謝麗麗

近幾年，命題者常以四邊形為背景，滲透點(diǎn)的運(yùn)動，并對此點(diǎn)在運(yùn)動變化過程中產(chǎn)生的等量、變量、圖形間的關(guān)系進(jìn)行考查。下面結(jié)合例題對四邊形中的動點(diǎn)問題進(jìn)行剖析，供同學(xué)們參考。

一、動點(diǎn)產(chǎn)生的分段函數(shù)

例1 如圖1，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B-E-D運(yùn)動到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C停止，它們的運(yùn)動速度都是1cm/s?，F(xiàn)P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為x（s），△BPQ的面積為y（cm2），若y與x的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示，則矩形的面積是（）。

A.96cm2 B.84cm2

C.72cm2 D.56cm2

【分析】我們先初步了解整個運(yùn)動的過程，由于兩點(diǎn)運(yùn)動速度相同，那么可以厘清其中的三種情形：點(diǎn)P在線段BE上運(yùn)動，點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動;點(diǎn)P在線段ED上運(yùn)動，點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動;點(diǎn)P在線段ED上運(yùn)動，點(diǎn)Q在點(diǎn)C處靜止。明確三種情形的臨界狀態(tài)，再結(jié)合圖像上的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行分析，化動為靜，便可將面積轉(zhuǎn)化為線段長求解。

解：從函數(shù)的圖像和點(diǎn)的運(yùn)動過程可以得出，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)E時，x=10，y=30。過點(diǎn)E作EH⊥BC，如圖3。

∵y=[12]·x·EH，即30=[12]×10×EH，

∴EH=6，即AB=6。

在Rt△BAE中，由勾股定理，得AE=8。

由圖2知，當(dāng)x=14時，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，即DE=14-10=4，

∴AD=AE+DE=8+4=12，

∴矩形的面積為12×6=72（cm2）。

故選C。

二、動點(diǎn)產(chǎn)生的圖形

例2 如圖4，在矩形ABCD中，AB=1，AD=[3]，P為AD上一個動點(diǎn)，連接BP，線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對稱，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)D時，線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積為。

【分析】已知點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是線段AD，因此，只需再確定點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡即可。由軸對稱得BQ=BA，而點(diǎn)B是定點(diǎn)，BA的長為定值1，所以點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡是圓弧，其圓心角可結(jié)合已知數(shù)據(jù)求得。那么圖5中的陰影面積即為所求，再利用分割法可求得面積。

解：∵線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對稱，

∴BQ=BA=1，△ABP≌△QBP。

∵點(diǎn)B是定點(diǎn)，

∴點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡是以B為圓心的圓弧。

如圖5，陰影部分即為當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)D時，線段PQ在平面內(nèi)掃過的圖形。

∵矩形ABCD中，AB=1，AD=[3]，

∴∠BQD=∠BAD=90°，∠ABD=60°，

∴∠ABQ=2∠ABD=2×60°=120°，

∴S陰影部分=S四邊形ABQD-S扇形ABQ

=2S△ABD-S扇形ABQ

=S矩形ABCD-S扇形ABQ

=[3]×1[-120π×12360]

=[3][-π3]。

三、動點(diǎn)產(chǎn)生的線段最值

例3 如圖6，在?ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，點(diǎn)E為邊AB上的一個動點(diǎn)，連接ED并延長至點(diǎn)F，使得DF=[14]DE，以EC、EF為鄰邊構(gòu)造?EFGC，連接EG，求EG的最小值。

【分析】點(diǎn)E的運(yùn)動帶來?EFGC的運(yùn)動。?EFGC中邊的長度在變，但我們要抓住變化過程中不變的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，如EF=CG，EF∥CG。又由DF=[14]DE，得[DECG]=[45]。記CD與EG的交點(diǎn)是點(diǎn)O，由△DOE∽△COG，得[EOGO]=[45]，故[EOEG]=[49]，即EG=[94]EO。此時，問題轉(zhuǎn)化為求線段EO長的最小值，即求兩條平行線AB、CD之間的距離。

解：∵四邊形EFGC是平行四邊形，

∴EF∥CG，EF=GC，

∴△DOE∽△COG，

∴[EOGO]=[EDGC]。

∵DF=[14]DE，

∴[DEEF]=[45]，

∴[EDGC]=[45]，

∴[EOGO]=[45]，

∴EG=[94]EO。

過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖7。

∵在Rt△BHC中，∠B=60°，BC=8，

∴CH=BC×sin60°=[43]，

∴當(dāng)EO⊥CD時，EO取得最小值[43]。

∵EG=[94]EO，

∴EG的最小值是[94]×[43]=[93]。

四邊形中的動點(diǎn)問題綜合性強(qiáng)，常與圓、三角形等幾何知識以及方程、函數(shù)等代數(shù)內(nèi)容結(jié)合，要求較高。我們要抓住動點(diǎn)變化過程中不變的量，關(guān)注特殊四邊形本身的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，必要時結(jié)合特殊狀態(tài)或?qū)⑾嚓P(guān)線段代數(shù)化，通過動的現(xiàn)象尋覓靜的本質(zhì)，從動靜間的轉(zhuǎn)化出發(fā)剖析問題，實(shí)現(xiàn)動態(tài)問題靜態(tài)化，最終實(shí)現(xiàn)問題的解決。

（作者單位：江蘇省南京市金陵中學(xué)龍湖分校）