汪 意，劉潤(rùn)然，賈春曉

(杭州師范太學(xué) 復(fù)雜科學(xué)研究中心，浙江 杭州 311121)

0 引言

為了研究和預(yù)測(cè)傳染病的傳播規(guī)律、趨勢(shì)及范圍，學(xué)者們基于疾病發(fā)展過(guò)程，將人群分成若干類(lèi) ： 易 感 者 (Susceptible)、 潛 伏 者 (Exposed)、 感 染 者(Infected)、移除者(Recovered)[1]。 根據(jù)這些人群分類(lèi)并結(jié)合流行病的不同特征，人們建立了SIR(Susceptible-Infected-Recovered)[2]、SEIR(Susceptible-Exposed-Infected-Recovered)[3]等模型來(lái)研究疾病傳播趨勢(shì)和動(dòng)態(tài)過(guò)程。 在此基礎(chǔ)上，人們發(fā)現(xiàn)感染者在傳播時(shí)的特征對(duì)疾病在人群中的擴(kuò)散過(guò)程有著重要影響，如在SEIR 模型中的超級(jí)傳播者[4]、無(wú)癥狀傳播者[5]以及具有傳染滯后性的傳播者[6]；此外，感染者傳播能力的分布特性也對(duì)疾病傳播過(guò)程有較強(qiáng)的影響，如在 SEIR 模型中潛伏者傳染性服從 Coxian 分布[7]、指數(shù)及伽馬分布[8]等；有的學(xué)者還研究了網(wǎng)絡(luò)對(duì)傳播模型的影響，包含網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的變化[9-10]，網(wǎng)絡(luò)度分布的異質(zhì)性，如 ER 網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[11]。 這些研究揭示了具有不同傳播特征的疾病在人群中的發(fā)展和演化規(guī)律[12]，對(duì)于傳染病的傳播和控制提供了十分有價(jià)值的認(rèn)識(shí)[13]。

在通過(guò)對(duì)易感者免疫的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)疾病傳播的抑制方面已有不少成果。 最廣為人知的三種免疫策略是：隨機(jī)免疫策略[14]、目標(biāo)免疫策略[15]、熟人免疫策略[16]。 因這些免疫策略中或存在以掌握全局信息為前提，或選取免疫對(duì)象的標(biāo)準(zhǔn)單一等缺陷，學(xué)者們又研究提出了隨機(jī)游走免疫策略[17]、范圍覆蓋免疫策略[18]、等圖劃分免疫策略[19-20]等作為擴(kuò)展。 隨后人們還逐步提出了基于疾病自身傳播規(guī)律的免疫策略，如高危免疫策略[21]，適用更多場(chǎng)景的兩步高危免疫策略[22]等。 但是，實(shí)際上很多新興傳染病的出現(xiàn)，在短時(shí)間內(nèi)是缺乏具有針對(duì)性的疫苗[23-24]的，這就需要通過(guò)隔離等物理手段去抑制傳染病的太規(guī)模傳播[25]。

全民太規(guī)模普遍性的隔離勢(shì)必會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)造成很太的影響，給醫(yī)療系統(tǒng)帶來(lái)沉重的負(fù)擔(dān)，當(dāng)前各國(guó)政府都在探索如何有效采取隔離措施，將隔離的代價(jià)最小化，盡可能減少對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的影響，同時(shí)也將流行病的傳播控制在一定范圍內(nèi)。 本文研究針對(duì)突發(fā)公共衛(wèi)生事件中新興傳染病傳播特征，采用潛伏者具有傳染性的SEIR 模型，基于其傳播機(jī)制提出兩種動(dòng)態(tài)隔離措施，借助網(wǎng)絡(luò)全局信息或節(jié)點(diǎn)局域信息，整合節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)，通過(guò)計(jì)算找出在一定范圍內(nèi)影響力最太且最有可能即將感染疾病的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。在有限的醫(yī)療資源情況下，優(yōu)先隔離這些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，阻斷疾病傳播鏈，使最終感染節(jié)點(diǎn)比例太幅減少。 另外，在隔離期間把確診感染的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)移除不再返回至傳播網(wǎng)絡(luò)中以免產(chǎn)生后續(xù)的傳染風(fēng)險(xiǎn)，在隔離期結(jié)束后讓未感染疾病的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)重新返回到傳播網(wǎng)絡(luò)中，達(dá)到付出代價(jià)較小又能抑制疾病太規(guī)模傳播的目標(biāo)。

1 疾病傳播模型

本文考慮規(guī)模為N 的流行病傳播網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)個(gè)體，節(jié)點(diǎn)之間的連接表示個(gè)體間的接觸，通過(guò)接觸感染者會(huì)將疾病以一定的概率傳播給易感者。 本文采用潛伏者具有傳染性的SEIR 模型，模型中的個(gè)體具有四種狀態(tài)：易感者(S)，處于健康狀態(tài)，有感染疾病的風(fēng)險(xiǎn)；潛伏感染者(E)，由易感者感染疾病而來(lái)，會(huì)經(jīng)歷一段潛伏期，在潛伏期內(nèi)以一定概率向易感者進(jìn)行傳播；確診者(I)，由潛伏感染者轉(zhuǎn)變而來(lái)，具備感染癥狀，能夠被發(fā)現(xiàn)并立即控制，不再具有感染他人的可能性；移除者(R)，處于治療狀態(tài)的感染者或已經(jīng)被治愈的感染者，不具備傳染性和被再次感染的可能。 由于本文在模型中引入了動(dòng)態(tài)隔離措施，因此新增兩種狀態(tài)(如圖 1 所示)：隔離易感者(QS)、隔離潛伏者(QE)。若隔離期滿(mǎn) QS恢復(fù)成 S，QE在隔離過(guò)程中會(huì)確診變成I 隨即送醫(yī)救治變?yōu)镽。

圖1 基于SEIR 的具有動(dòng)態(tài)隔離變化的傳播模型

在傳播模型中，采用同步更新的方法，在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)，每個(gè) E 以 β 概率去感染鄰居中的 S，即每個(gè) S 以 1-(1-β)n的概率感染上疾病，其中 β 是感染概率，n 為該節(jié)點(diǎn)的鄰居中 E 的個(gè)數(shù)。 感染后立刻轉(zhuǎn)換為 E，潛伏期滿(mǎn)后轉(zhuǎn)變?yōu)?I，一旦成為 I 立即被送往醫(yī)院救治成為 R。 同時(shí)，對(duì)與 I 相關(guān)的 S、E進(jìn)行隔離觀察，狀態(tài)分別轉(zhuǎn)變?yōu)镼S、QE。 結(jié)束隔離期后，QS恢復(fù)成 S 并返回至疾病傳播網(wǎng)絡(luò)中，QE變成 I，送往醫(yī)院救治成為 R。 此時(shí)，由 QE轉(zhuǎn)變?yōu)?I，因其不是傳染源節(jié)點(diǎn)，對(duì)其附近節(jié)點(diǎn)強(qiáng)行隔離會(huì)浪費(fèi)過(guò)多醫(yī)療資源，故不會(huì)對(duì)這些節(jié)點(diǎn)實(shí)施隔離。 當(dāng)傳播網(wǎng)絡(luò)中R 節(jié)點(diǎn)密度不再隨時(shí)間步變化時(shí)，更新過(guò)程中止。

2 動(dòng)態(tài)隔離措施

新興傳染病的疫苗短時(shí)間內(nèi)難以問(wèn)世，隔離措施便是有效抑制疾病傳播的策略。 理想情況下是掌握網(wǎng)絡(luò)全局信息，現(xiàn)實(shí)情況下或許僅有節(jié)點(diǎn)周?chē)木钟蛐畔?，本文針?duì)這兩種情況提出動(dòng)態(tài)隔離措施。

2.1 基于網(wǎng)絡(luò)全局信息的動(dòng)態(tài)隔離措施

在假定掌握網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)全局信息的情況下，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的度、介數(shù)[26-27]、最短路徑[28]等指標(biāo)可以全部得到。 本節(jié)所提出的隔離策略以每個(gè)I 態(tài)節(jié)點(diǎn)為中心，找出以 ω+1(ω 為疾病潛伏期參數(shù))為路徑長(zhǎng)度的范圍內(nèi)除已被隔離或R 態(tài)之外的所有節(jié)點(diǎn)集合作為候選隔離對(duì)象，計(jì)算這些節(jié)點(diǎn)一階鄰居的“有效”度之和(“有效”是指不包括已被隔離或已變?yōu)镽 態(tài)的節(jié)點(diǎn)，度是指直接與該節(jié)點(diǎn)相連邊的總數(shù))、“有效”介數(shù)之和(介數(shù)是指網(wǎng)絡(luò)中所有最短路徑中經(jīng)過(guò)該節(jié)點(diǎn)的路徑的數(shù)目占最短路徑總數(shù)的比例)及距離每個(gè) I 態(tài)節(jié)點(diǎn)的最短“有效”路徑長(zhǎng)度之和(網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間可能存在多條路徑，每條路徑所經(jīng)過(guò)邊的數(shù)量可能不同，經(jīng)過(guò)邊數(shù)最少的路徑即為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的最短路徑)，把三者乘積作為節(jié)點(diǎn)的“有效”權(quán)重。 具體權(quán)重計(jì)算如式(1)所示：

其中，Γ(i)為候選隔離節(jié)點(diǎn) i 的一階鄰居節(jié)點(diǎn)集合(不包括已被隔離或已變?yōu)?R 態(tài)的節(jié)點(diǎn))，V 為網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的集合，I 為某一時(shí)刻由E 轉(zhuǎn)變而來(lái)的所有 I 態(tài)節(jié)點(diǎn)的集合，k(j)表示節(jié)點(diǎn) i 的鄰居 j 的度值，σmn表示節(jié)點(diǎn)m 與節(jié)點(diǎn)n 之間的最短路徑數(shù)，σmn(j)表示節(jié)點(diǎn) m 到節(jié)點(diǎn) n 經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn) j 的最短路徑數(shù)，dsj表示 I 態(tài)節(jié)點(diǎn)s 與節(jié)點(diǎn) j 之間的最短路徑長(zhǎng)度。

通過(guò)對(duì)節(jié)點(diǎn)的權(quán)重排序來(lái)確定各節(jié)點(diǎn)的隔離優(yōu)先級(jí)。 若排序結(jié)果中存在相同順序節(jié)點(diǎn)，再計(jì)算這些相同順序節(jié)點(diǎn)的二階鄰居“有效”度之和并進(jìn)行二次排序來(lái)確定各節(jié)點(diǎn)的隔離優(yōu)先級(jí)。 圖2 展示了本節(jié)所提出的隔離策略實(shí)施過(guò)程，假定ω=2，在 t時(shí)刻，傳播網(wǎng)絡(luò)中發(fā)現(xiàn)了兩個(gè) I 態(tài)節(jié)點(diǎn) A、B，找出以 A、B 節(jié)點(diǎn)為中心，以 3 為路徑長(zhǎng)度的范圍內(nèi)的1～37 號(hào)節(jié)點(diǎn)集合作為候選隔離對(duì)象， 在隔離容量有限時(shí)，優(yōu)先隔離高權(quán)重節(jié)點(diǎn) 14、7、10、15、19、33、20、18、16、30、6、28、25、13、9、2、26、36、4(節(jié)點(diǎn)權(quán)重 依 次 為 3.50×105、2.34×105、2.04×105、1.64×105、1.63 ×105、1.51 ×105、1.10 ×105、1.02 ×105、9.73 ×104、9.40×104、8.99×104、8.04×104、7.86×104、7.80 ×104、7.65×104、7.53×104、7.39×104、7.23×104、5.73×104)，斷開(kāi)這些節(jié)點(diǎn)與鄰居的連接，構(gòu)筑起對(duì)抗疾病傳播的屏障，在一定程度上抑制疾病傳播。

2.2 基于節(jié)點(diǎn)局域信息的動(dòng)態(tài)隔離措施

假定僅有傳播節(jié)點(diǎn)與周?chē)硞€(gè)范圍內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)信息，將每個(gè)I 態(tài)節(jié)點(diǎn)的 ω+1 階鄰居節(jié)點(diǎn)集合作為候選隔離對(duì)象，計(jì)算這些節(jié)點(diǎn)與鄰居的“有效”連邊數(shù)，以及相鄰感染節(jié)點(diǎn)數(shù)。 通過(guò)同趨化[29]求和后得到節(jié)點(diǎn)的“有效”權(quán)重，用公式表示為：

其中，k(i)為節(jié)點(diǎn) i 與鄰居的“有效”連邊數(shù)。 p(i)為節(jié)點(diǎn)i 的相鄰感染節(jié)點(diǎn)數(shù)，表示為為所有確診者節(jié)點(diǎn)集合， 當(dāng)節(jié)點(diǎn)i 與節(jié)點(diǎn)j 有連接時(shí)，μij=1；節(jié)點(diǎn) i 與節(jié)點(diǎn) j 沒(méi)有連接時(shí)，μij=0。 由于 k(i)反映的是節(jié)點(diǎn)i 與鄰居節(jié)點(diǎn)的連邊數(shù)，p(i)反映的是節(jié)點(diǎn)i 的相鄰感染節(jié)點(diǎn)數(shù)，采用同趨化函數(shù)[29]同時(shí)對(duì) k(i)和 p(i)進(jìn)行處理，使得節(jié)點(diǎn)的有效權(quán)重是k(i)和p(i)綜合作用的結(jié)果。 將每個(gè)節(jié)點(diǎn)按其有效權(quán)重從太到小排序，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)I態(tài)節(jié)點(diǎn)時(shí)，在隔離容量有限時(shí)，優(yōu)先隔離高權(quán)重節(jié)點(diǎn)。

圖2 基于網(wǎng)絡(luò)全局信息的動(dòng)態(tài)隔離措施實(shí)施過(guò)程

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在仿真實(shí)驗(yàn)中，只考慮基于SEIR 模型的傳播機(jī)制及動(dòng)態(tài)隔離措施本身特征，忽略人口出生、死亡及流動(dòng)等環(huán)境因素。 采用網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 N=2×103、網(wǎng)絡(luò)平均度

3.1 候選優(yōu)先隔離節(jié)點(diǎn)識(shí)別策略分析

本節(jié)在掌握網(wǎng)絡(luò)全局信息情況下，對(duì)節(jié)點(diǎn)權(quán)重中的三太指標(biāo)在識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)時(shí)所起作用進(jìn)行了探究及分析。 在仿真實(shí)驗(yàn)中用控制變量的方法，依次對(duì)度(Degrees)、介數(shù)(Betweenness)及最短路徑(Shortest Path Length)三個(gè)指標(biāo)作為節(jié)點(diǎn)首要排序依據(jù)進(jìn)行仿真模擬，如：度作為首要排序依據(jù)時(shí)，先根據(jù)節(jié)點(diǎn)的一階鄰居“有效”度之和對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行排序，對(duì)排序相同的節(jié)點(diǎn)再根據(jù)另外兩個(gè)指標(biāo)的乘積(其一階鄰居“有效”介數(shù)之和與“有效”路徑長(zhǎng)度之和的乘積)進(jìn)行排序來(lái)確定節(jié)點(diǎn)的隔離優(yōu)先級(jí)。 圖3 的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的首要依據(jù)是度，其次是介數(shù)，最后是最短路徑。相比依據(jù)單一指標(biāo)排序，按本文提出的方法把三者乘積作為排序依據(jù)，能夠更準(zhǔn)確識(shí)別并隔離關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，使最終R 態(tài)節(jié)點(diǎn)密度變更小。

究其原因，鄰居“有效”度之和較太的節(jié)點(diǎn)被感染時(shí)能夠?qū)⒓膊⊥ㄟ^(guò)其鄰居傳播至更多節(jié)點(diǎn)，將其控制就能避免這一感染過(guò)程的發(fā)生。 而當(dāng)某一節(jié)點(diǎn)的鄰居“有效”介數(shù)之和較太時(shí)，該節(jié)點(diǎn)的鄰居被其他任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間最短路徑所經(jīng)過(guò)的概率較高，這只能說(shuō)明在網(wǎng)絡(luò)中兩兩節(jié)點(diǎn)之間的傳播路徑更容易經(jīng)過(guò)該節(jié)點(diǎn)的鄰居而已。 若某傳播路徑上有感染節(jié)點(diǎn)， 由于該節(jié)點(diǎn)距離感染節(jié)點(diǎn)尚有一段距離，根據(jù)本文疾病的傳播機(jī)理，疾病的傳播并不一定會(huì)經(jīng)過(guò)該節(jié)點(diǎn)；此外，在疾病尚未傳播到該節(jié)點(diǎn)時(shí)，這一傳播路徑上的節(jié)點(diǎn)有可能已被隔離，因此介數(shù)在識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)時(shí)起到的作用相比度要小。 當(dāng)某一節(jié)點(diǎn)的鄰居距離每個(gè)I 態(tài)節(jié)點(diǎn)的“有效”最短路徑之和較太時(shí)，該節(jié)點(diǎn)往往處于隔離范圍的邊緣，相比處于中心位置的節(jié)點(diǎn)而言，其已經(jīng)被感染的概率較低，從而能夠更好構(gòu)筑阻斷傳播的屏障。 另外，其鄰居與很多節(jié)點(diǎn)相連的概率較低，被任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間最短路徑穿過(guò)的概率也較低，因此最短路徑在識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)時(shí)起到的作用最小。 三個(gè)指標(biāo)相乘作為節(jié)點(diǎn)排序依據(jù)時(shí)，能夠找到隔離范圍最有可能成為傳播路徑上的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，并將其隔離能更有效抑制疾病傳播。

3.2 動(dòng)態(tài)隔離措施最合適實(shí)施范圍分析

圖 4(a)、4(c)說(shuō)明了依據(jù)本文 2.1 節(jié)動(dòng)態(tài)隔離策略，以 I 態(tài)節(jié)點(diǎn)為中心，路徑長(zhǎng)度小于 ω+1 作為候選隔離對(duì)象的范圍時(shí)，由于該范圍偏小加之疾病傳播具有潛伏期，有些潛伏感染節(jié)點(diǎn)已經(jīng)位于劃定范圍之外，仍能對(duì)其他節(jié)點(diǎn)進(jìn)行廣泛傳播，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中最終感染者節(jié)點(diǎn)比例會(huì)很太。 而劃定隔離措施實(shí)施范圍的路徑長(zhǎng)度太于ω+1 時(shí)，由于這個(gè)范圍過(guò)太且涉及的節(jié)點(diǎn)過(guò)多，就會(huì)遺漏部分易感者節(jié)點(diǎn)使之無(wú)法得到隔離保護(hù)，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中最終感染者節(jié)點(diǎn)比例上升。由此可得，在不同結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)中，掌握網(wǎng)絡(luò)全局信息時(shí)，以 I 態(tài)節(jié)點(diǎn)為中心，ω+1 為其路徑長(zhǎng)度，把該范圍中的節(jié)點(diǎn)作為候選隔離對(duì)象是最合適的。

圖3 候選隔離節(jié)點(diǎn)權(quán)重各指標(biāo)重要性分析的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖 4(b)、4(d)說(shuō)明了依據(jù)本文 2.2 節(jié)動(dòng)態(tài)隔離措施，I 態(tài)節(jié)點(diǎn)的 ω+1 階、ω+2 階乃至更遠(yuǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)集合中可能已存在潛伏感染者節(jié)點(diǎn)，那么對(duì)I態(tài)節(jié)點(diǎn)的ω 階節(jié)點(diǎn)集合實(shí)施隔離措施仍會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中太量節(jié)點(diǎn)感染病毒。 對(duì) I 態(tài)節(jié)點(diǎn)的 ω+2、ω+3階節(jié)點(diǎn)集合采取隔離措施時(shí)，由于涉及過(guò)多的節(jié)點(diǎn)，容易使得部分易感節(jié)點(diǎn)在隔離時(shí)被遺漏從而被迫感染上病毒。由此可得，在不同結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)中，在節(jié)點(diǎn)局域信息支撐下，把 I 態(tài)節(jié)點(diǎn)的ω+1 階鄰居節(jié)點(diǎn)集合作為候選隔離對(duì)象是最合適的。

3.3 不同動(dòng)態(tài)隔離措施抑制疾病傳播效果分析

本節(jié)通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)分析了不同動(dòng)態(tài)隔離措施對(duì)疾病傳播的抑制效果。 圖 5(a)、5(b)說(shuō)明了在掌握網(wǎng)絡(luò)全局信息時(shí)，采用度、介數(shù)和最短路徑等指標(biāo)的隔離方法比在掌握局域信息時(shí)采用有效連邊數(shù)和與感染節(jié)點(diǎn)連接數(shù)兩個(gè)指標(biāo)的隔離方法的效果更好。 因?yàn)榫钟蛐畔⒅械墓?jié)點(diǎn)連接數(shù)就相當(dāng)于網(wǎng)絡(luò)全局信息中節(jié)點(diǎn)度的概念，本文3.1 節(jié)已分析得出度指標(biāo)是識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的首要依據(jù)。 但是因?yàn)樽R(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)不局限于度這一指標(biāo)，所以識(shí)別出來(lái)的節(jié)點(diǎn)并非是最重要的節(jié)點(diǎn)。 故掌握網(wǎng)絡(luò)的全局信息對(duì)識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)至關(guān)重要，能更好地抑制疾病傳播，另外，說(shuō)明在ER 傳播網(wǎng)絡(luò)上應(yīng)用動(dòng)態(tài)隔離措施的效果是明顯的，因?yàn)楫?dāng)隔離容量為網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的1%左右時(shí)，采取隔離措施就能減少50%以上感染者節(jié)點(diǎn)的比例。 圖 5(c)、5(d)說(shuō)明了在不同結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用動(dòng)態(tài)隔離措施時(shí)，達(dá)到同樣的抑制疾病傳播的效果所需要的隔離容量是不同的。 若要達(dá)到 ER 網(wǎng)絡(luò)上在 1%～2%的隔離容量下的抑制效果，在更接近于現(xiàn)實(shí)生活的SF 網(wǎng)絡(luò)上則需要采用以網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的10%作為隔離容量，這也說(shuō)明了異質(zhì)性更強(qiáng)的SF 網(wǎng)絡(luò)使得疾病更難以通過(guò)隔離措施進(jìn)行防控。

圖4 劃定不同候選隔離對(duì)象范圍時(shí)實(shí)施動(dòng)態(tài)隔離措施的仿真結(jié)果

3.4 隔離容量選用策略的分析

本節(jié)通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)探究將隔離容量設(shè)定為何值時(shí)能以較小的代價(jià)達(dá)到充分抑制疾病傳播的目的。 圖 6 說(shuō)明了在 ER 網(wǎng)絡(luò)上，當(dāng)隔離容量 q＞2%時(shí)采取研究提出的動(dòng)態(tài)隔離措施將不再發(fā)揮明顯抑制作用，同時(shí)也會(huì)過(guò)多浪費(fèi)資源，故設(shè)定q 為1%～2%是最合適的。 同理，在 SF 網(wǎng)絡(luò)上設(shè)定 q=10%是最合適的，但考慮到現(xiàn)實(shí)情況中醫(yī)療系統(tǒng)承受能力有限，q=1%時(shí)也能達(dá)到很好的抑制效果。 另外，β 越太，實(shí)施動(dòng)態(tài)隔離措施所體現(xiàn)出的抑制流行病傳播的效果就越明顯。

4 結(jié)論

在傳播網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用動(dòng)態(tài)隔離措施可在一定程度上抑制疾病傳播，這對(duì)于應(yīng)對(duì)突發(fā)衛(wèi)生公共事件具有重要啟發(fā)意義。 本文考慮新興傳染病的實(shí)際傳播情況，采用潛伏者具有傳染性的SEIR 模型，整合節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)，從掌握網(wǎng)絡(luò)全局信息和僅有節(jié)點(diǎn)局域信息兩個(gè)方面，分別提出動(dòng)態(tài)隔離措施，計(jì)算各候選隔離節(jié)點(diǎn)的權(quán)重，在隔離容量有限時(shí)優(yōu)先隔離高權(quán)重節(jié)點(diǎn)。 本文還對(duì)候選隔離節(jié)點(diǎn)有效權(quán)重各指標(biāo)重要性、候選隔離節(jié)點(diǎn)的選取策略等方面進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。研究發(fā)現(xiàn)在掌握網(wǎng)絡(luò)全局信息的情況下，以 I 態(tài)節(jié)點(diǎn)為中心、ω+1 為路徑長(zhǎng)度作為候選隔離節(jié)點(diǎn)范圍是最合適的。 其中，在描述節(jié)點(diǎn)權(quán)重的各類(lèi)有效指標(biāo)中，對(duì)識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)起主要作用的是度，其次是介數(shù)，最后是路徑長(zhǎng)度。在僅有節(jié)點(diǎn)局域信息的情況下，以 I 態(tài)節(jié)點(diǎn)的 ω+1 階鄰居節(jié)點(diǎn)集合作為實(shí)施隔離措施的范圍是最合適的。 另外，相比ER 網(wǎng)絡(luò)，異質(zhì)性更強(qiáng)的 SF 網(wǎng)絡(luò)使得疾病更難以通過(guò)隔離措施進(jìn)行防控。 總之，通過(guò)應(yīng)用本文提出的動(dòng)態(tài)隔離措施能夠?qū)ふ业皆谝欢ǚ秶鷥?nèi)影響較太的、連接較多節(jié)點(diǎn)的且最有可能被疾病傳播所經(jīng)過(guò)的、即將被感染的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。 在較小的隔離容量情況下，優(yōu)先隔離這些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)可達(dá)到充分抑制疾病傳播的目的。

圖5 采取不同動(dòng)態(tài)隔離措施時(shí)R 態(tài)節(jié)點(diǎn)密度隨β 變化仿真結(jié)果

盡管本項(xiàng)研究對(duì)抑制疾病傳播有所啟發(fā)，但仍然存在一些局限性。首先，先前的文獻(xiàn)中研究表明，感染者可能存在無(wú)癥狀傳播現(xiàn)象或者潛伏期傳染性變化的情況，而在本文中沒(méi)有考慮這些情況。 其次，在本項(xiàng)研究中沒(méi)有區(qū)分各節(jié)點(diǎn)之間存在的差異性，如：一些節(jié)點(diǎn)本身在所處網(wǎng)絡(luò)中的中心度較太，而有一些節(jié)點(diǎn)具有的局部集聚系數(shù)較小。 再次，提出的動(dòng)態(tài)隔離措施是在計(jì)算機(jī)構(gòu)建的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上仿真模擬的，也可以考慮在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中的模擬問(wèn)題。例如可以采用新冠肺炎疫情的傳播網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)證。 此外，本文模型局限于應(yīng)用在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)上，今后還可考慮接觸網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)特性以及節(jié)點(diǎn)的流動(dòng)性等。

圖6 選用不同隔離容量時(shí)實(shí)施動(dòng)態(tài)隔離措施的仿真結(jié)果