趙曼宇，葉 軍

南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，南京210023

近10年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由于其應(yīng)用廣泛而受到人們極大關(guān)注[1-2]。如通信網(wǎng)絡(luò)、電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)、萬維網(wǎng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型來表示。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動態(tài)行為研究中，同步性是多個學(xué)科的研究重點。到目前為止網(wǎng)絡(luò)同步的研究已經(jīng)提出多種同步模式，如指數(shù)同步[3]、完全同步[4]、簇同步[5]、有限時間同步[6]、擬同步[7]等。

在研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題中，由于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，僅依賴網(wǎng)絡(luò)自身的耦合實現(xiàn)同步是很困難的，因此為了實現(xiàn)同步提出了多種控制方法。如自適應(yīng)控制[8]、脈沖控制[9]、牽制控制[10]、采樣控制[11]等。隨著數(shù)字電路技術(shù)和計算機網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)字設(shè)備逐漸取代實際工業(yè)系統(tǒng)中的連續(xù)時間設(shè)備。因此，采樣控制由于其離散性、減少信號傳輸、降低通信成本等特點被廣泛應(yīng)用于實際系統(tǒng)中。在許多實際系統(tǒng)和信息網(wǎng)絡(luò)中，時滯現(xiàn)象是不可避免的且會隨時間發(fā)生變化，而時滯的存在會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，性能下降，因此對時滯現(xiàn)象的研究具有重要意義。有大量文獻研究了含時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題。

文獻[12]研究了具有恒定時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在非周期采樣控制下實現(xiàn)指數(shù)同步的問題。文獻[13]研究了一類具有通信時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在記憶采樣控制下實現(xiàn)擴展耗散同步的問題。文獻[14]研究了具有時變耦合時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在含恒定信號傳輸時滯的采樣控制下實現(xiàn)指數(shù)同步的問題。通過構(gòu)造含有更多時滯信息以及采樣間隔信息的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函獲得了保證系統(tǒng)同步的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[15]研究了具有變時滯和擾動的不確定性模糊系統(tǒng)在記憶采樣控制下的魯棒H∞穩(wěn)定性問題。

含時滯的網(wǎng)絡(luò)同步問題的研究已經(jīng)取得了很多進展，但大多數(shù)研究都是關(guān)于同質(zhì)系統(tǒng)，即所有節(jié)點都具有相同的動力學(xué)系統(tǒng)。然而在實際系統(tǒng)中，由于外部干擾、系統(tǒng)突變、參數(shù)不確定性和個體差異等因素可能會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的異質(zhì)性。因此對節(jié)點動力學(xué)不同的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的研究具有重要意義。近年來，異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展迅速。文獻[16]研究了基于輸入飽和采樣控制下異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)擬同步的問題。文獻[17]研究了異質(zhì)二階多智能體系統(tǒng)在具有輸入時滯以及無輸入時滯采樣控制下實現(xiàn)Leader-following擬一致性的問題。文獻[18]研究了在具有脈沖控制的DOS攻擊下，異質(zhì)非線性多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)擬同步的問題。文獻[19]研究了具有時變通信的連續(xù)時間廣義馬爾可夫切換異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的擬同步問題。

綜合以上文獻，本文擬考慮同時含有時變時滯、輸入時滯、異質(zhì)等因素的非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。研究內(nèi)容包括：建立含時變時滯的異質(zhì)非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，設(shè)計含輸入時滯的采樣控制協(xié)議，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論及線性矩陣不等式方法給出系統(tǒng)實現(xiàn)擬同步的充分條件，并推廣了同質(zhì)的情況。

1 預(yù)備知識和模型描述

1.1 符號說明

Rn和Rn×n分別表示n維實列向量的集合和n維實矩陣的集合；I n∈Rn×n表示n×n的單位矩陣；AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置；‖?‖是定義為的歐式范數(shù)；diag{…}表示對角矩陣；A＞0表示矩陣A是正定矩陣；λmax(A)和λmin(A)分別表示矩陣A的最大和最小特征值；?在對稱矩陣中指的是對稱元素；?指的是克羅內(nèi)克積。

1.2 引理

引理1[20]對于任意矩陣，標(biāo)量τ＞0(0≤τ(t)≤τ),以 及 可 導(dǎo) 函 數(shù)x(s)有，其中

引理2[21]設(shè)z∈W[a,b)且z(a)=0，對于任意的n×n維矩陣R＞0，有下面不等式成立：

引理3[22]二次函數(shù)f(x)=a2x2+a1x+a0其中a2,a1,a0∈R，?x∈[0,h]，如果（1）f(0)＜0，（2）f(h)＜0，（3）-h2a2+f(0)＜0成立，則f(x)＜0。

注1根據(jù)文獻[22]中的證明可知，當(dāng)a2＜0時，由條件（2）和（3）就可以保證f(x)＜0，?x∈[0,h]。

1.3 模型描述

本文研究由N個跟隨者和一個領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的含時變時滯的非線性異質(zhì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，N個跟隨者的動力學(xué)模型如下：

其中，x i(t)∈Rn是第i個節(jié)點的狀態(tài)變量；f i:Rn×[0,+∞)→Rn是第i個節(jié)點的非線性向量函數(shù)；A i∈Rn×n,Aτi∈Rn×n,和B i∈Rn×n是常數(shù)矩陣；τ(t)是時變時滯且滿足0≤τ(t)≤τ，τ?(t)≤u，其中τ＞0，u是常數(shù)；u i(t)∈Rn是待設(shè)計的控制協(xié)議。

領(lǐng)導(dǎo)者的動力學(xué)模型如下：

其中，A0∈Rn×n，Aτ0∈Rn×n，B0∈Rn×n是常數(shù)矩陣，x0(0)∈Rn是領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)初值。

1.4 定義與假設(shè)

假設(shè)1每個跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間至少存在一條有向路徑。

定義1非線性函數(shù)f(?):Rn→Rn滿足利普希茨條件：存在αij≥0(i,j=1,2,…,n),?y,z∈Rn使

假設(shè)2設(shè)f i(x i(t),t)=f(xi(t),t)+g i(x i(t),t),i=1,2,…,N，其中

（1）f(x i(t),t)滿足利普希茨條件；

（2）‖g i(x i(t),t)‖≤σi,σi是正常數(shù)。

假設(shè)3領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)向量x0(t)是有界的，即存在δ＞0，使得‖x0(t)‖≤δ對任意的初值x0(0)都成立。

注2假設(shè)1是網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)實現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者同步的必要條件，假設(shè)1表明領(lǐng)導(dǎo)者可以通過有向路徑把信息傳遞給每一個跟隨者；假設(shè)2表明系統(tǒng)中的非線性函數(shù)滿足利普希茨條件，這在非線性系統(tǒng)中是常見的；在實際應(yīng)用中，領(lǐng)導(dǎo)者可能是一個平衡點、周期軌道或者混沌吸引子。因此，假設(shè)3是合理的。

本文設(shè)計的采樣反饋控制如下：

根據(jù)圖理論知識可知，式中A=[aij]∈RN×N指的是加權(quán)鄰接矩陣，如果節(jié)點i可以收到節(jié)點j的信息，那么aij＞0否則a ij=0。拉普拉斯矩陣L=l ij∈Rn×n定義為：當(dāng)i≠j時，。領(lǐng)導(dǎo)者的判斷矩陣定義如下：D=diag{d1,d2,…,d N}∈RN×N，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)趇個節(jié)點與領(lǐng)導(dǎo)者相連時d i＞0，否則d i=0。令Hˉ=L+D，式中采樣時刻t k滿足0=t0＜t1＜…＜t k＜…考慮的采樣是非周期的，任意兩個連續(xù)采樣時間間隔在一個區(qū)間內(nèi)，即t k+1-t k=h k≤h，h k＞0是采樣間隔，h是允許的最大采樣間隔，c為恒定耦合強度，η為恒定輸入時滯。

1.5 誤差系統(tǒng)

定義誤差向量x?i(t)=x i(t)-x0(t)

因此誤差系統(tǒng)為：

式中

通過文獻[16-19]對異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)很難實現(xiàn)完全同步。因此，引入擬同步的定義如下：

定義2[16]跟隨者網(wǎng)絡(luò)（1）與領(lǐng)導(dǎo)者網(wǎng)絡(luò)（2）實現(xiàn)擬同步的條件為：存在一個誤差界ε＞0，對于任意的初值x i(0),x0(0)∈Rn使得成立。

由于節(jié)點的異質(zhì)性嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定，當(dāng)前的一個主要問題是如何處理由異質(zhì)引起的不穩(wěn)定因素，從以上分析可以看出Δ(x0,t)的存在正是導(dǎo)致跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者之間不穩(wěn)定的因素，因此有必要估計‖Δi(x0,t)‖的界。由假設(shè)2和假設(shè)3可得：

其中Γ=[αij]n×n,i=1,2,…,N。

2 主要結(jié)果

本章將給出異質(zhì)跟隨者網(wǎng)絡(luò)（1）與領(lǐng)導(dǎo)者網(wǎng)絡(luò)（2）在采樣控制（3）下實現(xiàn)擬同步的充分條件。為了簡化矩陣和向量的表示，將e i∈R9n×n,i=1,2,…,9,定義為塊輸入矩陣（如：e5=[0 0 0 0I0 0 0 0 ]T）其他符號定義如下：

定理在假設(shè)1～3的基礎(chǔ)上，給定正常數(shù)h,τ,u,σ1,σ2,α,如果存在矩陣P＞0,X1＞0,W i＞0 (i=1,2,…,6)，矩陣T,N,Z=diag{Z1,Z2,…,Z N}，對角正定矩陣Θ和對角實矩陣Λ=diag{b i}N＞0，使得下列線性矩陣不等式對于任意的hk∈{0,h}成立：

那么，跟隨者網(wǎng)絡(luò)（1）與領(lǐng)導(dǎo)者網(wǎng)絡(luò)（2）在采樣控制協(xié)議（3）下可以實現(xiàn)擬同步，同步誤差上界為ε=

證明構(gòu)造下面的增廣李雅普諾夫泛函

其中

對V(t)沿誤差式（4）對t求導(dǎo)：

給定任意的正定矩陣X1有下面不等式成立：

根據(jù)引理1可得：

式中

為了證明擬同步需要求得下面式子：

引入下面的不等式來處理和上式中的一部分積分項

應(yīng)用上式及詹森不等式有下面式子成立：

由定義1和假設(shè)2可知，f(x i(t),t)滿足利普希茨條件，因此

其中Γ=[αij]n×n

給定一個對角正定矩陣Θ有下面式子成立：

給定一個對角矩陣Z和標(biāo)量σ1＞0，σ2＞0可得：

把式（12）、（14）、（15）代入到式（11）中得：

其中：

根據(jù)引理3可得Ξ＜0的條件是下面兩個式子成立：

根據(jù)Schur引理可知定理中的式（8）等價于式（17）。因此，當(dāng)t∈[t k,t k+1)時：

把式（18）兩邊乘eα(t-t0)從t0到t可得：

從V(t)的定義可知x?T(t)Px?(t)≤V(t)

因此，含時變時滯的異質(zhì)跟隨者網(wǎng)絡(luò)（1）在采樣控制協(xié)議（3）下可以與領(lǐng)導(dǎo)者網(wǎng)絡(luò)（2）實現(xiàn)擬同步，且同步誤差上界為：

證明結(jié)束。

推論假設(shè)定理中的條件不變，當(dāng)t→∞，Δ(x0(t),t)→0，異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)（1）轉(zhuǎn)變?yōu)橥|(zhì)網(wǎng)絡(luò)，其與領(lǐng)導(dǎo)者網(wǎng)絡(luò)（2）在采樣控制（3）下可以實現(xiàn)完全同步。

3 數(shù)值仿真

本章將給出數(shù)值仿真來驗證理論結(jié)果。本文選取的網(wǎng)絡(luò)包含1個領(lǐng)導(dǎo)者和6個跟隨者，領(lǐng)導(dǎo)者作為根節(jié)點，節(jié)點間的信息交流如圖1所示。

圖1 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

例1跟隨者網(wǎng)絡(luò)模型為：

其中，?i和?i是采樣常數(shù)，γi是模型參數(shù)，ωi是輸入擾動。因此系統(tǒng)（1）中相對應(yīng)的參數(shù)為A i=-?i,Aτi=-?i,B i=-γi,f(x i(t),t)=sinx i,g i=-γi-1ωi(t)。假 設(shè)γi=0.01i,?i=8-i，?i=2+i，[ω1,ω2,ω3]T=[-cos(-2t)+0.2,-sin(-6t),-e-4t,-sin(-2t),-e-2t+0.6,-cos(-8t)]T領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點的相關(guān)參數(shù)為A0=-4，Aτ0=-7，B0=-0.03，g0=-13 cos(-4t)+6。選取耦合強度c=0.5。為了考慮時變時滯以及輸入時滯對系統(tǒng)的影響，取τ(t)=0.012 5+0.012 5 sin(4t),τ=0.025,u=0.05,η=0.005。參數(shù)α=30,b1=1,b2=2,b3=3,b4=3.5,b5=2.5,b6=1.5,σ1=15,σ2=5,Γ=1。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D1可知：

通過定理解線性矩陣不等式（7）～（9）得到可允許的h的最大值為0.033。為了簡化把控制協(xié)議（3）設(shè)計為周期采樣，采樣周期為h k=0.01，同時基于定理可得：

選擇領(lǐng)導(dǎo)者的初值x0(0)=1，6個跟隨者的初值隨機選擇。根據(jù)以上給定的相關(guān)參數(shù)以及式（6），通過簡單地計算可得C1=8.038 4，C2=6.236 8，C3=4.235 2，C4=2.243 7，C5=1.672 1，C6=4.290 5，進而得到估計誤差上界ε=5.4。從圖2和圖3可以看出含時變時滯的異質(zhì)跟隨者網(wǎng)絡(luò)（1）和領(lǐng)導(dǎo)者網(wǎng)絡(luò)（2）在含輸入時滯的采樣控制（3）下可以實現(xiàn)擬同步。

圖2 例1中x 0(t)和x1(t),x 2(t),…,x6(t)的軌跡圖

圖3 例1中實際與估計同步誤差圖

例2當(dāng)Δ(x0,t)→0時，異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)變?yōu)橥|(zhì)網(wǎng)絡(luò)。同質(zhì)跟隨者網(wǎng)絡(luò)的模型如下：

其中，A=-4,Aτ=-7,B=-0.03。

領(lǐng)導(dǎo)者的動力學(xué)模型為：

其他參數(shù)同例1，從圖4和圖5可以看出跟隨者網(wǎng)絡(luò)（20）與領(lǐng)導(dǎo)者網(wǎng)絡(luò)（21）在采樣控制（3）下可以實現(xiàn)完全同步。

圖4 例2中x 0(t)和x1(t),x 2(t),…,x6(t)的軌跡圖

4 結(jié)論

圖5 例2中同質(zhì)系統(tǒng)的誤差軌跡圖

本文研究了含時變時滯的非線性異質(zhì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在含輸入時滯的采樣控制下實現(xiàn)擬同步的問題。基于減少穩(wěn)定性條件降低保守性的目的，在Lyapunov泛函中增加采樣信息。利用Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法得出了保證非線性異質(zhì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)擬同步的充分條件。并估計出實現(xiàn)擬同步的誤差上界。同時驗證了同質(zhì)的情況，當(dāng)異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)變?yōu)橥|(zhì)時是可以實現(xiàn)完全同步的。最后，數(shù)值仿真證明了理論結(jié)果的正確性。