楊海林，林建忠

(浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院 流體工程研究所，杭州 310027)

0 引 言

在自然界和工程實(shí)際應(yīng)用的氣固兩相流中，固相的顆粒如粉、塵、煙、霾等不僅受到流體相的輸運(yùn)作用，其自身還往往出現(xiàn)由物理或化學(xué)作用導(dǎo)致的生長(zhǎng)、凝并（顆粒碰撞后形成一個(gè)顆粒）、破碎等現(xiàn)象。顆粒一般動(dòng)力學(xué)方程（General dynamic equation, GDE），又稱顆粒數(shù)平衡方程（Population balance equation, PBE），可用來描述顆粒相數(shù)密度在流體輸運(yùn)下出現(xiàn)以上現(xiàn)象后的演變過程[1]。

在大多數(shù)情況下，兩相流處于湍流狀態(tài)，湍流導(dǎo)致的流動(dòng)無序性與多尺度特性，使得兩相湍流變得很復(fù)雜，因而更具有研究?jī)r(jià)值。流場(chǎng)物理量的脈動(dòng)是湍流場(chǎng)的一個(gè)重要特征，對(duì)于湍流脈動(dòng)特性的研究，其科學(xué)意義不僅局限于湍流或多相流領(lǐng)域[2]。本文關(guān)注微納顆粒兩相湍流中的湍流脈動(dòng)效應(yīng)，在微納顆粒兩相湍流中，顆粒的形成與生長(zhǎng)受到環(huán)境因素如流場(chǎng)速度、流場(chǎng)剪切率、化學(xué)組分濃度、溫度、壓力等的影響，而這些環(huán)境因素會(huì)受到湍流脈動(dòng)的影響變化，所以顆粒的形成和生長(zhǎng)速率會(huì)受到湍流脈動(dòng)的影響。于是，若不考慮湍流的脈動(dòng)而僅僅用平均后的環(huán)境因素來計(jì)算顆粒的形成和生長(zhǎng)就會(huì)與實(shí)際情形產(chǎn)生偏差。例如，在云層凝結(jié)的過程中，湍流導(dǎo)致的溫度脈動(dòng)會(huì)使水蒸氣飽和度發(fā)生變化，從而使得用平均參數(shù)給出的云霧顆粒形成率與生長(zhǎng)率與實(shí)際不符[3-8]。在實(shí)驗(yàn)室條件下，湍流造成的溫度脈動(dòng)、物質(zhì)組分脈動(dòng)也不可忽略[9-11]，否則會(huì)使實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生偏差[12-13]。在數(shù)值模擬方面，已有一些探討湍流脈動(dòng)影響的研究，例如將DNS得到的結(jié)果與用平均場(chǎng)求得的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比[14-18]，將LES得到的結(jié)果與用雷諾平均方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比[19-24]，將用和不用脈動(dòng)量概率密度函數(shù)進(jìn)行修正的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比[25-27]。除了顆粒的形成與生長(zhǎng)受湍流脈動(dòng)的影響外，顆粒的凝并與破碎也受湍流脈動(dòng)的影響，因?yàn)轭w粒的布朗凝并、湍流凝并、湍流破碎都與顆粒的濃度有關(guān)，而顆粒濃度在湍流場(chǎng)中也存在脈動(dòng)[2,10,28-34]。湍流脈動(dòng)對(duì)顆粒凝并影響的研究雖然較少，但這種影響是存在的[25,35-38]。

1 顆粒相方程

1.1 顆粒一般動(dòng)力學(xué)方程

顆粒一般動(dòng)力學(xué)方程是描述顆粒數(shù)密度函數(shù)（Number density function, NDF）的控制方程。假設(shè)顆粒尺度小于最小流動(dòng)尺度且顆粒雷諾數(shù)遠(yuǎn)小于1，顆粒數(shù)密度分布n(ξ;x,t)表 示顆粒在不同尺度ξ 、時(shí)間t與空間x上的數(shù)量分布。根據(jù)需要，ξ可以選取顆粒體積v或顆粒直徑dp，本文選顆粒體積，簡(jiǎn)寫作n(v)或n，則一般動(dòng)力學(xué)方程為[1]：

式中u為 流場(chǎng)速度，Dp為顆粒擴(kuò)散系數(shù)，方程左邊依次為非定常項(xiàng)、對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)，方程右邊表示導(dǎo)致顆粒數(shù)密度變化的因素，依次為成核項(xiàng)、凝積生長(zhǎng)項(xiàng)（小顆粒沉積在大顆粒上使大顆粒尺度增大）、碰撞凝并項(xiàng)和破碎項(xiàng)。方程（1）是通過對(duì)顆粒數(shù)密度建立守恒方程而得到，具有合理性，適用于數(shù)密度連續(xù)且可微的情形。

（1）成核項(xiàng)。成核是指通過結(jié)晶或其他化學(xué)作用形成初始體積為v0的顆粒的過程：

式中B(Y) 為顆粒生成核函數(shù)，Y為各類環(huán)境參數(shù)的向量，根據(jù)顆粒的性質(zhì)不同，環(huán)境參數(shù)向量包含的變量也不一樣，例如水蒸氣中液滴核的生成核函數(shù)中包括溫度、壓力、表面張力和飽和度等變量，而一些化學(xué)變化中則包含各類化學(xué)組分的變量。

（2）生長(zhǎng)項(xiàng)。顆粒的凝積生長(zhǎng)是指其他物質(zhì)凝結(jié)、沉積在顆粒上，使顆粒尺度增長(zhǎng)的過程：

式中G(Y,v)為顆粒生長(zhǎng)核函數(shù)，也具有多種形式。此外，一些顆粒尺度減小的過程如蒸發(fā)、升華，也可用生長(zhǎng)項(xiàng)描述，只是其值為負(fù)數(shù)。

（3）凝并項(xiàng)。凝并是指顆粒間相互碰撞聚集導(dǎo)致顆粒整體尺度增大、數(shù)密度減少的過程：

式中 β(v,v1)為 凝并核函數(shù)，描述體積為v和v1兩種顆粒的碰撞概率。

（4）破碎項(xiàng)。破碎是指顆粒因無法支撐團(tuán)聚狀態(tài)而導(dǎo)致裂解，使得顆粒整體尺度減小、數(shù)密度增加的過程：

式中a(v)是 破碎核函數(shù)，描述體積為v的顆粒的破碎概率，b(v|v1) 是破碎子函數(shù)，描述體積為v1的顆粒在發(fā)生破碎時(shí)其子顆粒體積為v的條件概率。

對(duì)方程（1）的求解難點(diǎn)在于對(duì)源項(xiàng)的處理，當(dāng)對(duì)每個(gè)源項(xiàng)給出相應(yīng)的表示方式后，便可對(duì)方程（1）進(jìn)行求解。除了極少數(shù)情況能得到方程（1）的相似解[1]，大多數(shù)情況需要采用數(shù)值方法求解。在數(shù)值求解方法中，分區(qū)法和節(jié)點(diǎn)法是在將顆粒尺度離散化的基礎(chǔ)上得到離散的尺度分布，然后通過計(jì)算大量離散尺度下的顆粒數(shù)密度得到收斂的數(shù)密度分布[39-40]。矩方法則是將顆粒數(shù)密度分布對(duì)顆粒尺度 ξk進(jìn)行積分，經(jīng)過近似假設(shè)和數(shù)學(xué)處理得到k階矩方程后進(jìn)行求解，該方法大大簡(jiǎn)化了求解的方程，且不同階的矩具有特定的物理意義，因而被大量使用[41-46]。此外，還有運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，將顆粒的尺度分布處理成聯(lián)合PDF方程進(jìn)行求解[25-27,47-50]，也有對(duì)顆粒的虛擬拉格朗日粒子進(jìn)行蒙特卡洛模擬的方法[51-55]。前者的優(yōu)點(diǎn)是能利用比較成熟的微積分方程數(shù)值求解方法進(jìn)行求解，缺點(diǎn)是聯(lián)合概率密度函數(shù)的確定具有一定的復(fù)雜性。后者的優(yōu)點(diǎn)是不必進(jìn)行離散化處理，缺點(diǎn)是往往需要較大的計(jì)算量。

1.2 湍流場(chǎng)的顆粒一般動(dòng)力學(xué)方程

采用雷諾平均方法，將流場(chǎng)速度和顆粒數(shù)密度表示成平均量和脈動(dòng)量之和：

將其代入方程(1)后進(jìn)行平均得：

左邊第三項(xiàng)為脈動(dòng)對(duì)流項(xiàng)，通常采用梯度擴(kuò)散假說進(jìn)行封閉，引入湍流擴(kuò)散系數(shù)Dt，使

將其與左邊第四項(xiàng)合并得：

則方程左邊完全封閉，接下來處理右邊。

(1) 成核項(xiàng)。經(jīng)平均后的成核項(xiàng)為：

(Y)為平均成核率。有些研究采取簡(jiǎn)化方案，通過平均環(huán)境參數(shù)Yˉ 求出表觀成核率B() 來代替(Y)，但通常

(2)生長(zhǎng)項(xiàng)。生長(zhǎng)項(xiàng)的雷諾平均有幾種情況：

①最簡(jiǎn)單的情況是生長(zhǎng)核函數(shù)與環(huán)境參數(shù)無關(guān)，用G(v)表示，則生長(zhǎng)項(xiàng)的雷諾平均為：

該情況的生長(zhǎng)項(xiàng)無需封閉，當(dāng)溫度、化學(xué)組分等環(huán)境參數(shù)對(duì)顆粒生長(zhǎng)的影響很小時(shí)，可直接使用。

②若生長(zhǎng)核函數(shù)與環(huán)境參數(shù)相關(guān)，但與顆粒尺度無關(guān)，核函數(shù)會(huì)受到環(huán)境參數(shù)脈動(dòng)的影響，則生長(zhǎng)核函數(shù)可寫成G(Y)的 形式，對(duì)求平均后，通常生長(zhǎng)核函數(shù)為環(huán)境變量的非線性函數(shù)，即因此有

式中的實(shí)際平均生長(zhǎng)率Gˉ(Y)與表觀生長(zhǎng)率不同，即，需要?；．?dāng)顆粒尺度的演變局限在某一范圍內(nèi)且生長(zhǎng)核函數(shù)可近似視為與顆粒尺度無關(guān)時(shí)，可用上式。

③若生長(zhǎng)核函數(shù)與環(huán)境參數(shù)以及顆粒尺度v相關(guān)，則：

(3) 凝并項(xiàng)。該項(xiàng)的雷諾平均也分有幾種情況：

①凝并核函數(shù) β(v,v1)與環(huán)境參數(shù)無關(guān)或?qū)Νh(huán)境參數(shù)變化不敏感，則：

②凝并核函數(shù) β(v,v1)與環(huán)境參數(shù)有關(guān)，則環(huán)境參數(shù)的脈動(dòng)對(duì) β(v,v1)有影響需 要?；?，此時(shí)要根據(jù)具體情況對(duì)

進(jìn)行展開，例如湍流凝并核函數(shù)為[56]:

式中α為常數(shù)，剪切率 Γη與 湍流耗散率 ε和流體黏度v相關(guān)，在Kolmogorov尺度上 Γη=(ε/v)1/2。

(4) 破碎項(xiàng)。

①當(dāng)破碎核函數(shù)不含任何湍流脈動(dòng)量時(shí)，平均后的破碎項(xiàng)為：

②當(dāng)破碎核函數(shù)含湍流脈變量時(shí)，平均后的破碎項(xiàng)為：

如湍流破碎核為：

式中：kb為 玻爾茲曼常數(shù)；μ 為流體動(dòng)力黏度； Γ*是特征切應(yīng)力；指數(shù)q為正實(shí)數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。

湍流脈動(dòng)引起顆粒的成核、生長(zhǎng)、凝并與破碎項(xiàng)使方程(1)變得不封閉，目前尚無對(duì)這些項(xiàng)?；墓J(rèn)模型，大部分?jǐn)?shù)值模擬中只能直接忽略這些項(xiàng)，而已有研究表明，有些情況下這些項(xiàng)并不可忽略，例如湍流微尺度與顆粒尺度相當(dāng)?shù)那樾蝃1]。

2 湍流脈動(dòng)導(dǎo)致的顆粒成核與生長(zhǎng)

隨著對(duì)湍流研究的不斷深入，湍流場(chǎng)中脈動(dòng)壓力、脈動(dòng)溫度對(duì)顆粒成核與生長(zhǎng)的影響逐漸引起人們的關(guān)注。最早開始研究湍流脈動(dòng)對(duì)顆粒生成與生長(zhǎng)影響的是Levin和Sedunov[57]，他們認(rèn)為湍流場(chǎng)中壓力的脈動(dòng)影響飽和度的穩(wěn)定，從而改變雨滴的生長(zhǎng)率，使雨滴的尺度分布變寬。然而，他們沒有給出顆粒濃度和粒徑分布的最終信息。隨著對(duì)概率密度函數(shù)(PDF)方程求解技術(shù)的提高，有關(guān)湍流脈動(dòng)對(duì)顆粒生成與生長(zhǎng)影響的研究有了比較有效的手段。Lesniewski和Friedlander[12]計(jì)算了圓湍射流場(chǎng)蒸汽冷凝過程中顆粒成核的速率，并對(duì)比了用溫度PDF和平均溫度場(chǎng)計(jì)算得出的結(jié)果。經(jīng)典理論表明，在過飽和點(diǎn)的位置附近，顆粒成核速率會(huì)急劇增加，而在該位置之外成核速率幾乎為零。采用溫度PDF研究的結(jié)果表明，所有情況下都存在蒸汽冷凝成核，只是最大成核速率沒有經(jīng)典理論給出的那么大。在考慮溫度脈動(dòng)的情況下，得到的顆粒濃度分布較均勻且更寬。后來，Lesniewski和他的同事[13,58]繼續(xù)用二丁基鄰苯二甲酸與氮?dú)庠趫A湍射流中進(jìn)行顆粒成核實(shí)驗(yàn)，以說明脈動(dòng)溫度與脈動(dòng)組分濃度對(duì)成核的影響，結(jié)果表明湍流導(dǎo)致的脈動(dòng)對(duì)顆粒生成與生長(zhǎng)的影響不可忽略，這一結(jié)果引起了人們的重視，后續(xù)的數(shù)值模擬研究[15-17,19-22,26-27,37]中都采用了與該實(shí)驗(yàn)相同的條件。

2.1 顆粒成核率、生長(zhǎng)率的數(shù)值模擬結(jié)果

采用不同的數(shù)值模擬方法，得到的顆粒成核率、生長(zhǎng)率的結(jié)果也不同。以下采取統(tǒng)一的表達(dá)方式來描述瞬時(shí)、表觀和各類平均的數(shù)值結(jié)果。以經(jīng)典的蒸汽凝結(jié)均質(zhì)成核速率表達(dá)式為例：

式中Pv、Nv表示蒸汽壓力和濃度，vm為 摩爾體積，m為分子質(zhì)量，k為玻爾茲曼常數(shù)，T為絕對(duì)溫度，S為飽和度，σ表示液滴的表面張力。將各種環(huán)境參數(shù)表示為向量Y，則Y在湍流場(chǎng)中存在脈動(dòng)。如果將用DNS得到的瞬時(shí)環(huán)境參數(shù)代入，得到的是瞬時(shí)成核速率B(Y)。將DNS給出的實(shí)時(shí)成核速率進(jìn)行時(shí)間平均或系綜平均，可得到真實(shí)平均值若將各類環(huán)境參數(shù)的平均值代入，得到的是表觀值

要考慮環(huán)境參數(shù)脈動(dòng)對(duì)成核的影響，一種方法是引入脈動(dòng)環(huán)境參數(shù)已知的PDF，然后計(jì)算PDF的平均值。例如，考慮溫度和蒸汽濃度的脈動(dòng)時(shí)，PDF平均成核速率為[13,19]：

式中 pdf〈〉是 溫度T和蒸汽濃度Nv的概率平均值，由其概率分布函數(shù)PDF得出。

Fager等[20]將用LES得到的環(huán)境參數(shù)代入成核速率式，得到空間濾波的成核速率，還以前面的成核率為例：

對(duì)生長(zhǎng)核函數(shù)G(Y,v)而言，可以用上述的方法定義表觀值平均值空間濾波值G(〈Y〉,v)和 真實(shí)平均值

Veroli和Rigopoulos[27]采用蒙特卡洛方法計(jì)算了二丁基鄰苯二甲酸蒸汽在圓湍射流中的凝結(jié)成核，并對(duì)用平均溫度場(chǎng)和溫度場(chǎng)PDF得到的表觀飽和度和 PDF平均飽和度S(pdf〈T〉)進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)在射 流 出 口 附 近，S()的 值 更 高，分 布 更 加 集 中，而S(pdf〈T〉)的 值 較 低，分 布 較 為 分 散，這 一 結(jié) 果 與Lesniewski和Friedlander的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[13]相符。

Zhou等[17]用DNS方法模擬流場(chǎng)、積分矩方法(Quadrature Method of Moment, QMOM)求解顆粒相的源項(xiàng)，計(jì)算了二丁基鄰苯二甲酸蒸汽在混合剪切層中的冷凝成核與凝積生長(zhǎng)，并將成核速率和生長(zhǎng)速率的真 實(shí) 平 均 值與 表 觀 平 均 值進(jìn)行了比較，結(jié)果如圖1所示。可見在考慮湍流脈動(dòng)的情況下，成核速率在空間的分布更分散，最大值更小，而生長(zhǎng)速率在空間的分布趨勢(shì)沒有明顯變化，只是總體數(shù)值降低。

圖1 成核速率與粒徑凝積生長(zhǎng)速率在混合剪切層的空間分布[17]Fig. 1 Space distribution of nucleation rate and condensation growth rate in mixing shear layer[17]

Pesmazoglou等[22]用LES數(shù)值模擬了圓湍射流中二丁基鄰苯二甲酸蒸汽的凝結(jié)成核，并將由LES和RANS方法得到的空間濾波成核速率B(〈Y〉)和表觀成核速率進(jìn)行了比較，得到了類似圖1（a）的結(jié)果，說明用兩種方法得到的結(jié)果存在差異。

2.2 湍流脈動(dòng)對(duì)顆粒成核率、生長(zhǎng)率的影響程度

在對(duì)受湍流脈動(dòng)影響的顆粒成核項(xiàng)和生長(zhǎng)項(xiàng)進(jìn)行模化時(shí)，首先需確定湍流脈動(dòng)在特定條件下對(duì)這兩項(xiàng)的影響程度。例如，在蒸汽凝結(jié)成核過程中，顆粒成核率對(duì)溫度的變化很敏感，Garrick等對(duì)二丁基鄰苯二甲酸蒸汽的凝結(jié)成核進(jìn)行了數(shù)值模擬[15-16,20-21]，發(fā)現(xiàn)湍流場(chǎng)中的顆粒成核率主要受溫度、飽和度、組分濃度這三者脈動(dòng)的影響。

圖2 圖2 濾波結(jié)果與瞬時(shí)值比較的散點(diǎn)圖[15]Fig. 2 Scatter plots of filtered results vs instantaneous results[15]

進(jìn)一步對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和研究，可以得到不同溫度脈動(dòng)情況下的成核率亞格子尺度脈動(dòng)，結(jié)果如圖3所示。對(duì)比圖3（a）和圖3（b）可知，成核率的負(fù)脈動(dòng)比正脈動(dòng)的幅值大，溫度的負(fù)脈動(dòng)和正脈動(dòng)對(duì)成核率的負(fù)脈動(dòng)和正脈動(dòng)的影響最大，成核率約為1 ×1012m3/s時(shí)對(duì)溫度脈動(dòng)最敏感。

圖3 不同標(biāo)準(zhǔn)化脈動(dòng)溫度θ ′條件下，SGS尺度脈動(dòng)成核率的概率分布函數(shù)[15]Fig. 3 Under different normalized fluctuation temperaturecondition, the PDF of SGS nucleation rate [15]

3 湍流脈動(dòng)導(dǎo)致的顆粒凝并與破碎

在顆粒凝并項(xiàng)方程(13)中，包含了n′(v)n′(v1)，該項(xiàng)是顆粒脈動(dòng)數(shù)密度的二階關(guān)聯(lián)，是個(gè)未知項(xiàng)，需要?；痆59-60]。由方程(13)可知，由湍流脈動(dòng)引起的顆粒凝并與顆粒的數(shù)密度脈動(dòng)有關(guān)。Becker等[28,61-62]由實(shí)驗(yàn)證明了顆粒濃度在湍流場(chǎng)中確實(shí)存在脈動(dòng)，并測(cè)量給出了顆粒濃度脈動(dòng)均方根、脈動(dòng)強(qiáng)度、脈動(dòng)譜在圓管湍射流場(chǎng)中的分布。文獻(xiàn)[63]對(duì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)行了總結(jié)，在此不贅述。與雷諾應(yīng)力的表達(dá)式有相似之處，只是后者為脈動(dòng)速度，于是人們尋找與湍動(dòng)能和湍流耗散的關(guān)系。Spalding[29]曾提出關(guān)于顆粒濃度脈動(dòng)的預(yù)測(cè)方程，該方程將顆粒濃度脈動(dòng)的均根方值與湍動(dòng)能的生成與耗散相聯(lián)系，最終經(jīng)過修正得到k-ε-g方程[64]。

隨著空間濾波方法的出現(xiàn)以及LES方法的發(fā)展，人們提出了顆粒數(shù)密度脈動(dòng)的空間自關(guān)聯(lián)形式〈n′(x)n′(x+r)〉， 引入顆粒徑向分布函數(shù)g(r)將脈動(dòng)項(xiàng)與平均項(xiàng)聯(lián)系起來，并對(duì)g(r)的性質(zhì)進(jìn)行了研究[30-31,65-67]。Eaton和Fessler[32]認(rèn)為在小的時(shí)間尺度內(nèi)，湍流渦的離心作用將顆粒甩到流場(chǎng)的高應(yīng)變區(qū)域，形成了顆粒數(shù)密度聚集區(qū)，該區(qū)的范圍與顆粒Stokes數(shù)有關(guān)。Stokes數(shù)定義為顆粒松弛時(shí)間和流體特征時(shí)間之比：

式中 τp和 τη分別為顆粒松弛時(shí)間和流體特征時(shí)間，τη=(v/ε)1/2為Kolmogorov時(shí) 間 尺 度， η=(v3/ε)1/4為Kolmogorov空間尺度， ρp和 ρf分別為顆粒密度和流體密度。

3.1 顆粒聚集效應(yīng)與凝并核函數(shù)的修正

為了體現(xiàn)湍流脈動(dòng)對(duì)顆粒凝并的影響，一種思路是對(duì)顆粒凝并率進(jìn)行湍流脈動(dòng)的修正，即給出湍流凝并核函數(shù)β。基于這種思路，可以將顆粒徑向分布函數(shù)g(r)引入作為增強(qiáng)系數(shù)[67-73]，從而得到聚集效應(yīng)下的凝并核函數(shù)。Reade和Collins[69]在DNS方法中引入體現(xiàn)顆粒數(shù)密度脈動(dòng)對(duì)顆粒凝并影響的增強(qiáng)因子，并用函數(shù)G11和G12來分別描述單分散和雙分散顆粒的情形。Zhou等[71]則從歐拉方法和統(tǒng)計(jì)方法出發(fā)提出增強(qiáng)因子：

式 中N1和N2分 別 代 表 半 徑 為a1和a2顆 粒 的 數(shù) 密 度。通過DNS可計(jì)算出增強(qiáng)因子，從而得到適用于高顆粒數(shù)密度條件下的修正凝并核函數(shù)。

Sundaram[67]提出顆粒聚集時(shí)單分散顆粒的凝并核函數(shù)：

式中wr為 兩個(gè)顆粒的徑向相對(duì)速度，P(wr|r)為兩個(gè)顆粒在距離為r時(shí)其徑向相對(duì)速度為wr的條件概率。

基于上述凝并核函數(shù)的形式，Reade和Collins[69]得到顆粒徑向分布函數(shù)為St)， 該函數(shù)與粒徑、Stokes數(shù)相關(guān)，當(dāng)St→0 或St→∞時(shí)，增強(qiáng)因子趨近于1，意味著湍流脈動(dòng)導(dǎo)致的顆粒聚集效應(yīng)不存在，只有在Stokes數(shù)達(dá)到1的量級(jí)時(shí)，增強(qiáng)因子達(dá)到最大。

Wang等[70]進(jìn)一步得到新的凝并核函數(shù)β=這里的wr假設(shè)為高斯分布，并給出徑向 分 布函 數(shù)g(r)=g(r,Reλ,St)， 這 里的g(r)不 僅 包含Stokes數(shù)，還包含了以泰勒微尺度為特征尺度的雷諾數(shù)（U′為湍流強(qiáng)度）。當(dāng)St=1時(shí)，增強(qiáng)因子最大，當(dāng)St→0 或St→∞時(shí)，增強(qiáng)因子趨近于1。此外，雷諾數(shù)Reλ越大，增強(qiáng)因子越大。

Zhou等[71]得到雙分散顆粒情況下任意兩種尺度顆粒的凝并核函數(shù)：

Saffman和Turner[56]提出適用于剪切條件下的湍流凝并核，Chun等[74]基于該凝并核，得到在St→0情況下具有顆粒聚集效應(yīng)的湍流凝并核：

式中c1∝St2， γ≈1， 在St→0 且 η/dij?1的情況下，顆粒聚集的增強(qiáng)效應(yīng)接近于c0（一個(gè)待定的匹配系數(shù)）。

上述研究都是基于顆粒的拉格朗日描述用DNS來求解流場(chǎng)，這在慣性顆粒系統(tǒng)中有效[75-76]，但對(duì)零慣性顆粒（忽略顆粒質(zhì)量）而言則無效。從物理機(jī)制看，零慣性顆粒有良好的跟隨性，顆粒與流體的速度幾乎一致，湍流場(chǎng)的渦運(yùn)動(dòng)無法因離心效應(yīng)而導(dǎo)致顆粒的聚集。因此，需要采用其他方法描述零慣性顆粒的濃度脈動(dòng)。

3.2 湍流脈動(dòng)對(duì)凝并生長(zhǎng)效應(yīng)的影響

顆粒的生長(zhǎng)除了凝積外，還可以通過凝并。凝并使顆粒粒徑增大、濃度減少。定義粒徑增長(zhǎng)率為：

式中dg和vg是顆粒的幾何平均直徑和幾何平均體積。粒徑增長(zhǎng)率可用來綜合衡量顆粒成核、凝積生長(zhǎng)和凝并導(dǎo)致顆粒粒徑增長(zhǎng)的效果，在單獨(dú)考慮凝并作用時(shí)，也可以衡量凝并對(duì)顆粒粒徑的增長(zhǎng)作用。

在直接數(shù)值模擬方法中，對(duì)包含完整脈動(dòng)信息的顆粒數(shù)密度場(chǎng)n的模擬，可以得到粒徑的瞬時(shí)增長(zhǎng)率Ω。對(duì)采用大尺度濾波的數(shù)密度場(chǎng) 〈n〉模擬，得到的時(shí)濾波增長(zhǎng)率 ΩF，則亞網(wǎng)格尺度（SGS）作用增長(zhǎng)率為Garrick[36]采用DNS和LES方法研究混合層湍流，通過矩方法使包含顆粒凝并源項(xiàng)的方程得以封閉后求解，得到了瞬時(shí)增長(zhǎng)率 Ω和SGS尺度作用增長(zhǎng)率 ΩSGS，并建立SGS尺度作用增長(zhǎng)率與流場(chǎng)剪切旋轉(zhuǎn)效應(yīng)和湍流場(chǎng)的標(biāo)量耗散率之間的關(guān)系（如圖4所示）。

圖4 SGS尺度粒徑增長(zhǎng)效應(yīng)Ω SGS 的概率密度函數(shù)分布[36]Fig. 4 PDF of SGS particle size growth Ω SGS[36]

在湍流場(chǎng)中，被動(dòng)標(biāo)量M1的耗散率定義為：

式中M1是n(v)的內(nèi)部一階矩，與顆粒的總質(zhì)量濃度相關(guān)，不受顆粒凝并作用的影響。由圖4（b）可知，在質(zhì)量濃度耗散率為零和最大值處， ΩSGS的PDF分布比較對(duì)稱，且集中分布在Q=0附近的區(qū)域。在零和最大值處之間， ΩSGS的PDF分布非常分散且偏向負(fù)值?？梢?，由湍流脈動(dòng)導(dǎo)致的顆粒濃度脈動(dòng)抑制了顆粒的凝并，這與Rigopoulos[25]的研究結(jié)論相符。綜合顆粒的成核、凝積生長(zhǎng)和凝并這幾個(gè)因素，湍流脈動(dòng)會(huì)抑制顆粒的增長(zhǎng)[14,18,37]。

3.3 顆粒凝并項(xiàng)與破碎項(xiàng)增強(qiáng)因子的重新定義

于是，可用gnn來對(duì)顆粒凝并項(xiàng)進(jìn)行描述，即：

該式中還需確定gnn。Yang等[77]認(rèn)為對(duì)零慣性顆粒而言，gnn可表示為流場(chǎng)湍動(dòng)能與總動(dòng)能之比：

式中k是湍動(dòng)能，他們基于該式對(duì)圓管湍流場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。

定義新的增強(qiáng)因子：

令g3=gnn+2gΓn+gΓnn，則再代入凝并項(xiàng)后得[78]：

則新的增強(qiáng)因子定義為gq

此處沿用并定義gnn、g3和gq等增強(qiáng)因子出于兩方面考慮，一是基于顆粒聚集效應(yīng)的研究[73-74,79]，在極低顆粒慣性情況下，顆粒凝并的增強(qiáng)受顆粒多分散性的作用很小，則二是若忽略顆粒多分散性的作用，則gnn近似于顆粒數(shù)密度脈動(dòng)的均方根，這便于對(duì)湍流脈動(dòng)凝并項(xiàng)方程的封閉求解，甚至可采用Elghobashi[64]提出的k-ε-g方程求解。關(guān)于g3增強(qiáng)因子中出現(xiàn)的gΓn、gΓnn，已有前人進(jìn)行過研究[35]。

4 結(jié)束語

微納米顆粒兩相湍流存在于自然現(xiàn)象和大量的實(shí)際應(yīng)用中，研究其規(guī)律具有重要的實(shí)際意義。微納米顆粒兩相流與大顆粒兩相流相比具有其特殊性和復(fù)雜性，對(duì)其研究具有重要的科學(xué)意義。

在微納米顆粒兩相湍流中，湍流導(dǎo)致的流場(chǎng)速度脈動(dòng)、顆粒濃度脈動(dòng)、溫度脈動(dòng)以及飽和度脈動(dòng)會(huì)對(duì)顆粒相的成核、凝積生長(zhǎng)、碰撞凝并、破碎產(chǎn)生影響。本文在給出顆粒一般動(dòng)力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，分析了方程中因湍流脈動(dòng)導(dǎo)致的與顆粒成核、生長(zhǎng)、凝并、破碎相關(guān)的脈動(dòng)量關(guān)聯(lián)項(xiàng)，介紹了對(duì)這些關(guān)聯(lián)項(xiàng)進(jìn)行模化從而使方程得以封閉的研究途徑和相關(guān)的研究結(jié)果。

湍流脈動(dòng)對(duì)顆粒成核、凝積生長(zhǎng)、碰撞凝并、破碎的影響已受到人們的重視并開展了研究，但仍有一些方面的問題有待將來進(jìn)一步探討。

1）顆粒聚集使顆粒碰撞的幾率增加，從而導(dǎo)致顆粒凝并的增強(qiáng)。而在第3.3節(jié)的研究結(jié)論中，湍流脈動(dòng)會(huì)抑制顆粒的凝并，這與顆粒聚集導(dǎo)致顆粒凝并增強(qiáng)的結(jié)論似乎存在矛盾，因?yàn)橥牧髅}動(dòng)使得顆粒數(shù)密度脈動(dòng)，而數(shù)密度脈動(dòng)的結(jié)果也有可能導(dǎo)致顆粒聚集。所以有必要對(duì)湍流脈動(dòng)對(duì)顆粒凝并的影響進(jìn)行深入的研究。

2）微納顆粒兩相湍流場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)研究具有一定的難度。湍流場(chǎng)尤其是充分發(fā)展的湍流場(chǎng)具有空間和時(shí)間多尺度的特征。受多尺度的影響，在測(cè)量顆粒的取樣頻率還很低的情況下，難以全面獲得微納尺度顆粒在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)信息[80]，有必要在實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)技術(shù)方面做進(jìn)一步的研究。

3）在納顆粒兩相湍流場(chǎng)中，對(duì)顆粒一般動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行雷諾平均后會(huì)出現(xiàn)與顆粒成核、生長(zhǎng)、凝并、破碎相關(guān)的脈動(dòng)量關(guān)聯(lián)項(xiàng)，這些項(xiàng)使得平均后的方程不封閉，要使方程封閉，就要對(duì)這些項(xiàng)進(jìn)行?；Ｄ壳?，由模化后得到的數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果如顆粒燃燒[81-83]、成核[13]、凝并[84]、破碎彌散[85-86]還存在一定的差異，原因是數(shù)值模擬中可以有針對(duì)性地對(duì)成核、生長(zhǎng)、凝并、破碎中的某一項(xiàng)進(jìn)行，而實(shí)驗(yàn)的結(jié)果往往是這幾項(xiàng)中若干項(xiàng)的綜合結(jié)果。所以有必要進(jìn)一步對(duì)顆粒一般動(dòng)力學(xué)方程中未知項(xiàng)的?；_展有針對(duì)性的實(shí)驗(yàn)研究。