李 陳

(中聯(lián)煤層氣有限責(zé)任公司，北京 100015)

0 引 言

目前，主要通過Langmuir方程和Fick擴(kuò)散定律來描述煤層氣吸附、解吸及擴(kuò)散過程[1-2]。在天然裂縫中的滲流是基于Warren-Root等人提出的雙重介質(zhì)模型[3-4]。李陳[5]等通過定義新的擬時間函數(shù)來描述煤層開采過程中的基質(zhì)收縮效應(yīng)，使得算法的精度和速度達(dá)到商業(yè)軟件的應(yīng)用需求。張先敏[6]等建立了低滲透煤層氣有限導(dǎo)流裂縫井模型，得出在低滲透情況下直井的壓力變化規(guī)律。郭濤等分別研究評價了分層合采、壓裂水平井等不同開發(fā)模式下的產(chǎn)能評價以及影響因素[7-11]。Nie[12]、趙玉龍[13]等人得到了含有人工裂縫的產(chǎn)能評價模型并分析了各流動階段壓力、產(chǎn)量變化情況。

煤層氣藏地應(yīng)力分布復(fù)雜，裂縫延伸方向和延伸長度多變，且兩翼裂縫長度往往不一致。受煤層較軟的影響，裂縫導(dǎo)流因子不會很大，裂縫產(chǎn)能評價需要考慮水力裂縫非對稱性帶來的影響。該文通過對物質(zhì)平衡方程的優(yōu)化，得到非對稱裂縫產(chǎn)能評價解析解模型，該研究對煤層氣藏產(chǎn)能評價和高效開發(fā)具有指導(dǎo)意義。

1 物理模型

氣藏中一口壓裂直井，壓裂裂縫兩翼不對稱，裂縫為有限導(dǎo)流裂縫，氣藏為恒溫氣藏，垂直方向上不發(fā)生流動，裂縫貫穿整個氣層，生產(chǎn)條件為定壓生產(chǎn)或定產(chǎn)生產(chǎn)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 天然裂縫系統(tǒng)滲流數(shù)學(xué)模型

定義擬壓力函數(shù)[14]：

(1)

定義新的擬時間函數(shù)：

(2)

(3)

天然裂縫物質(zhì)平衡方程可表示為[5]：

(4)

將各變量無因次化：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：qfD為無因次裂縫流量；xf為裂縫半長，m；qf為裂縫流量，m3/d；qsc為標(biāo)準(zhǔn)狀況下流量，m3/d；xD為x方向無因次長度；x為x方向長度,m；yD為y方向無因次長度；y為y方向長度，m；pfD為裂縫無因次壓力；pic為標(biāo)準(zhǔn)狀況下地層壓力，MPa；pf為裂縫壓力，MPa；qD為無因次產(chǎn)量；h為地層厚度，m。

通過定義新的擬時間函數(shù)及變量無因次化，由邊界條件和初始條件，得到式(4)的解：

(10)

(11)

2.2 水力裂縫流動數(shù)學(xué)模型

定義裂縫偏心因子為：

(12)

式中：θ為裂縫偏心因子；xw為裂縫偏離裂縫中心的距離，m。

無因次化后，裂縫的滲流控制方程為：

(13)

式中：CfD為裂縫無因次導(dǎo)流能力；pD為無因次地層壓力；δ(xD-θ)為狄拉克函數(shù)。

結(jié)合邊界條件，式(13)在Laplace空間中的解為：

(14)

為了得到井底流壓解析解，需要耦合水力裂縫流動數(shù)學(xué)模型和天然裂縫系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，聯(lián)立式(10)、(11)、(14)得：

(15)

流量歸一化方程：

(16)

3 歷史擬合

在理論解析解求解過程中，需要將生產(chǎn)條件作為方程的定解條件，必須為穩(wěn)定生產(chǎn)才能夠滿足方程求解需求。但在實際的生產(chǎn)過程中，井底流壓或產(chǎn)量通常是變化的，需利用Duhamel褶積對變化的產(chǎn)量或壓力進(jìn)行疊加，得到變產(chǎn)或變壓條件下的理論解析解，進(jìn)而可以實現(xiàn)理論數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的歷史擬合，最終在擬合的基礎(chǔ)上實現(xiàn)產(chǎn)能評價和產(chǎn)量預(yù)測。

變壓求產(chǎn)過程與變產(chǎn)求壓的區(qū)別是變壓求產(chǎn)時其產(chǎn)量為未知量，因此，需要先假設(shè)一個產(chǎn)量來計算平均壓力，在計算過程中不斷通過迭代計算來對產(chǎn)量進(jìn)行修正。

4 結(jié)果分析

4.1 準(zhǔn)確性驗證

為驗證文中模型的準(zhǔn)確性，選擇與煤層氣藏解析解經(jīng)典文獻(xiàn)(Anbarci，1990)[2]進(jìn)行對比，原文獻(xiàn)為無限大氣藏?zé)o限導(dǎo)流裂縫，其裂縫為對稱裂縫。文中選取無因次邊界xed=10 000，yed=10 000，θ=0.0，CfD=10 000，可近似為Anbarci模型。為了與經(jīng)典文獻(xiàn)進(jìn)行對比，所有參數(shù)量綱與對比文獻(xiàn)一致，其中：弛豫時間為13 708 d，黏度為0.010 82 mPa·s，溫度為294 K，標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的流量為5 663 m3/d，原始地層壓力為3.1 MPa，孔隙度為0.01，井筒半徑為0.15 m，綜合壓縮系數(shù)為1.5×10-5MPa-1，朗格繆爾體積為18.6 m3/m3，天然裂隙系統(tǒng)滲透率為26 mD，煤層厚度為1.83 m。圖1為文中模型解析解與Anbarci解析解及數(shù)值解的對比。

圖1 文中模型解析解與Anbarci解析解及數(shù)值解的對比Fig.1 The comparison of the analytical solution of the model in thispaper with Anbarci analytical solution and numerical solution

由圖1可知，文中模型解析解與數(shù)值解的擬合誤差要小于Anbarci與數(shù)值解的擬合誤差，在壓力分析中文中模型解析解更加準(zhǔn)確，而Anbarci解析解計算結(jié)果偏小。

4.2 流動階段劃分

煤層氣藏非對稱水力裂縫直井滲流狀態(tài)可以劃分為6個流動階段(圖2)。圖中σ為速率常數(shù)，σ=1 000，ω為裂隙系統(tǒng)存儲系數(shù)，ω=0.5，λ為裂隙系統(tǒng)竄流系數(shù)，λ=100，red為無因次邊界長度，red=100，tD為無因次生產(chǎn)時間，CD為無因次井筒存儲系數(shù)，ΨwD為無因次擬井底流壓，ΨwD′為Laplace空間中無因次擬井底流壓。

圖2 煤層氣藏壓裂直井不同流動階段壓力響應(yīng)Fig.2 The pressure response at different flow stages offractured vertical well in coalbed methane reservoir

(1) 井筒儲集階段(圖2中①)。該階段主要反映早期井筒儲集效應(yīng)的影響，無因次擬井底流壓和無因次擬井底流壓導(dǎo)數(shù)均為直線，且2條直線斜率均為1。

(2) 井筒儲集過渡階段(圖2中②)。該階段井筒儲集效應(yīng)逐漸減弱，氣藏中的氣體逐漸流向井筒，擬壓力主要受到氣藏和井儲效應(yīng)的影響，無因次擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線逐漸降低。

(3) 天然裂縫到水力裂縫的線性滲流階段(圖2中③)。該階段可以進(jìn)一步細(xì)分為2個階段：雙線性流階段和線性流階段。從雙線性流階段過渡到線性流階段的過程中，無因次擬壓力導(dǎo)數(shù)的斜率由1/4過渡到1/2。裂縫的導(dǎo)流能力決定了雙線性滲流階段的長度，一般情況下，裂縫的導(dǎo)流能力越大，雙線性流階段持續(xù)的時間越長。由于無因次擬壓力在該階段只有輕微的降低，因此，基質(zhì)的解吸現(xiàn)象不明顯。

(4) 基質(zhì)解吸、氣體擴(kuò)散作用階段(圖2中④)。隨著擬壓力的進(jìn)一步降低，解吸現(xiàn)象變得越來越明顯。該階段吸附氣逐漸通過解吸附從基質(zhì)中解吸出來變?yōu)樽杂蓺?，使基質(zhì)周圍的氣體濃度增加，氣體通過擴(kuò)散作用進(jìn)入天然裂縫系統(tǒng)。無因次擬壓力導(dǎo)數(shù)呈現(xiàn)“V”字型?！癡”字型的深度和持續(xù)時間由井筒存儲系數(shù)、儲容系數(shù)、解吸系數(shù)以及竄流系數(shù)決定。該階段也是煤層氣、頁巖氣等具有吸附解吸現(xiàn)象氣藏的特征階段。

(5) 擬徑向流動階段(圖2中⑤)。該階段氣體從基質(zhì)中解吸出來擴(kuò)散到天然裂縫系統(tǒng)，這一過程與氣體從天然裂縫流入人工裂縫系統(tǒng)的過程達(dá)到動態(tài)平衡，擬壓力的下降速率變小。

(6) 邊界控制流階段(圖2中⑥)。在有邊界的氣藏模型中，壓力波到達(dá)邊界后，對于恒壓邊界氣藏而言，由于邊界能量供應(yīng)充足，壓力較快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；對于封閉邊界系統(tǒng)，壓力系統(tǒng)達(dá)到擬穩(wěn)定狀態(tài)。

4.3 裂縫非對稱程度影響分析

裂縫兩翼非對稱程度不同，井底流壓反應(yīng)不同。圖3為非對稱裂縫的無因次壓力變化情況。

圖3 裂縫兩翼非對稱程度不同壓力曲線Fig.3 The pressure curves at different asymmetricdegree on two wings of fracture

由圖3可知，當(dāng)θ=1.0時，表示裂縫完全在井的一邊，為單翼裂縫；當(dāng)θ=0.5時，表示井在裂縫的3/4處；當(dāng)θ=0.0時，表示井在裂縫中心處，為對稱裂縫。

由圖3可知：在相同產(chǎn)量的情況下，對稱裂縫的壓降要小于非對稱裂縫，因為在氣體生產(chǎn)過程中，氣體在非對稱裂縫中的滲流阻力較大，消耗能量較多，地層能量利用率較低，自然產(chǎn)收率較低，因此，最佳的裂縫形態(tài)為中心對稱裂縫。

圖4為不同導(dǎo)流能力下井底流壓變化情況。由圖4可知，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力越大時，裂縫非對稱性對井底流壓影響越小。一方面，水力裂縫的導(dǎo)流能力遠(yuǎn)大于天然裂縫，氣體在裂縫中滲流所消耗的能量比在天然裂縫中小得多，天然裂縫系統(tǒng)是決定能量消耗的主體；另一方面，水力裂縫容易提供一個通暢的流通路徑，以滿足天然裂縫中滲流出來的氣體在其中滲流。裂縫的導(dǎo)流能力越小，裂縫非對稱性所帶來的差異越大。對于煤層氣藏，由于煤儲層較軟，其水力裂縫導(dǎo)流能力通常較差，非對稱性裂縫對井底流壓影響較大。因此，對稱裂縫為地層能量利用率最高的裂縫，在煤層氣藏儲層改造過程中，應(yīng)盡可能壓裂形成對稱裂縫以降低氣體滲流的能量消耗。生產(chǎn)后期，對稱性不同、導(dǎo)流能力相同的裂縫無因次井底流壓逐漸重合，表明非對稱性對產(chǎn)能評價的影響主要發(fā)生在生產(chǎn)前期。

圖4 不同導(dǎo)流能力下井底流壓變化情況Fig.4 The variations of downhole flow pressure at different conductivity

5 現(xiàn)場實例

沁水盆地A區(qū)塊Well1—Well4井位于西山煤田中北部古交礦區(qū)，屬于晉中斷陷，區(qū)塊構(gòu)造相對簡單，斷層發(fā)育較少，地層穩(wěn)定，但受后期構(gòu)造運動影響，該區(qū)域一個向斜構(gòu)造核部擠壓形成一個“鼻狀”構(gòu)造，導(dǎo)致附近地層應(yīng)力分布不規(guī)則，微地震監(jiān)測顯示水力裂縫兩翼的長度不一致。通過壓裂模擬及試井分析研究發(fā)現(xiàn)，裂縫導(dǎo)流能力較差，改造措施效果不理想，常規(guī)模型產(chǎn)能評價時歷史擬合效果較差。根據(jù)裂縫延伸效果，需要采用非對稱裂縫模型進(jìn)行產(chǎn)能評價。以Well1井為例，考慮裂縫非對稱性對其井底流壓和產(chǎn)氣量進(jìn)行歷史擬合(圖5)，擬合誤差明顯降低，尤其是當(dāng)裂縫導(dǎo)流因子較小時，裂縫偏心因子的引入可以更好地改善擬合效果。表1為Well1—Well 4井壓力、產(chǎn)量歷史擬合誤差情況。由表1可知，該區(qū)塊4口井壓力擬合誤差由31.0%降至7.0%，日產(chǎn)氣量擬合誤差由20.0%降至6.5%，4口井平均偏心因子為0.225，在水力壓裂實施的過程中，裂縫非對稱性較為嚴(yán)重，平均裂縫導(dǎo)流因子為65，相比于常規(guī)氣藏及其他頁巖氣藏，裂縫導(dǎo)流能力較弱。

圖5 Well1井底流壓、產(chǎn)氣量歷史擬合Fig.5 The history fitting of downhole pressure and gas production of Well 1

表1 井底流壓、產(chǎn)量歷史擬合誤差Table 1 The error of history fitting of downhole pressure and gas production

6 結(jié) 論

(1) 建立了考慮裂縫非對稱性的產(chǎn)能評價模型，通過Duhamel褶積，解決了變流壓生產(chǎn)或者變產(chǎn)量生產(chǎn)問題，達(dá)到了解析解模型與歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合的目的。

(2) 對稱裂縫為地層能量利用率最高的裂縫，裂縫的非對稱性對單井產(chǎn)能的影響程度會隨著裂縫導(dǎo)流能力的降低而增加，影響主要發(fā)生在生產(chǎn)前期。

(3) 沁水盆地A區(qū)Well1—Well4井水力裂縫非對稱性較強(裂縫平均偏心因子達(dá)到0.225)、導(dǎo)流能力較弱(平均裂縫導(dǎo)流因子為65)，考慮裂縫非對稱性能夠明顯改善擬合效果，壓力擬合誤差由31.0%降至7.0%，日產(chǎn)氣量擬合誤差由20.0%降至6.5%，有效提高了預(yù)測精度。