周 新，鄒 海

安徽大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，合肥230601

群智能優(yōu)化算法通常是受自然界中生物行為和物理現(xiàn)象啟發(fā)而構(gòu)造出具有特殊理論模型的優(yōu)化方法，其作為一種高效的計(jì)算方法，受到了眾多學(xué)者的重視，近年來，越來越多的群智能優(yōu)化算法被提出，常見的算法有粒子群算法[1]、人工蜂群算法[2]、花授粉算法[3]、蟻群算法[4]、雞群算法[5]等。

樽海鞘群算法（Salp Swarm Algorithm，SSA）[6]是Mirjalili等人于2017年提出的一種新型群智能優(yōu)化算法，該算法啟發(fā)于海洋動物樽海鞘的群體覓食行為，相比于粒子群算法、人工蜂群算法等其他常見的群智能優(yōu)化算法，樽海鞘群算法的數(shù)學(xué)模型更加簡單，尋優(yōu)機(jī)制易于理解，且算法參數(shù)較少，更易實(shí)現(xiàn)。近年來SSA算法受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并已被成功應(yīng)用在了特征選擇[7]、圖像處理[8]等領(lǐng)域中。

雖然SSA在求解大多數(shù)優(yōu)化問題時展現(xiàn)出了較強(qiáng)的尋優(yōu)能力，但是，與其他常見智能優(yōu)化算法一樣，在求解高維復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化問題時，SSA算法仍然存在著收斂速度慢、尋優(yōu)精度低、易陷入局部最優(yōu)等缺陷。為此，國內(nèi)外學(xué)者從不同的角度出發(fā)對基本SSA算法進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)[9]提出了一種混沌策略改進(jìn)的SSA算法，利用混沌變量對算法中部分參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，大幅提升了算法的全局搜索和局部開發(fā)能力；文獻(xiàn)[10]在基本SSA算法中引入了自適應(yīng)變異策略，通過對種群中的最優(yōu)解進(jìn)行變異，有效提升了算法跳出局部最優(yōu)的能力；文獻(xiàn)[11]利用單純形法對種群的初始分布進(jìn)行了改良，增加了種群的多樣性，提升了SSA算法的搜索能力；文獻(xiàn)[12]提出了一種基于混沌初始化和精英質(zhì)心拉伸機(jī)制的SSA算法，在增強(qiáng)了種群多樣性的同時充分利用了當(dāng)前群體中精英個體的信息，有效提升了算法的全局探索和局部開發(fā)能力。

雖然以上的改進(jìn)算法通過不同的策略在一定程度上提升了SSA的算法性能，但是，由于SSA提出的時間較短，其存在的尋優(yōu)效率低，易陷入局部最優(yōu)等問題還沒有得到最有效的解決，需要更進(jìn)一步的研究。因此，本文針對基本SSA算法中存在的問題，從以下三個方面出發(fā)對其進(jìn)行改進(jìn)：（1）引入自適應(yīng)變化的權(quán)重因子，充分發(fā)揮精英個體的引導(dǎo)作用，提升算法收斂速度與精度；（2）將黃金正弦算法作為一種優(yōu)化算子引入到SSA中以改進(jìn)種群中領(lǐng)導(dǎo)者的位置更新方式，利用黃金正弦算法對解空間較強(qiáng)的遍歷能力擴(kuò)大基本SSA算法的尋優(yōu)區(qū)域，從而提升SSA算法的全局搜索能力；利用黃金正弦算法中引入了黃金分割數(shù)的系數(shù)可以對解空間中能產(chǎn)生優(yōu)秀解的區(qū)域進(jìn)行充分探索，并通過隨機(jī)參數(shù)控制個體移動方向和距離，引導(dǎo)個體快速向食物源位置靠攏，增強(qiáng)了算法的局部開發(fā)能力；（3）融合鄰域重心反向?qū)W習(xí)策略和柯西變異算子對當(dāng)前最優(yōu)個體進(jìn)行隨機(jī)擾動，擴(kuò)大算法搜索區(qū)域，增強(qiáng)種群多樣性，使算法在迭代后期具備跳出局部最優(yōu)區(qū)域的能力。

1 樽海鞘群算法

在自然界中，樽海鞘在導(dǎo)航和覓食的過程中會聚集成鏈狀并快速游動以捕獲食物，SSA算法通過模擬樽海鞘的這種行為建立了一種樽海鞘鏈模型以求解優(yōu)化問題。在SSA中，樽海鞘種群被分為了兩部分：領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者，領(lǐng)導(dǎo)者位于鏈前端，它引領(lǐng)著追隨者在D維空間中移動并尋找食物，其他個體為追隨者，領(lǐng)導(dǎo)者的位置更新方式如下：

其中，表示第一個樽海鞘個體（領(lǐng)導(dǎo)者）在第j維的位置；F j表示食物源的第j維位置；ub j和lb j分別為第j維搜索空間的上界和下界，c2和c3為[0，1]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，它們分別決定了樽海鞘個體在第j維的移動步長以及移動方向，c1是SSA中用于平衡算法全局搜索和局部開發(fā)能力的重要參數(shù)，其定義如下：

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù)。

追隨者的位置更新方式如下：

基本SSA算法通過式（1）和式（3）來對樽海鞘群的移動方式進(jìn)行模擬，并依此解決實(shí)際優(yōu)化問題。

2 樽海鞘群算法的改進(jìn)

2.1 精英個體引導(dǎo)和自適應(yīng)權(quán)重

在SSA算法中，追隨者跟隨其前一個個體進(jìn)行位置更新，這種盲目的移動方式使得解的分布過于局限，嚴(yán)重影響了算法的尋優(yōu)能力。文獻(xiàn)[13]通過在追隨者的位置更新公式中引入了自適應(yīng)變化的慣性權(quán)重大幅提升了算法的搜索和開發(fā)能力，該算法中追隨者的更新方式如下：

其中，w(t)為第t次迭代時的慣性權(quán)重，它隨著迭代過程自適應(yīng)的減小。觀察式（4）可知，隨著w的逐漸減小，追隨者的移動受前一個個體的影響將會越來越小，在迭代后期，追隨者將以自身的上一次迭代位置為導(dǎo)向進(jìn)行局部尋優(yōu)，雖然此策略在一定程度上提升了算法的尋優(yōu)能力，但是，由上述分析可知，該方法僅考慮了追隨者的先前個體對其移動的負(fù)面影響，而忽略了先前個體帶來的正面影響，即當(dāng)追隨者的前一個個體的位置優(yōu)于其當(dāng)前位置時，該策略仍會削弱先前個體的影響權(quán)重，這可能會導(dǎo)致個體錯過適應(yīng)度更好的位置，因此，本文提出了一種結(jié)合精英個體引導(dǎo)和自適應(yīng)權(quán)重的改進(jìn)策略，該方法中，追隨者的更新由式（5）、（6）完成：

其中，w(t)為自適應(yīng)遞減的權(quán)重因子，f(?)為個體的適應(yīng)度值。w s和w f別為權(quán)重因子的初始值和最終值，在本文算法中，權(quán)重因子w的取值應(yīng)滿足以下三個條件：

（1）在算法的迭代尋優(yōu)過程中，追隨者自身所處位置和其前一個樽海鞘個體位置應(yīng)始終參與追隨者的位置更新。

（2）權(quán)重因子應(yīng)起到積極正向的引導(dǎo)作用。

（3）非精英個體所占權(quán)重應(yīng)始終小于等于精英個體所占權(quán)重。

由條件（1）、（2）可知，權(quán)重因子應(yīng)為正數(shù)，即

由條件（1）、（2）可知，權(quán)重因子應(yīng)滿足：

即：

由上述分析可知，權(quán)重因子的取值應(yīng)滿足w∈(0,0.5]，相應(yīng)的，權(quán)重因子初始值w s和最終值w f的取值也應(yīng)當(dāng)位于(0,0.5]區(qū)間內(nèi)。

經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)w s取0.5，w f取0.1時，算法的尋優(yōu)結(jié)果最好。為了更直觀地看出權(quán)重因子的變化過程，圖1給出了w隨迭代過程的變化曲線圖。

圖1 權(quán)重因子迭代曲線

由文獻(xiàn)[14]可知，在迭代前期迅速遞減的權(quán)重將會造成種群多樣性的極速喪失，從而導(dǎo)致算法陷入早熟收斂，觀察圖1可知，本文算法中權(quán)重因子w在迭代前中期保持了較為平緩的遞減速度，能夠減緩種群多樣性的喪失，降低算法陷入早熟收斂的幾率；在迭代后期，權(quán)重因子遞減速度加快，意味著非精英個體所占權(quán)重將快速減小，精英個體所占權(quán)重將隨之迅速增大，追隨者將在精英個體鄰域內(nèi)進(jìn)行搜索，并使算法逐漸趨于收斂狀態(tài)。

在AGHSSA中，追隨者在進(jìn)行位置更新時將會對其自身位置與其前一個樽海鞘的位置進(jìn)行比較，從中選取適應(yīng)度較優(yōu)的個體作為精英個體，并為精英個體和非精英個體賦予相應(yīng)的權(quán)重因子，由式（5）、（6）和圖1可知，隨著迭代過程的進(jìn)行，w將從w s逐漸減小到w f，非精英個體所占的權(quán)重將隨之逐漸減小，而精英個體所占的權(quán)重將逐漸增大，追隨者將始終以精英個體為導(dǎo)向進(jìn)行移動，從而降低其因盲目跟隨前一個個體而錯過較優(yōu)位置的幾率，提升算法的收斂速度與精度。

2.2 黃金正弦領(lǐng)導(dǎo)策略

黃金正弦算法（Golden Sine Algorithm，Golden-SA）[15]是Tanyildizi等人于2017年提出的一種新型元啟發(fā)式算法，該算法構(gòu)造了基于正弦函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來求解優(yōu)化問題。依據(jù)正弦函數(shù)與單位圓的關(guān)系，Golden-SA可以遍歷正弦函數(shù)上的所有點(diǎn)即單位圓上的所有點(diǎn)，算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，且Golden-SA在其位置更新過程中引入了黃金分割數(shù)系數(shù)，使得算法在每次迭代過程中都會對能產(chǎn)生優(yōu)秀解的區(qū)域進(jìn)行充分搜索，從而加快了算法的收斂速度，算法具有較強(qiáng)的局部開發(fā)能力。Golden-SA的核心是其位置更新方式，在迭代過程中，算法先隨機(jī)產(chǎn)生s個個體的位置，之后通過式（10）對每個個體進(jìn)行位置更新：

觀察SSA算法中領(lǐng)導(dǎo)者的位置更新公式（1）可知，領(lǐng)導(dǎo)者始終以食物源為導(dǎo)向移動，種群中領(lǐng)導(dǎo)者與追隨者之間缺乏信息交流，算法難以對解空間進(jìn)行充分的探索，從而導(dǎo)致SSA出現(xiàn)早熟收斂，尋優(yōu)效率低下等問題，受文獻(xiàn)[15]啟發(fā)，本文將黃金正弦算法作為一種優(yōu)化算子引入到SSA算法中以改變領(lǐng)導(dǎo)者移動方式，在AGHSSA中，領(lǐng)導(dǎo)者的位置更新由下式完成：

Golden-SA不是模擬自然現(xiàn)象而設(shè)計(jì)的，而是一種利用正弦函數(shù)和黃金分割數(shù)進(jìn)行迭代尋優(yōu)的數(shù)學(xué)模型，算法具有很好的可移植性，由式（11）可知，引入黃金正弦算子僅需要提供樽海鞘個體i自身和最優(yōu)個體（食物源）F的位置信息，而這些信息在基本SSA算法中均已給出，因此，黃金正弦算法能夠被較好地移植到SSA算法中。在本文算法中，個體i在每一次迭代時都會與當(dāng)前最優(yōu)個體通過式（11）進(jìn)行信息交互以充分吸收自身與最優(yōu)個體間的位置差信息，加快種群向最優(yōu)個體位置靠攏的速度，引入黃金正弦領(lǐng)導(dǎo)策略可以有效彌補(bǔ)基本SSA算法中領(lǐng)導(dǎo)者與追隨者個體缺乏信息交流的缺陷；此外，依據(jù)正弦函數(shù)和單位圓的關(guān)系，Golden-SA可以遍歷單位圓上的所有點(diǎn)，算法的尋優(yōu)區(qū)域更加全面，針對基本SSA算法中存在的全局尋優(yōu)能力差和收斂精度低等缺點(diǎn)，黃金正弦領(lǐng)導(dǎo)策略的引入可以在一定程度上擴(kuò)大基本SSA算法的尋優(yōu)區(qū)域，使算法能夠發(fā)現(xiàn)解空間中潛在的全局最優(yōu)解，從而提升算法的全局搜索能力和收斂精度；同時，針對基本SSA算法中存在的局部開發(fā)能力差和收斂速度慢等問題，利用Golden-SA中引入了黃金分割數(shù)得到的系數(shù)可以逐步縮小算法的搜索空間，對能產(chǎn)生優(yōu)質(zhì)解的區(qū)域進(jìn)行充分搜索，并通過參數(shù)R1和R2可以控制樽海鞘個體的位置更新距離和方向，快速引領(lǐng)個體向最優(yōu)解位置靠近，從而減少算法尋優(yōu)時間，提升了SSA算法的局部開發(fā)能力和收斂速度。綜上所述，黃金正弦領(lǐng)導(dǎo)策略能夠有效改善基本SSA算法中存在的不足，并且具備被移植到基本SSA算法中的條件，由此可以得出結(jié)論，黃金正弦領(lǐng)導(dǎo)策略適用于樽海鞘群算法。

2.3 鄰域重心反向?qū)W習(xí)與柯西變異

在基本SSA中，最優(yōu)個體即食物源的位置更新依賴于每次迭代時種群的更新，即在每次迭代后期，將由當(dāng)前適應(yīng)度最好的個體來替代最優(yōu)個體，算法并未主動的對最優(yōu)個體位置進(jìn)行擾動，算法一旦陷入局部最優(yōu)則難以跳出，且由2.1節(jié)分析可知，權(quán)重因子在迭代后期的迅速減小會造成種群多樣性的極速喪失，也將導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)，為此，本文提出了一種融合鄰域重心反向?qū)W習(xí)與柯西擾動的混合變異策略以對當(dāng)前最優(yōu)個體位置進(jìn)行隨機(jī)擾動，增強(qiáng)種群多樣性，提升算法跳出局部最優(yōu)的能力。

（1）鄰域重心反向?qū)W習(xí)

反向?qū)W習(xí)是由Tizhoosh提出的一種數(shù)學(xué)模型[17]，其主要思想是通過同時評估當(dāng)前解和反向解來選出較優(yōu)解加以使用，反向?qū)W習(xí)的定義如下：

定義1（反向?qū)W習(xí)）設(shè)xi是D維空間中的一個可行解，x i=(x i1,x i2,…,x iD),且x ij∈[a j,b j],j=(1,2,…,D),則其對應(yīng)的反向解x?i=(x?i1,x?i2,…,x?iD)為：

傳統(tǒng)的反向?qū)W習(xí)通過最大最小邊界計(jì)算反向點(diǎn)來獲取優(yōu)質(zhì)解，但是，該方法沒有考慮到種群間的信息交流，為此，Rahnamayan等人提出了基于重心的反向點(diǎn)[18]，其定義如下：

定義2（重心）設(shè)(x1,x2,…,x n)是D維空間中帶有單位質(zhì)量的n個點(diǎn)，則整體的重心M定義為：

即得：

定義3（重心反向點(diǎn)）若一個離散均勻的整體重心為M，則該整體中某一點(diǎn)x i的反向點(diǎn)定義為：

在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[19]提出了鄰域重心反向解的概念，其通過引入收縮因子進(jìn)一步拓展了反向搜索范圍，有效提升了粒子群算法的尋優(yōu)精度，鄰域重心反向解定義如下：

定義4（鄰域重心反向解）設(shè)x i是群體X中的第i個個體，M i是它所在鄰域的重心，則鄰域重心反向解定義為：

其中，mi表示個體i所在鄰域內(nèi)個體的數(shù)目，k為收縮因子，是[0，1]間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

為了更好地引導(dǎo)個體尋優(yōu)，本文將鄰域重心反向?qū)W習(xí)融入到基本SSA中。

設(shè)當(dāng)前迭代的最優(yōu)解（食物源）位置為F(F=(F1,F2,…,F D))，鄰域重心M為整個樽海鞘種群的重心，則其經(jīng)鄰域重心反向?qū)W習(xí)后的解F?(F?=(F?1,F?2,…,F?D))的計(jì)算方式如下：

（2）柯西變異

柯西分布是一個數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)型概率分布，當(dāng)隨機(jī)變量x滿足其概率密度函數(shù)時，稱x服從柯西分布。標(biāo)準(zhǔn)柯西分布的概率密度函數(shù)如下：

柯西分布具有原點(diǎn)處概率密度大、分布緊湊，兩端密度小，分布較長的特點(diǎn)，通過柯西變異可以對個體產(chǎn)生更大的擾動，使得個體具備跳出局部最優(yōu)的能力[20]。受文獻(xiàn)[20]啟發(fā)，本文將柯西變異算子引入到SSA中對食物源位置進(jìn)行擾動，計(jì)算方式如下：

其中，F(xiàn)′為食物源經(jīng)柯西變異后產(chǎn)生的新位置。

（3）混合變異

為提升算法尋優(yōu)能力，AGHSSA將等概率的交替執(zhí)行鄰域重心反向?qū)W習(xí)策略和柯西擾動策略，動態(tài)地更新食物源位置，混合變異計(jì)算方式如下：

其中，R3為[0，1]區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，F(xiàn)new為食物源經(jīng)混合變異后產(chǎn)生的新位置。

改進(jìn)算法利用鄰域重心反向?qū)W習(xí)策略生成反向解，拓展算法的搜索范圍，使算法能夠發(fā)現(xiàn)搜索空間中更多的潛在全局最優(yōu)解，提升了算法尋優(yōu)精度；利用柯西變異算子對食物源進(jìn)行隨機(jī)擾動，在一定程度上增強(qiáng)了種群多樣性，降低了算法陷入局部最優(yōu)的幾率，但是，該策略并不能保證變異后的個體優(yōu)于原個體，因此，為了進(jìn)一步提升算法收斂精度，AGHSSA在混合變異完成后將依據(jù)貪婪原則決定是否更新食物源位置，即當(dāng)變異后個體的適應(yīng)度優(yōu)于原個體時，才對食物源進(jìn)行位置更新，否則保留原食物源位置信息。

2.4 算法描述

AGHSSA算法的具體執(zhí)行步驟如下：

步驟1設(shè)置種群規(guī)模N，迭代次數(shù)Tmax，問題維度D，權(quán)重因子初始值w s，最終值w f。

步驟2初始化樽海鞘群，計(jì)算種群內(nèi)每個個體的適應(yīng)度值并排序，記錄當(dāng)前最優(yōu)個體的位置及其適應(yīng)度值，將其作為食物源。

步驟3更新領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者位置。生成隨機(jī)數(shù)R1、R2，根據(jù)式（6）更新權(quán)重因子w，選取種群中前一半樽海鞘個體按式（11）更新領(lǐng)導(dǎo)者位置，另一半個體按式（5）更新追隨者位置。

步驟4計(jì)算更新后種群的適應(yīng)度值，并更新食物源位置。

步驟5混合變異。生成隨機(jī)數(shù)k、R3，按式（14）計(jì)算種群重心M，通過式（20）對步驟4得到的解（食物源）進(jìn)行變異產(chǎn)生一個新解，并用目標(biāo)函數(shù)對得到的新解進(jìn)行估，如果新解的適應(yīng)度值比原解更好，則用新解代替原來的解，否則保留原解。

步驟6重復(fù)步驟3～5，如果達(dá)到最大迭代次數(shù)，則終止算法，輸出全局最優(yōu)解。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境

本仿真實(shí)驗(yàn)基于Intel?CoreTMi5-9300H CPU，2.4 GHz主頻以及Windows 10操作系統(tǒng)，仿真軟件是Matlab R2018a。

3.2 測試函數(shù)

為了檢驗(yàn)算法性能，本文選取了如表1所示的12個基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行測試，其中F1～F6是單峰函數(shù)，用于檢測算法的收斂速度，F(xiàn)7～F12是多峰函數(shù)，具有多個局部最優(yōu)點(diǎn)，用于評估算法的搜索和開發(fā)能力。

3.3 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

本文選取了基本樽海鞘群算法（SSA）[6]、文獻(xiàn)[9]中的改進(jìn)SSA算法（CSSA1）、文獻(xiàn)[12]中的改進(jìn)SSA算法（CESSA）、基本鯨魚算法（WOA）[21]、基本蝴蝶優(yōu)化算法（BOA）[22]與本文算法AGHSSA進(jìn)行對比，為體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的公平性，將所有算法的種群規(guī)模設(shè)置為40，最大迭代次數(shù)為1 000，其余各算法的具體參數(shù)設(shè)置與相應(yīng)的文獻(xiàn)一致。另外，AGHSSA中兩個參數(shù)w s與w f的不同取值將會對算法的尋優(yōu)能力產(chǎn)生重大影響，由2.1節(jié)的分析已經(jīng)得知，w s與w f應(yīng)位于(0,0.5]區(qū)間內(nèi)，由于權(quán)重因子w是遞減的，因此w f應(yīng)始終小于等于w s，且由文獻(xiàn)[23]可知，當(dāng)權(quán)重過小時有可能導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)，影響算法尋優(yōu)效率，因此本文算法取權(quán)重因子變化步長為0.1。當(dāng)w s取0.5時，w f可取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，將其記為第一組；當(dāng)w s取0.4時，w f可取0.1、0.2、0.3、0.4，將其記為第二組；依此類推，當(dāng)w s取0.3時，w f可取0.1、0.2、0.3，將其記為第三組；當(dāng)w s取0.2時，w f可取0.1、0.2，將其記為第四組；當(dāng)w s取0.1時，w f僅可取0.1，將其記為第五組；為比較不同的w s與w f取值對于算法性能的影響，將每一組w s與w f應(yīng)用于AGHSSA算法，并在10維的測試函數(shù)F2、F4、F12上進(jìn)行測試，記錄不同權(quán)重取值的AGHSSA算法獨(dú)立運(yùn)行30次的尋優(yōu)結(jié)果，比較其最優(yōu)值，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較多，文章篇幅有限，本文僅給出了每一組中收斂結(jié)果最好的w s與w f取值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表1 基準(zhǔn)測試函數(shù)

表2 w s與w f不同取值的AGHSSA算法尋優(yōu)結(jié)果

由表2可以明顯看出，對于所選的3個測試函數(shù)，當(dāng)w s取0.5，w f取0.1時，算法的3項(xiàng)評估指標(biāo)均為最優(yōu)，以函數(shù)F12為例，w s取0.5，w f取0.1時，AGHSSA算法的最高收斂精度達(dá)到了1E－321，相較于其他組中不同w s與w f取值的算法提高了1～9個數(shù)量級，且其平均收斂精度達(dá)到了1E－287，相較于其他取值的AGHSSA算法提高了2～10個數(shù)量級。綜上可知，當(dāng)w s取0.5，w f取0.1時，算法的收斂性能最佳，因此，本文算法取權(quán)重因子初始值w s為0.5，最終值w f為0.1。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文將從以下5個方面對AGHSSA算法進(jìn)行性能評估：

（1）與基本SSA算法和其他新型群智能優(yōu)化算法進(jìn)行對比，驗(yàn)證本文算法的有效性。

（2）對不同的改進(jìn)策略進(jìn)行性能測試，驗(yàn)證各策略的有效性。

（3）與其他較新的改進(jìn)SSA算法進(jìn)行對比，證明本文算法具有一定的競爭力。

（4）對各算法進(jìn)行秩和檢驗(yàn)與MAE排序，進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的可靠性和優(yōu)越性。

（5）分析本文算法的時間復(fù)雜度以評估AGHSSA的運(yùn)行時間成本。

3.4.1 與其他群智能優(yōu)化算法的性能對比

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，將AGHSSA與基本SSA算法和文獻(xiàn)[21-22]中的新型群智能優(yōu)化算法在表1所示的測試函數(shù)上（維度為30）進(jìn)行對比，記錄各算法獨(dú)立運(yùn)行30次結(jié)果的最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示，其中粗體部分表示尋優(yōu)結(jié)果最好的算法。

表3 與新型智能優(yōu)化算法對比（30維）

由表3可知，對于所選測試函數(shù)，本文算法的尋優(yōu)能力明顯優(yōu)于其他3種對比算法。相比于基本SSA算法，AGHSSA在函數(shù)F1、F3、F5、F7、F8、F9、F11上的3項(xiàng)評估指標(biāo)都達(dá)到了理論最優(yōu)值0，算法尋優(yōu)成功率達(dá)到了100%，而基本SSA算法在所有測試函數(shù)上的尋優(yōu)精度均未能達(dá)到0，雖然在其他的5個測試函數(shù)上AGHSSA無法收斂到理論最優(yōu)值，但其收斂結(jié)果仍然遠(yuǎn)優(yōu)于基本SSA算法，以函數(shù)F2為例，基本SSA的平均收斂精度為1E-01，而AGHSSA的平均收斂精度則達(dá)到了1E-272，相較于SSA算法提升了271個數(shù)量級，說明了本文所提出的改進(jìn)策略可以有效提升基本SSA算法的收斂精度；相比于較新的BOA、WOA算法，AGHSSA仍然具有更好的尋優(yōu)能力。對于BOA、WOA算法能夠收斂到理論最優(yōu)值的函數(shù)F5、F7、F9、F11而言，AGHSSA也能夠?qū)ふ业嚼碚撟顑?yōu)值，對于它們無法收斂到理論最優(yōu)值的函數(shù)F1、F3、F8，AGHSSA仍可以收斂到理論最優(yōu)值，并且在其他測試函數(shù)上，AGHSSA均取得了最優(yōu)的收斂結(jié)果，例如對于函數(shù)F12，AGHSSA相比于BOA、WOA算法分別提升了254、164個平均收斂精度，算法性能提升顯著。除此之外，AGHSSA在除F6以外的所有測試函數(shù)上的標(biāo)準(zhǔn)差均為0，而SSA算法在所有函數(shù)上的標(biāo)準(zhǔn)差均不為0，證明了所提出的改進(jìn)策略能夠大幅提升SSA算法的穩(wěn)定性。

通過以上分析可知，本文算法在低維函數(shù)上展現(xiàn)出了較強(qiáng)的尋優(yōu)能力，但是一般算法在求解高維復(fù)雜函數(shù)問題時極易失效，而大部分實(shí)際優(yōu)化問題都是大規(guī)模的復(fù)雜優(yōu)化問題，因此，為了證明本文算法的實(shí)用性，將AGHSSA與基本BOA、WOA、SSA算法在200維的測試函數(shù)上進(jìn)行對比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示，因F7是固定低維函數(shù)，故不對其進(jìn)行高維測試。

表4 與其他智能優(yōu)化算法對比（200維）

對比表3、表4信息可知，隨著函數(shù)維度的上升，WOA算法在大部分測試函數(shù)上的收斂精度均有著不同程度的波動，BOA算法比較穩(wěn)定，但其在200維的函數(shù)F2上失效，而基本SSA算法的尋優(yōu)精度則有著明顯的下降，以函數(shù)F1為例，SSA的30維平均收斂精度為1E-09，當(dāng)維度上升到200時，其精度銳減到了1E+03，說明基本SSA算法在高維函數(shù)上的尋優(yōu)能力較差。AGHSSA算法在求解高維測試函數(shù)的優(yōu)化問題時仍然表現(xiàn)出了良好的尋優(yōu)能力，對于函數(shù)F1、F3、F5、F8、F9、F11，AGHSSA的3項(xiàng)評估指標(biāo)仍然達(dá)到了0，雖然在F2、F4、F12上，AGHSSA的平均收斂精度有著略微的下降，但是對于另外的8個測試函數(shù)，其尋優(yōu)精度和標(biāo)準(zhǔn)差沒有隨著維度的改變而改變，可知本文算法具有較強(qiáng)的魯棒性。

為了更直接地觀察出AGHSSA的收斂趨勢，圖2給出了AGHSSA和對比算法在測試函數(shù)F1、F2、F3、F5、F8、F9、F10、F11上的收斂曲線圖，為便于觀察，本文實(shí)驗(yàn)對適應(yīng)度值取以10為底的對數(shù)。觀察圖2可知，基本BOA算法和SSA算法的收斂速度十分緩慢，且在迭代過程中兩者均出現(xiàn)了不同程度的停滯，極易陷入局部最優(yōu)值。由圖2（a）～（d）所示的單峰函數(shù)F1、F2、F3、F5的收斂曲線可以看出，AGHSSA的收斂曲線幾乎是線性遞減的，極少出現(xiàn)停滯，由此認(rèn)為本文所提出的改進(jìn)策略可以有效提升算法收斂速度；觀察多峰函數(shù)F8、F9、F10、F11的收斂曲線（圖2（e）～（h））可知，AGHSSA的收斂曲線下降很快且在函數(shù)F10上的曲線有拐點(diǎn)出現(xiàn)，證明所提出的改進(jìn)策略可以有效提升SSA算法的全局搜索和局部開發(fā)能力，并且具備較強(qiáng)的跳出局部最優(yōu)的能力。此外，不論是對于單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)優(yōu)化問題，AGHSSA的收斂效率都是最高的，以函數(shù)F11為例，如圖2（h）所示，AGHSSA在第20次迭代左右就已經(jīng)收斂到了理論最優(yōu)值，而基本BOA算法在迭代次數(shù)達(dá)到最大時仍然沒有達(dá)到收斂狀態(tài)，SSA算法雖然能夠達(dá)到收斂狀態(tài)，但它的收斂精度遠(yuǎn)低于AGHSSA算法，優(yōu)化效果較好的WOA算法雖然能夠收斂到理論最優(yōu)值，但其收斂于第300代左右，是AGHSSA的15倍。

綜上可知，本文所提出的改進(jìn)策略可以顯著提升SSA算法的尋優(yōu)能力，在求解高維問題時仍然有著不俗的尋優(yōu)表現(xiàn)，算法具有一定實(shí)用價值，且相比于其他較新的群智能優(yōu)化算法仍然具有較強(qiáng)的競爭力。

3.4.2 驗(yàn)證改進(jìn)策略的有效性

為比較不同改進(jìn)策略對算法性能的影響，將AGHSSA算法與僅采用精英引導(dǎo)自適應(yīng)權(quán)重策略改進(jìn)的SSA算法（SSA-1），僅采用黃金正弦領(lǐng)導(dǎo)策略改進(jìn)的算法（SSA-2）以及僅采用混合鄰域重心反向?qū)W習(xí)與柯西變異策略改進(jìn)的算法（SSA-3）在表1所示的測試函數(shù)上進(jìn)行對比，本節(jié)實(shí)驗(yàn)中的公有參數(shù)設(shè)置與3.2節(jié)完全相同，表5為對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖3為三種改進(jìn)策略在單峰函數(shù)F2、F3，多峰函數(shù)F8、F10上的收斂曲線圖。

圖2 算法收斂曲線

由表5和圖3可知，在這三種改進(jìn)策略中，采用黃金正弦領(lǐng)導(dǎo)策略的SSA-2對算法的性能提升最大，采用精英引導(dǎo)自適應(yīng)權(quán)重策略的SSA-1次之，SSA-3的尋優(yōu)精度雖然提升不是很大，但由圖3（d）可知，在求解多峰函數(shù)F10的優(yōu)化問題時，其收斂曲線在第300次迭代左右出現(xiàn)了轉(zhuǎn)折，圖4給出了SSA、SSA-3在函數(shù)F10上第300次迭代時的個體分布圖，因30維空間難以展示，本文僅給出了二維空間中SSA和SSA-3算法的個體分布圖，分別如圖4（a）、圖4（b）所示，由圖4（a）和圖4（b）可以明顯看出，在第300次迭代時，引入了混合重心反向?qū)W習(xí)和柯西變異策略的SSA-3算法的種群分布相比于基本SSA算法范圍更廣，分布更均勻，說明了混合變異策略可以有效增強(qiáng)種群的多樣性，并且能夠在一定程度上提升算法跳出局部最優(yōu)的能力?？傮w來看，相比于基本SSA算法，三種改進(jìn)策略算法的收斂精度均有著不同程度的提升，說明了改進(jìn)策略是有效的。然而，盡管這三種改進(jìn)策略均在一定程度上提升了SSA的尋優(yōu)能力，但是，僅采用單一策略改進(jìn)的SSA算法與結(jié)合了三種改進(jìn)策略的AGHSSA算法相比仍有較大差距。以函數(shù)F12和F10為例，AGHSSA算法在函數(shù)F12上的平均收斂精度相較于SSA-1、SSA-2、SSA-3分別提升了242、222、260個數(shù)量級，并且觀察圖3（d）可知，在求解函數(shù)F10的優(yōu)化問題時，AGHSSA在第80次迭代左右就已經(jīng)收斂，而三種改進(jìn)策略中收斂效果最好的SSA-2收斂于第360代左右，可知AGHSSA的收斂速度與精度都要優(yōu)于僅使用單一策略改進(jìn)的SSA算法，進(jìn)而驗(yàn)證了本文采用混合策略的合理性。

3.4.3 與其他改進(jìn)算法的對比

為比較本文算法與其他改進(jìn)算法的性能優(yōu)劣，將AGHSSA與較新的改進(jìn)樽海鞘群算法CSSA1[9]和CESSA[12]進(jìn)行對比，本節(jié)實(shí)驗(yàn)中，表1中除F7以外的所有測試函數(shù)的維度設(shè)置為10，種群規(guī)模為50，最大迭代次數(shù)為500，與參考文獻(xiàn)相同，CSSA1和CESSA的數(shù)據(jù)直接引用于文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[12]，如表6所示。

表5 不同改進(jìn)策略對比

圖3 不同改進(jìn)策略算法收斂曲線

圖4 SSA和SSA-3算法個體分布圖

表6 與其他改進(jìn)SSA算法對比

由表6可知，CESSA作為較新的改進(jìn)SSA算法，其在所有測試函數(shù)上的收斂結(jié)果均優(yōu)于CSSA1算法，然而，對于CESSA算法能夠收斂到理論最優(yōu)值的函數(shù)F7、F9、F11而言，本文算法也能取得同樣的收斂結(jié)果，對于CESSA無法收斂到0的函數(shù)F5，本文算法仍然能夠?qū)ふ业嚼碚撟顑?yōu)值，此外，除了在函數(shù)F6上，AGHSSA的尋優(yōu)結(jié)果要略差于CESSA之外，本文算法在其他測試函數(shù)上的收斂結(jié)果都要遠(yuǎn)優(yōu)于對比算法，以函數(shù)F1為例，AGHSSA的平均收斂精度相較于CESSA、CSSA1分別提升了246、262個數(shù)量級，且AGHSSA在除F2、F4、F6、F12以外的所有測試函數(shù)上的標(biāo)準(zhǔn)差均為0，而對比算法中僅CESSA在函數(shù)F7、F9、F11上的標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到了0，可知本文算法的穩(wěn)定性同樣優(yōu)于對比算法。由此可以得出結(jié)論，相比于部分新型改進(jìn)SSA算法，本文算法仍具有較強(qiáng)的競爭優(yōu)勢。

3.4.4 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)與MAE排序

算法運(yùn)行30次的結(jié)果通常不會與每一次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，僅以最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為評價依據(jù)是不充分的，為了驗(yàn)證本文算法的可靠性和優(yōu)越性，在本節(jié)中對AGHSSA、BOA、WOA、SSA算法在表1所示的12個測試函數(shù)上進(jìn)行了顯著性水平為5%的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，本節(jié)實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置與3.4.1小節(jié)相同，表7記錄了各算法秩和檢驗(yàn)計(jì)算的p值，如最佳算法是AGHSSA，則在AGHSSA/BOA、AGHSSA/WOA、AGHSSA/SSA之間進(jìn)行成對比較，因最佳算法無法與自身進(jìn)行比較，故將最佳算法標(biāo)記為N/A，表示“不適用”，說明相應(yīng)的算法在秩和檢驗(yàn)過程中沒有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與自身比較。當(dāng)秩和檢驗(yàn)的p值小于0.05時，說明兩種對比算法具有顯著性差異，否則說明兩種算法的尋優(yōu)結(jié)果在整體上是相同的[24]。

觀察表7可知，AGHSSA在所有秩和檢驗(yàn)過程中計(jì)算的p值均小于0.05，其中N/A是因?yàn)閷Ρ人惴ê虯GHSSA在函數(shù)F5、F9、F11上的30次尋優(yōu)結(jié)果均為0，所以該統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)不適用，說明本文算法的優(yōu)越性在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，即認(rèn)為AGHSSA相對于其他對比算法具有更好的尋優(yōu)能力。

表7 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果

文獻(xiàn)[25]指出平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）是一種有效的性能指標(biāo)，可用于對優(yōu)化算法進(jìn)行排序。為了進(jìn)一步評估算法性能，本文對各算法基于表1的測試函數(shù)進(jìn)行了MAE排序，MAE計(jì)算公式如下：

其中，mi為算法取得的最優(yōu)解的平均值，oi為相應(yīng)的基準(zhǔn)測試函數(shù)的理論最優(yōu)值，N f為基準(zhǔn)測試函數(shù)個數(shù)。各算法的MAE排序如表8所示。

表8 算法MAE排名

由表8可知，AGHSSA算法具有最小的MAE，算法排名第1，從而進(jìn)一步表明了本文算法的優(yōu)越性。

3.4.5 改進(jìn)算法的時間復(fù)雜度分析

設(shè)樽海鞘種群規(guī)模為N，迭代次數(shù)最大為Tmax，問題維度為D，依據(jù)2.4節(jié)對AGHSSA算法的描述對改進(jìn)算法的時間復(fù)雜度進(jìn)行分析，算法隨機(jī)初始化種群和找到當(dāng)前最優(yōu)位置（食物源）的時間復(fù)雜度均為O(N?D)，挑選精英個體的時間復(fù)雜度為O(N?D)，引入自適應(yīng)權(quán)重因子對追隨者進(jìn)行位置更新的時間復(fù)雜度為O(Tmax?N?D)，引入黃金正弦算法對領(lǐng)導(dǎo)者進(jìn)行位置更新的時間復(fù)雜度為O(N?D)，融合鄰域重心反向?qū)W習(xí)和柯西變異對食物源位置進(jìn)行擾動的時間復(fù)雜度為O(N?D)，AGHSSA算法的總的時間復(fù)雜度為O(Tmax?N?D)，與基本SSA算法的時間復(fù)雜度相同，并未增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。

綜上所述，本文所提出的結(jié)合三種改進(jìn)策略的AGHSSA算法能夠在不增加算法時間復(fù)雜度的情況下顯著提升基本SSA算法的尋優(yōu)能力，并且無論對于單峰或多峰，低維或高維函數(shù)的優(yōu)化問題，本文算法均取得了最優(yōu)的收斂結(jié)果，與部分新型群智能優(yōu)化算法和改進(jìn)SSA算法相比，仍然具有較強(qiáng)的競爭力。

4 結(jié)束語

本文針對基本SSA算法在求解高維復(fù)雜函數(shù)時存在的尋優(yōu)效率低，易陷入局部最優(yōu)等問題，提出了一種融合黃金正弦混合變異的自適應(yīng)樽海鞘群優(yōu)化算法。改進(jìn)算法在基本SSA算法的追隨者位置更新處引入了精英引導(dǎo)和自適應(yīng)變化的權(quán)重的思想，通過對精英個體和非精英個體賦予不同的權(quán)重因子，使精英個體能夠充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，從而避免出現(xiàn)追隨者因盲目跟隨先前個體而錯過更好位置的情況，提升了算法的尋優(yōu)速度與精度；引入黃金正弦算法對領(lǐng)導(dǎo)者的位置更新方式進(jìn)行優(yōu)化，利用黃金正弦算法較強(qiáng)的遍歷能力和尋優(yōu)能力提升了樽海鞘群算法的全局搜索和局部開發(fā)能力；引入混合鄰域重心反向?qū)W習(xí)和柯西變異策略對食物源進(jìn)行動態(tài)隨機(jī)擾動，增強(qiáng)了算法在迭代后期跳出局部最優(yōu)的能力。將本文算法與三種新型群智能優(yōu)化算法和不同改進(jìn)策略的算法以及兩種較新的改進(jìn)的SSA算法在12個測試函數(shù)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比，結(jié)果表明，本文所提出的改進(jìn)策略能夠在不增加算法時間復(fù)雜度的情況下顯著提升算法性能，與其他新型群智能優(yōu)化算法和改進(jìn)算法相比仍然具有一定的競爭優(yōu)勢，且本文算法在求解低維和高維函數(shù)、單峰函數(shù)和多峰函數(shù)優(yōu)化問題時均表現(xiàn)出了良好的尋優(yōu)性能，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價值。接下來的研究重點(diǎn)是將所提出的算法應(yīng)用到實(shí)際工程領(lǐng)域中。