對于這種情況重構(gòu)效果非常差，丟失區(qū)域的時域重構(gòu)結(jié)果仍全為0，頻域以及時頻域上與原始完整信號區(qū)別更為明顯，時頻域上已經(jīng)丟失了原始信號的調(diào)頻特性。而本文的方法無論是對于LFM信號、NLFM信號還是PSK信號，都可以較好地重構(gòu)出了原始信號，重構(gòu)后信號在時域很接近，頻域以及瞬時頻率特性與原始完整信號基本相同，特別需要指出的是，在信號在時頻域重構(gòu)效果圖中，雖然由于缺失點數(shù)達到了100，線條上在缺失區(qū)域?qū)恢糜胁▌?，調(diào)頻特性有所損失，但是重構(gòu)信號在總體趨勢依然保留了原始完整信號的調(diào)頻特性。

分析原因可能是：傳統(tǒng)的插值算法重構(gòu)丟失點信號時，需要利用丟失點的鄰域信息進行插值計算，這就要求其鄰域信息是存在且可靠的，然而在連續(xù)丟失情況下，丟失區(qū)域中間點的鄰域點也發(fā)生了信息丟失情況，這顯然不滿足插值重構(gòu)的前提條件。相反，本文方法原理是將信號變換到稀疏域進行重構(gòu)修復，雖然信號在時域連續(xù)丟失了相對多的信息，但是當將其轉(zhuǎn)換到稀疏域之后，有可能只丟失了整個信號相對較少的信息，或者是丟失了原始信號的部分不重要信息，因此本文方法的重構(gòu)結(jié)果相較于傳統(tǒng)方法明顯有所改善。

圖4 連續(xù)丟失數(shù)據(jù)條件下修復結(jié)果

觀察圖4(c)可以發(fā)現(xiàn)：當使用傳統(tǒng)插值方法進行殘缺數(shù)據(jù)修復重構(gòu)時，重構(gòu)結(jié)果中出現(xiàn)了較為突出的一段低頻成分，這明顯是不合理的。分析產(chǎn)生這段低頻成分的原因可能是：當原始信號某處發(fā)生信息丟失時，直接反映在時域上是該處的采樣點數(shù)值為零，在連續(xù)發(fā)生數(shù)據(jù)丟失的條件下，便形成了一段時間的零采樣點情況。當采用傳統(tǒng)的插值算法進行重構(gòu)修復時，由于丟失區(qū)域中間點的鄰域點也發(fā)生了信息丟失情況，導致這些丟失區(qū)域中間點的插值條件基本相同，進而使得這段區(qū)域的插值結(jié)果基本相同，且數(shù)值變化平緩，這種平緩變化的數(shù)據(jù)反映在頻譜中便產(chǎn)生了一個較低的頻率成分。由于LFM信號與PSK信號的頻率變化相較于NLFM信號簡單，因此低頻混入情況也更為明顯。以至于當使用傳統(tǒng)插值法重構(gòu)LFM信號與PSK信號時，往往會出現(xiàn)混入的低頻成分幅值上超過原信號的主要頻率成分的情況，這種情況隨著丟失率的進一步上升越來越明顯。

同樣由于以上原因，在處理LFM， NLFM和PSK信號時，本文方法相較于傳統(tǒng)插值算法明顯更好的保留了原始信號的調(diào)頻特性。本文方法在處理LFM與NLFM信號時，雖然在丟失區(qū)域存在一定的波動，但其波動的幅值較小且整個時間段上依舊保留了原信號的調(diào)頻特性，而傳統(tǒng)插值算法在該區(qū)域完全丟失了原信號的調(diào)頻特性；處理PSK信號的時頻結(jié)果顯示本文方法完全修復了丟失區(qū)域頻率損失，只是帶來了一定的頻率波動，如圖4(f)所示。而傳統(tǒng)插值算法卻完全丟失了該區(qū)域，如圖4(e)所示。此外需要指出，插值算法重構(gòu)結(jié)果中，非丟失區(qū)域與原信號調(diào)頻特性是相同，然而由于丟失區(qū)域瞬時頻率變化幅值較大，導致非丟失區(qū)域的調(diào)頻特性被掩蓋了。

分析圖4(a)可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)據(jù)丟失率不高于30%時，本文方法重構(gòu)出的采集信號與原始真實信號相比平均相對誤差比較小，在丟失率超過40%后誤差增加明顯，有可能無法有效重構(gòu)出原始采集信號。即本文方法在連續(xù)數(shù)據(jù)丟失率不超過40%時，均可以較為完好的重構(gòu)原始信號。

5.2 隨機丟失數(shù)據(jù)信號重構(gòu)實驗

針對原始完整信號隨機丟失的情況，分別從信號時域、頻域以及時頻域角度對比了原始完整信號、隨機丟失數(shù)據(jù)信號、本文方法重構(gòu)結(jié)果以及傳統(tǒng)方法重構(gòu)結(jié)果，結(jié)果如圖5所示(由于圖片較多，隨機丟失情況只繪制了NLFM信號修復結(jié)果，連續(xù)丟失選擇LFM信號顯示)。對于多脈沖信號，其處理方法與連續(xù)丟失情況時相同。

圖5 連續(xù)丟失數(shù)據(jù)條件下修復結(jié)果

分析圖5可知，在隨機丟失50%數(shù)據(jù)的情況下，傳統(tǒng)插值方法的重構(gòu)效果相對較差，時域波動明顯，頻域峰值點處雖然與原始信號相同，但是出現(xiàn)很多雜亂的鄰域點，時頻域與原始完整信號偏差很大，完全丟失了原始信號的線性調(diào)頻特性。而本文的方法無論是對于LFM信號、NLFM信號還是PSK信號，都可以較好地重構(gòu)出了原始完整信號，重構(gòu)后信號在時域很接近原始信號，頻域特性與原始完整信號基本相同，時頻域上更是可以明顯的體現(xiàn)出原始信號的調(diào)頻特性。

相較于連續(xù)丟失情況，隨機丟失情況下，傳統(tǒng)方法的重構(gòu)結(jié)果有所改善，但是當丟失數(shù)據(jù)進一步提高時，依然會出現(xiàn)局部小區(qū)域連續(xù)丟失的情況，因此其依然逃避不了其自身修復數(shù)據(jù)的局限性。相反，由于本文方法是將信號變換到稀疏域進行相應處理，數(shù)據(jù)點之間存在一定的信息關聯(lián)性，在稀疏域中，隨機丟失情況下丟失的重要信息概率相較于連續(xù)丟失情況降低了，因此，在隨機丟失情況下，可以容忍的數(shù)據(jù)丟失率相較于連續(xù)情況更高。

觀察圖5(c)可以發(fā)現(xiàn)：相較于連續(xù)丟失情況，當使用傳統(tǒng)插值方法對隨機丟失信號進行殘缺數(shù)據(jù)修復重構(gòu)時，重構(gòu)結(jié)果中并未有出現(xiàn)了連續(xù)丟失情況中的那段低頻成分。分析原因可能是：由于隨機丟失率較低的時候，當前丟失點附近很小概率會出其他丟失點，因此插值方法重構(gòu)該點時所依據(jù)的信息還是準確的，而且由于每個丟失點所依據(jù)的鄰域數(shù)據(jù)點都不同，所以不會出現(xiàn)連續(xù)丟失情況中的大段相同數(shù)據(jù)點，即不會出現(xiàn)異常的低頻成分。然而隨著隨機丟失率的進一步提升，依然會出現(xiàn)局部小區(qū)域連續(xù)丟失的情況，所以這種異常的低頻成分會隨著隨機丟失率的提升而出現(xiàn)且越來越明顯。

此外，由于隨機丟失數(shù)據(jù)點位置的采樣值突變成零，這導致頻譜中出現(xiàn)一個高頻分量，這樣一個數(shù)據(jù)點的丟失就會出現(xiàn)1～2次的高頻分量情況，另一方面由于各丟失點之間的差異，因此導致丟失信號頻譜中出現(xiàn)較多的毛刺頻率分量。進一步觀察發(fā)現(xiàn)經(jīng)過本文方法重構(gòu)修復之后這種毛刺頻率分量也明顯較少，使得重構(gòu)頻譜與原信號頻譜更為接近。

同樣由于以上原因，在處理LFM，NLFM和PSK信號時，本文方法相較于傳統(tǒng)插值算法明顯更好的保留了原始信號的調(diào)頻特性。本文方法重構(gòu)結(jié)果相較于原信號只是多了一些頻率波動，但波動幅值不大，如圖5(f)所示。而傳統(tǒng)插值算法在整個時間段內(nèi)完全丟失了原信號的調(diào)頻特性，如圖5(e)所示。

分析圖5(a)可以發(fā)現(xiàn)：隨機丟失情況下的信號重構(gòu)效果要明顯優(yōu)于連續(xù)丟失情況下的信號重構(gòu)效果，數(shù)據(jù)隨機丟失率不高于60%時，本文方法的重構(gòu)信號與原始真實信號相比平均相對誤差接近于0，在丟失率超過65%后誤差明顯增大，有可能無法有效重構(gòu)出原始采集信號。即本文方法在隨機數(shù)據(jù)丟失率不超過60%時，可以較為完好的重構(gòu)原始信號。

6 結(jié)束語

本文將VMD算法與CS原理引入弱觀測條件下雷達信號數(shù)據(jù)修復問題中，提出了一種基于VMD-CS的雷達信號數(shù)據(jù)重構(gòu)方法。該方法首先利用VMD算法對采集信號進行降解降噪處理，然后根據(jù)VMD算法處理結(jié)果構(gòu)造CS框架下的觀測矩陣，接著針對雷達信號的特點，建立稀疏表示字典矩陣，在此基礎上利用OMP算法重構(gòu)采集信號。對比實驗結(jié)果顯示，無論是在連續(xù)丟失還是隨機丟失情況下，本方法相較于現(xiàn)有技術可以更好地重構(gòu)原始信號，其在時域、頻域以及瞬時頻率等方面與原始信號相當接近。