王 力，于 雷

（中國(guó)民航大學(xué)a.職業(yè)技術(shù)學(xué)院；b.電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300300）

多點(diǎn)定位系統(tǒng)[1]作為民航五大監(jiān)視技術(shù)[2]之一得到了中國(guó)民用航空局（簡(jiǎn)稱民航局）的大力推廣。多點(diǎn)定位系統(tǒng)采用時(shí)間差定位技術(shù)，通過(guò)測(cè)定監(jiān)視點(diǎn)發(fā)射信號(hào)到各基站的時(shí)間差來(lái)確定監(jiān)視點(diǎn)位置，達(dá)到對(duì)監(jiān)視點(diǎn)的實(shí)時(shí)高精度可靠監(jiān)視。這種監(jiān)視方法依賴于信號(hào)到達(dá)基站時(shí)間差的準(zhǔn)確測(cè)量及可靠的位置解算算法。在民航機(jī)場(chǎng)場(chǎng)面監(jiān)視應(yīng)用[3-5]中，能夠?qū)崟r(shí)精確地解算監(jiān)視點(diǎn)位置是研究的重點(diǎn)課題之一。

多點(diǎn)定位方法現(xiàn)有的解算算法包含解析法和智能優(yōu)化算法。在解析法中：Chan 算法[6]具有計(jì)算量較小、不需要迭代運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn)，但在非視距環(huán)境下定位精度存在不足；Friedlander 算法、球面相交算法、球面插值算法都沒(méi)有考慮變量之間的相關(guān)性，很難實(shí)現(xiàn)最優(yōu)估計(jì)[7]；Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法[8-9]則需要借助一個(gè)與實(shí)際較為接近的初始位置值進(jìn)行迭代運(yùn)算,才能在短時(shí)間內(nèi)解算，得到精確目標(biāo)位置，在初始位置值選取不好的情況下，易導(dǎo)致算法不收斂。Chan 算法、Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法是解析算法中定位性能最好的兩種算法。

除了傳統(tǒng)的解析算法之外，很多智能優(yōu)化算法也被應(yīng)用到多點(diǎn)定位解算中。2007年，粒子群優(yōu)化(PSO,particle swarm optimization)算法首次被Lui 等[10]用于解決多點(diǎn)定位位置解算問(wèn)題，可在不設(shè)定位置初始值的情況下進(jìn)行位置尋優(yōu)，但傳統(tǒng)粒子群算法易陷入局部最優(yōu)。Rosic′等[11]將改進(jìn)遺傳算法(IGA,improved genetic algorithm)應(yīng)用于到達(dá)時(shí)間差（TDOA,time difference of arrival）的定位解算。通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，建立相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)，利用適應(yīng)度值來(lái)?yè)駜?yōu)選取更加靠近監(jiān)視點(diǎn)的位置。該過(guò)程省略了傳統(tǒng)解析算法中復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，不用求矩陣的逆運(yùn)算，但算法后期普遍存在收斂速度過(guò)慢、易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題。

針對(duì)上述問(wèn)題，提出一種自適應(yīng)彈射粒子群算法與Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法的聯(lián)合算法（簡(jiǎn)稱聯(lián)合算法）。該算法首先對(duì)多點(diǎn)定位系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，利用監(jiān)視點(diǎn)的最大似然估計(jì)函數(shù)建立粒子群算法的適應(yīng)度函數(shù)。針對(duì)粒子群算法易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，將小生境技術(shù)[12]引入標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中，對(duì)小生境中的粒子進(jìn)行彈射，保證種群的多樣性，同時(shí)改進(jìn)慣性權(quán)重的賦值方式，采用自適應(yīng)賦值策略。自適應(yīng)小生境彈射粒子群算法搜索的定位結(jié)果作為Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法的初始參考點(diǎn)，再通過(guò)Taylor 級(jí)數(shù)迭代，實(shí)現(xiàn)對(duì)繁雜機(jī)場(chǎng)場(chǎng)面監(jiān)視點(diǎn)的精確定位。

1 多點(diǎn)定位數(shù)學(xué)模型

三維空間中存在N個(gè)不同位置的接收站，第i個(gè)接收站的位置為si=（xi，yi，zi），其中i=1,2,…,N，監(jiān)視點(diǎn)位置為u=（x，y，z），監(jiān)視點(diǎn)位置u到接收站位置si的距離為ri=‖u-si‖2。不失一般性，選取s1作為主接收站，位置為s1=（x1，y1，z1），其余為輔接收站。在信號(hào)視距傳播情況下，根據(jù)TDOA 定位原理可得

式（1）兩端同乘信號(hào)傳播速度c，可將TDOA 方程轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的距離差（RDOA,range difference of arrival）定位方程，即

式中ni1=cei1為相應(yīng)的RDOA 測(cè)量誤差。

令ri1=ri-r1，則式（2）可表示為

令r=h（u），則有，根據(jù)最大似然估計(jì)準(zhǔn)則[13]，對(duì)u的最佳估計(jì)為使觀測(cè)樣本的似然函數(shù)取得最大值的估計(jì)，即

對(duì)目標(biāo)定位問(wèn)題而言，u的最大似然估計(jì)是在獲得觀測(cè)的條件下，在區(qū)域Du內(nèi)找到最可能的u的位置。

若假定測(cè)量噪聲為零均值的高斯噪聲,則式（4）可表示為

式中K為常數(shù)系數(shù)。式（5）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化等價(jià)為

根據(jù)建立的多點(diǎn)定位系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及最大似然估計(jì)準(zhǔn)則，可得到關(guān)于監(jiān)視點(diǎn)u的估計(jì)函數(shù)，如式（5）所示，可進(jìn)一步等價(jià)為式（6）。這是關(guān)于監(jiān)視點(diǎn)位置u的非線性函數(shù)，運(yùn)用傳統(tǒng)的解析法很難求解該非線性二次方程，計(jì)算量較大。

2 改進(jìn)的自適應(yīng)彈射粒子群算法

2.1 粒子群算法

一群隨機(jī)初始化后的粒子組成種群，利用系統(tǒng)中個(gè)體間的協(xié)作和競(jìng)爭(zhēng)，實(shí)現(xiàn)粒子與粒子之間及粒子自身的逐步迭代尋優(yōu)搜索。

實(shí)現(xiàn)這種算法通常需設(shè)置一個(gè)搜索空間，種群規(guī)模為M，維數(shù)為d，xi=（xi1，xi2，…，xid）表示第i個(gè)粒子的位置，vi=（vi1，vi2，…，vid）表示第i個(gè)粒子的速度，i=1，2，…，M。傳統(tǒng)粒子群算法第i個(gè)粒子速度和位置的更新迭代公式如下

式中：pi=（pi1，pi2，…，pid）表示當(dāng)前粒子i自身的最優(yōu)位置；pg=（pg1，pg2，…，pgd）表示當(dāng)前所有粒子的最優(yōu)位置；c1、c2表示學(xué)習(xí)因子，用以調(diào)整粒子自身經(jīng)驗(yàn)與社會(huì)(群體)經(jīng)驗(yàn)的權(quán)重，常取c1=c2=2；r1、r2為[0，1]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，起到使粒子以等概率的加速度飛向個(gè)體最優(yōu)位置及粒子全局最優(yōu)位置的作用；ω 為慣性權(quán)重；k為迭代次數(shù)。

2.2 自適應(yīng)慣性權(quán)重的改進(jìn)

粒子群算法中，慣性權(quán)重ω 的選取直接影響粒子的搜索能力，進(jìn)而影響算法性能，因此可通過(guò)ω 來(lái)控制粒子的全局搜索與局部搜索能力。目前，大多數(shù)算法均是采用ω 遞減策略來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整權(quán)值，但這種遞減法會(huì)使算法在性能上存在不足：①在粒子迭代尋優(yōu)的初期，已有粒子處于最優(yōu)值附近，但由于ω 過(guò)大導(dǎo)致粒子局部搜索能力不足，致使粒子不能在最優(yōu)解周圍細(xì)致尋優(yōu)；②當(dāng)進(jìn)行到算法迭代的末期，此時(shí)ω 較小，粒子只能在當(dāng)前位置的小范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，致使粒子沒(méi)有足夠大的速度突破局部最優(yōu)的限制，以至于陷入局部最優(yōu)。針對(duì)以上不足，引入種群平均適應(yīng)度，通過(guò)比較當(dāng)代粒子的適應(yīng)度值與平均適應(yīng)度值的大小來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重，即

式中：ωmax、ωmin分別為最大慣性因子和最小慣性因子；f為粒子當(dāng)前的適應(yīng)度值；favg、fmin分別為當(dāng)前所有粒子的平均適應(yīng)度值和最小適應(yīng)度值。

2.3 小生境彈射策略

傳統(tǒng)粒子群算法中，全體粒子始終向個(gè)體最優(yōu)粒子和全局最優(yōu)粒子方向移動(dòng)，使得后期粒子集中在小范圍內(nèi)，導(dǎo)致粒子全局搜索能力下降，粒子群算法陷入局部最優(yōu)區(qū)域或停滯。針對(duì)該問(wèn)題，在粒子群算法內(nèi)嵌入小生境彈射機(jī)制，即

當(dāng)‖xi-xj‖2小于小生境半徑L時(shí)，比較個(gè)體xi、xj的適應(yīng)度值。在最小化問(wèn)題中，粒子適應(yīng)度值越小，則表示當(dāng)前位置越優(yōu)，則對(duì)適應(yīng)度值較大的粒子進(jìn)行彈射，即

式中：a為[-1，1]之間的隨機(jī)數(shù)；v 為彈射速度常量；nij為xi、xj適應(yīng)度值較大者的粒子序號(hào)。通過(guò)上述操作對(duì)適應(yīng)度大的粒子進(jìn)行彈射，使粒子飛出小生境半徑區(qū)域。

3 Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法

Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法[14]是一種迭代性的求解算法，在每次迭代之后將計(jì)算所得的定位誤差賦給下一次迭代的位置，達(dá)到改變位置的目的，依次迭代最終逼近目標(biāo)位置，算法具體求解過(guò)程如下。

先設(shè)定一個(gè)監(jiān)視點(diǎn)的初始位置p0=（x0，y0，z0）及迭代條件（門限值ε），將

在p0處進(jìn)行Taylor 展開(kāi)

其最小二乘解為

將得到的位置估計(jì)誤差δ 引入到下一次迭代中，來(lái)改變下一次迭代的監(jiān)視點(diǎn)位置的初始值，即

重復(fù)以上迭代過(guò)程直到滿足門限要求

4 聯(lián)合算法流程

多點(diǎn)定位位置解算算法中,傳統(tǒng)解析法Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法的迭代值受初始位置選取的影響，初始位置選取不好可能會(huì)使算法不收斂或迭代次數(shù)增加。傳統(tǒng)的粒子群算法應(yīng)用于多峰值非線性情況時(shí)，在尋優(yōu)過(guò)程中易出現(xiàn)早熟、陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題。為了克服上述問(wèn)題，通過(guò)自適應(yīng)慣性權(quán)重和小生境彈射策略操作對(duì)傳統(tǒng)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，再與Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法進(jìn)行聯(lián)合運(yùn)算，具體求解步驟如下。

步驟1根據(jù)式（6）可確立適應(yīng)度函數(shù)為

步驟2對(duì)粒子群算法各參數(shù)進(jìn)行初始化，并確定Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法位置門限值ε。

步驟3依據(jù)式（7）、式（8）更新每個(gè)粒子的速度和位置，更新粒子個(gè)體和全局最優(yōu)位置。

步驟4依據(jù)式（18）計(jì)算每個(gè)粒子適應(yīng)度值，并按照適應(yīng)度從小到大的順序?qū)αＷ舆M(jìn)行排序，得到最小適應(yīng)度值fmin，并計(jì)算出平均適應(yīng)度值favg，依據(jù)式（9）計(jì)算慣性權(quán)重ω。

步驟5判斷是否已達(dá)到最大迭代次數(shù)。如果已達(dá)到，則輸出適應(yīng)度值最小的粒子位置作為Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法的初始參考點(diǎn)并開(kāi)始Taylor 迭代；如果未達(dá)到最大迭代次數(shù)，則執(zhí)行步驟6。

步驟6依據(jù)式（10）計(jì)算任意兩粒子的距離并判斷是否小于小生境半徑L。如果小于小生境半徑則依據(jù)式（11）和式（12）對(duì)適應(yīng)度值較大的粒子進(jìn)行彈射，然后執(zhí)行步驟4；如果大于小生境半徑，則執(zhí)行步驟3。

聯(lián)合算法流程圖如圖1所示。

圖1 聯(lián)合算法流程圖Fig.1 Flowchart of joint algorithm

5 仿真分析

TDOA 定位本質(zhì)是通過(guò)測(cè)量監(jiān)視點(diǎn)到基站（接收站）的距離差而實(shí)現(xiàn)位置解算，在機(jī)場(chǎng)場(chǎng)面多點(diǎn)定位系統(tǒng)中，監(jiān)測(cè)點(diǎn)可以是靜止的飛機(jī)也可以是運(yùn)動(dòng)的小車，因此，仿真分析以平面上的移動(dòng)目標(biāo)定位為基礎(chǔ)，采用正方形布站方式，橫縱區(qū)間均為[-1 000，1 000]。各基站坐標(biāo)分別為BS1（800，600），BS2（800，-600），BS3（-800，-600），BS4（-800，600），其中，BS1設(shè)為主站，測(cè)量誤差為3 m，監(jiān)視點(diǎn)初始位置（0，0），移動(dòng)監(jiān)視點(diǎn)以勻速行駛，速度vx=vy=1 m/s，每2 s 估計(jì)1 次，估計(jì)50 次。

在加權(quán)最小二乘法、Chan 算法、Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法、Friedlander 算法、SX 算法、SI 算法等6 種傳統(tǒng)解算算法中，Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法的定位性能最優(yōu)[15]，因此，只對(duì)傳統(tǒng)解算方法中的Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法進(jìn)行仿真分析，門限值ε 設(shè)為0.1，仿真結(jié)果如圖2 和圖3所示。

圖2 Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法定位估計(jì)與真實(shí)軌跡對(duì)比Fig.2 Comparison of Taylor algorithm positioning estimation and real trajectory

圖3 Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法定位估計(jì)與真實(shí)位置的偏差Fig.3 Deviation of Taylor algorithm positioning estimation from real position

圖2 可看出，Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法基本能對(duì)目標(biāo)位置進(jìn)行準(zhǔn)確定位；由圖3 仿真結(jié)果可知，Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法定位估計(jì)與真實(shí)位置的偏差最大值為3.4 m。但Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法的收斂速度及收斂性依賴于一個(gè)比較接近真實(shí)值的猜測(cè)初始值。

設(shè)置自適應(yīng)彈射粒子群算法的參數(shù)：粒子群的種群規(guī)模M=30，最大迭代次數(shù)K=500，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，最大慣性因子ωmax=0.9 及最小慣性因子ωmin=0.3，小生境半徑L=10 m，彈射速度常量v=（10，0）。標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法、彈射粒子群算法、自適應(yīng)彈射粒子群算法的優(yōu)化仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 3 種粒子群算法收斂圖Fig.4 Convergence graph of three particle swarm algorithms

由圖4 可看出，自適應(yīng)彈射粒子群算法的收斂速度快、搜索精度高，避免“早熟”現(xiàn)象，更易找到全局最優(yōu)解。

在上述仿真環(huán)境及自適應(yīng)彈射粒子群算法的參數(shù)設(shè)置下，聯(lián)合算法仿真結(jié)果如圖5 和圖6所示。

圖5 聯(lián)合算法定位估計(jì)與真實(shí)軌跡對(duì)比Fig.5 Comparison between joint algorithm positioning estimation and real trajectory

圖6 聯(lián)合算法定位估計(jì)與真實(shí)位置的偏差Fig.6 Deviation of joint algorithm positioning estimation from real position

由圖5 聯(lián)合算法定位估計(jì)與真實(shí)軌跡對(duì)比可看出，聯(lián)合算法對(duì)真實(shí)軌跡的擬合程度要比Taylor 級(jí)數(shù)直接展開(kāi)更高。圖6 中聯(lián)合算法定位估計(jì)與真實(shí)位置的偏差最大值為2.3，可看出利用自適應(yīng)彈射粒子群算法得到一個(gè)接近真實(shí)位置的目標(biāo)估計(jì)，再利用Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法進(jìn)行迭代，可有效減少定位估計(jì)與真實(shí)位置的偏差。

6 結(jié)語(yǔ)

隨著國(guó)內(nèi)外航空業(yè)的迅猛發(fā)展，多點(diǎn)定位系統(tǒng)作為一種新興機(jī)場(chǎng)場(chǎng)面監(jiān)視技術(shù)，得到了民航局的大力推廣。利用對(duì)監(jiān)視點(diǎn)的實(shí)時(shí)高精度可靠定位，有助于對(duì)機(jī)場(chǎng)場(chǎng)面進(jìn)行運(yùn)行調(diào)度，進(jìn)而極大地提高機(jī)場(chǎng)場(chǎng)面的運(yùn)行效率及航班準(zhǔn)點(diǎn)率，減少機(jī)場(chǎng)場(chǎng)面安全事故。聯(lián)合算法結(jié)合了改進(jìn)的自適應(yīng)彈射粒子群算法與Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)場(chǎng)場(chǎng)面監(jiān)視點(diǎn)的準(zhǔn)確定位，具有一定的實(shí)用參考價(jià)值，但未考慮非視距情況下的定位影響因素，在今后的研究工作中還需做進(jìn)一步討論。