丁云

在中考中，四邊形與三角形的綜合運(yùn)用題讓很多同學(xué)望而卻步。以四邊形的知識為背景的題型很多，同學(xué)們在解題的過程中也容易出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。下面，老師選取一些典型例題進(jìn)行分析，希望能夠幫助大家對四邊形有進(jìn)一步的認(rèn)識。

一、忽視分類，造成漏解

例1 在? ABCD中，AD=2，AE平分∠DAB

交CD于點(diǎn)E，BF平分∠ABC交CD于點(diǎn)F。若EF=1，則? ABCD的周長為。

【錯(cuò)解】10。

【錯(cuò)因分析】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)。我們要特別注意，如果有平行線與角平分線，一般會存在等腰三角形。解題時(shí)還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。本題根據(jù)題意可以作出兩種不同的圖形，所以答案有兩種情況，錯(cuò)解就是丟掉了一種情況。

【正解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，BC=AD=2，AB=CD，

∴∠EAB=∠AED，∠ABF=∠BFC。

∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，

∴∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF，

∴∠AED=∠DAE，∠BFC=∠CBF，

∴AD=DE，BC=FC，

∴DE=CF=AD=2。

由圖1得CD=DE+CF-EF=2+2-1=3，

∴?ABCD的周長為10。

由圖2得CD=DE+CF+EF=2+2+1=5，

∴?ABCD的周長為14。

∴?ABCD的周長為10或14。

二、知識混用，形成錯(cuò)解

例2 如圖3，在? ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是。（把所有正確結(jié)論的序號填在橫線上。）

①∠DCF=[12]∠BCD;②EF=CF;

③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF。

【錯(cuò)解】①②。

【錯(cuò)因分析】此題①②較為常規(guī)，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識。延長EF、CD交于點(diǎn)M，得出△AEF≌△DMF是解題關(guān)鍵。本題做錯(cuò)是由于不能靈活運(yùn)用平行四邊形與三角形的相關(guān)知識，因此，添加適當(dāng)?shù)妮o助線也是解決本題的關(guān)鍵。

【正解】①②④。

設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°-x，

∴∠EFC=180°-2x，

∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x。

∵∠AEF=90°-x，

∴∠DFE=3∠AEF。故④正確。

三、思路單一，缺少積累

例3 如圖4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、H分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，CE、DF交于點(diǎn)G，連接AG、HG。下列結(jié)論：①CE⊥DF;②AG=DG;③∠CHG=∠DAG中正確的有（）。

A.0個(gè)B.1個(gè) C.2個(gè)D.3個(gè)

【錯(cuò)解】D。

【錯(cuò)因分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，易證得CE⊥DF與AH⊥DF;由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得∠CHG=∠DAG。而對于②，要運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)等知識，需要同學(xué)們合理假設(shè)。本項(xiàng)的綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。大家如果平時(shí)積累不夠，解題思路過于單一，方法刻板，則會在解決本題時(shí)難以下手。

【正解】如圖5，連接AH，易證CE∥AH。

∵在Rt△CGD中，H是CD邊的中點(diǎn)，

∴DK=GK，∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD。

若AG=DG，則△ADG是等邊三角形，

則∠ADG=60°，∴∠CDF=30°，

∴CF=[12]DF。

而CF=[12]CD，又DF≠CD，

∴AG=DG不成立，所以②錯(cuò)誤。

故選C。

（作者單位：江蘇省南京市科利華中學(xué)棠城分校）