李秀英 尹 帥 孫書利

隨著通信技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked control system,NCS)已廣泛應(yīng)用于遠(yuǎn)程醫(yī)療、智能交通、航空航天等領(lǐng)域[1].網(wǎng)絡(luò)的引入在給系統(tǒng)帶來便利的同時,由于網(wǎng)絡(luò)擁擠、信道衰減等原因,使得數(shù)據(jù)包在傳輸過程中出現(xiàn)了許多不確定性,如丟包、延遲以及亂序等.丟包現(xiàn)象如果處理不當(dāng),最終可能導(dǎo)致系統(tǒng)整體性能的急劇下降甚至崩潰,因此如何克服丟包帶來的不利影響成為學(xué)者們普遍關(guān)注的問題[2－5].目前主要有4 種策略:1)零輸入策略[2];2)保持輸入策略[3];3)預(yù)報(bào)補(bǔ)償策略[4];4)多包補(bǔ)償策略[5－6].所謂多包補(bǔ)償是指利用緩存器中的多個數(shù)據(jù)包來補(bǔ)償丟失的數(shù)據(jù).文獻(xiàn)[5] 基于一步時滯和丟包的模型設(shè)計(jì)了濾波器、預(yù)報(bào)器和平滑器.文獻(xiàn)[6] 針對多步時滯和丟包的系統(tǒng)設(shè)計(jì)了滿足H∞性能指標(biāo)的濾波器.但是,文獻(xiàn)[5] 處理的只是線性系統(tǒng),而文獻(xiàn)[6] 雖然考慮了非線性干擾,但系統(tǒng)模型仍然是線性的.

控制工程中非線性對象普遍存在.Takagi-Sugeno (T-S)模糊模型[7]可以任意精度逼近定義在緊集上的非線性函數(shù),已成功應(yīng)用于復(fù)雜非線性系統(tǒng)的建模中[8－10].文獻(xiàn)[8] 基于采樣數(shù)據(jù)研究了網(wǎng)絡(luò)化模糊T-S 系統(tǒng)H∞輸出跟蹤控制問題.文獻(xiàn)[9] 針對一類帶有雙端丟包的T-S 模糊非線性系統(tǒng)提出一種丟包補(bǔ)償策略.文獻(xiàn)[10] 基于時滯分解技術(shù),提出一種新的矩陣解耦方法設(shè)計(jì)了T-S 模糊系統(tǒng)的濾波器.然而,以上文獻(xiàn)在選擇Lyapunov 函數(shù)時都是獨(dú)立于模糊規(guī)則的,這使得結(jié)果具有一定的保守性.

此外,工程上使用的傳感器由于原理、制造技術(shù)以及使用安全等諸多因素限制,均無法識別或者提供幅值過大的信號,因而產(chǎn)生傳感器件的飽和特性[11－15].文獻(xiàn)[11-13]和[14-15] 分別研究了帶有傳感器飽和NCS 的H∞濾波和控制問題.對于某些類型的傳感器,如霍爾傳感器,頻繁發(fā)生的飽和現(xiàn)象會造成器件損壞,失去測量的意義,不能再用于測量了.如何解決由于傳感器飽和而導(dǎo)致的傳感器失效時信號來源的問題也應(yīng)引起重視.

基于上述分析,本文研究帶有傳感器飽和的TS 型模糊非線性系統(tǒng)的H∞濾波器設(shè)計(jì)問題.主要創(chuàng)新點(diǎn)如下:1)采用多包補(bǔ)償策略克服數(shù)據(jù)傳輸過程中因丟失對系統(tǒng)性能產(chǎn)生的不利影響;2)針對傳感器飽和而使器件損壞的問題提出傳感器冗余方式解決信號來源問題;3)為減小設(shè)計(jì)的保守性,利用基于模糊規(guī)則依賴的Lyapunov 函數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,得到使濾波誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,同時滿足指定H∞性能指標(biāo)的濾波器參數(shù)線性矩陣不等式(Linear matrix inequalities,LMIs)形式的解.仿真研究驗(yàn)證算法的有效性.

1 問題描述

1.1 非線性對象的T-S 模糊模型描述

考慮如下的非線性離散時間系統(tǒng)

假設(shè)1.f(xk)是一個光滑函數(shù),滿足條件f(0)=0,其中xk∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)向量.

假設(shè)2.外部干擾輸入wwwk∈Rq是能量有限信號,即wwwk屬于平方可和的l2[0,∞)空間.

假設(shè)3.B 是已知矩陣,描述干擾對狀態(tài)的影響.

對于非線性對象(1),用p 個T-S 型模糊規(guī)則去逼近.設(shè)第i 條模糊規(guī)則如下:

其中,θk=為前件變量,Wij(i,j=1,2,···,p)為模糊集合,zzzk∈Rm是待估計(jì)信號,Ai,Bi,Li是適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣.

注1.這里引入待估計(jì)信號zzzk更具有一般性.當(dāng)Li為單位陣時,待估狀態(tài)即為xk;當(dāng)Li為一般向量時,待估狀態(tài)為xk的某個分量或其線性組合.

利用中心平均解模糊器、乘積模糊推理,單點(diǎn)模糊器,可以得到模糊系統(tǒng)(2)的全局動態(tài)模型

注2.隸屬度函數(shù)的選擇沒有統(tǒng)一的方法,可以根據(jù)需要適當(dāng)選取.如果想要所選擇的隸屬度函數(shù)最優(yōu),可以引入智能優(yōu)化方法(如粒子群算法、蟻群算法等)來優(yōu)化隸屬度函數(shù)中的參數(shù).

1.2 飽和傳感器的冗余策略

當(dāng)傳感器檢測的信號幅值過大時,會產(chǎn)生飽和特性(如差壓傳感器、霍爾傳感器).若傳感器長時間處于飽和狀態(tài),會容易損壞,測量結(jié)果失去意義.為解決傳感器飽和時信號來源問題,我們提出傳感器冗余策略[16－17].輸出yk∈Rr采用如下模型進(jìn)行刻畫

其中,Bernoulli 分布的隨機(jī)變量δk用來表示主傳感器和備用傳感器之間的切換,且滿足Prob{δk=1}=Prob{δk=0}=1-即δk=1 時表示主傳感器工作,δk=0 時表示主傳感器失效,此時啟用備用傳感器工作.傳感器飽和用非線性函數(shù)g(C1ixk)和來描述,滿足

其中,M1,M2(M2＞M1≥0),是常矩陣.為分析方便,將g(C1ixk)和分成線性部分和非線性部分來處理[13],即

1.3 網(wǎng)絡(luò)傳輸誘導(dǎo)現(xiàn)象的刻畫

假設(shè)4.傳感器是時鐘驅(qū)動.

假設(shè)5.接收端設(shè)置緩存器.

網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下,無論是采用TCP 協(xié)議還是UDP協(xié)議,時滯和丟包現(xiàn)象不可避免[18].由于隨機(jī)時滯的存在,使得在一個采樣周期內(nèi),接收端接收到的數(shù)據(jù)可能是一個或是多個,也可能沒有接收到任何數(shù)據(jù),根據(jù)文獻(xiàn)[19],采用如下模型來描述接收端的數(shù)據(jù)

其中,Wk∈Rq是屬于平方可和l2[0,∞)空間的觀測噪聲,d 是最大時滯;是相互獨(dú)立的Bernoulli 分布的隨機(jī)變量,且滿足統(tǒng)計(jì)特性:

注3.當(dāng)取不同值時,可以同時描述數(shù)據(jù)的丟失和d 步時滯的情況.易知,數(shù)據(jù)包正常接收的概率為d 步時滯的概率為丟包的概率為

1.4 模糊濾波器設(shè)計(jì)

針對T-S 模糊模型(2)描述的非線性系統(tǒng)(1),利用并行分布補(bǔ)償技術(shù),設(shè)計(jì)如下形式的滿階濾波器:

同樣,可以得到濾波器的全局模型為

注4.也可以采用狀態(tài)增廣的方法設(shè)計(jì)濾波器,即引入狀態(tài)然后為XXXk設(shè)計(jì)濾波器顯然,增廣方法會引起維數(shù)的增加.此處設(shè)計(jì)的滿階濾波器可以避免維數(shù)增加.

由式(2)～(4),(6),(7),可得濾波誤差系統(tǒng)為

其中,

問題描述:針對基于T-S 模糊模型(2)描述的非線性系統(tǒng)(1),考慮傳感器件的飽和特性以及觀測數(shù)據(jù)到達(dá)接收端時可能發(fā)生的隨機(jī)丟包和多步時滯的情況,設(shè)計(jì)形如式(8)的濾波器參數(shù)Afi,Bfi,Cfi,使得濾波誤差系統(tǒng)(10)滿足如下兩個條件:

ii)H∞性能.在零初始條件下,對于所有的非零和指定的H∞性能指標(biāo)γ ＞0,濾波誤差ek滿足如下H∞范數(shù)指標(biāo)

引理1[20].對于對稱正定矩陣S和任意適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣Xij,有

2 濾波性能分析

定理1.考慮基于T-S 模糊模型(2)描述的離散時間非線性系統(tǒng)(1),假設(shè)濾波器參數(shù)Afi,Bfi,Cfi已知,則濾波誤差系統(tǒng)(10)是均方意義下漸近穩(wěn)定的,且當(dāng)時,系統(tǒng)(10)滿足指定H∞性能指標(biāo)γ,如果存在模糊規(guī)則依賴的正定對稱矩陣Pq＞0,Qj＞0 (q=j=1,2,···,d)及標(biāo)量εi＞0(i=0,1,···,2d+1),使得如下矩陣不等式成立

證明.選取如下模糊規(guī)則依賴的Lyapunov 函數(shù)

那么

將濾波誤差系統(tǒng)(10)代入上式,有

首先證明當(dāng)～wwwk=0 時濾波誤差系統(tǒng)(10)是均方意義下漸近穩(wěn)定的,有

由Schur 補(bǔ)引理可得,E{ΔVk}＜0 當(dāng)且僅當(dāng)不等式(12)和(13)成立.根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知,當(dāng)時,濾波誤差系統(tǒng)(10)是均方漸近穩(wěn)定的.接下來,為分析濾波誤差系統(tǒng)(10)的H∞性能,引入目標(biāo)函數(shù)

顯然,為證明H∞性能指標(biāo)(11)成立,即要證明在零初始條件下有Jn＜0 成立.于是,有

類似于前面的推導(dǎo)過程,可得

由式(12)和式(13)可知Jn＜0.令n →∞,易得

3 H∞濾波器設(shè)計(jì)

定理2.考慮基于T-S 模糊模型(2)描述的離散時間非線性系統(tǒng)(1),在傳感器飽和及數(shù)據(jù)包丟失和時滯存在的情況下,對于給定標(biāo)量γ ＞0,存在一個H∞濾波器使得濾波誤差系統(tǒng)均方意義下漸近穩(wěn)定,且當(dāng)時,H∞性能指標(biāo)(11)成立,如果存在模糊規(guī)則依賴的矩陣1,2,···,d),矩陣和標(biāo)量εi＞0 (i=0,1,···,2d+1),使得如下LMIs成立

其中

若不等式(18)和(19)存在可行解,則濾波器參數(shù)為

證明.由Schur 補(bǔ)引理,可以將定理1 中的矩陣不等式(12)和(13)寫成如下形式:

注5.由不等式(18)和(19),通過求解如下凸優(yōu)化問題1可以得到系統(tǒng)的最優(yōu)H∞性能指標(biāo)為其中為的最優(yōu)值.

注6.在一些場合下,基于模糊模型(2)對非線性系統(tǒng)(1)的建模會存在一定的建模誤差.考慮近似誤差后,非線性系統(tǒng)(1)可以等價于如下系統(tǒng)

4 仿真例子

為驗(yàn)證本文所提算法的有效性,考慮文獻(xiàn)[21]中的一個非線性倒立擺系統(tǒng)

其中,x1(t)表示倒立擺與垂直方向的角度,x2(t)是角速度,g=9.8 m/s2是重力加速度,m 是倒立擺的質(zhì)量,a=1/(m+M),M 是小車的質(zhì)量,2l 是倒立擺的長度,b 是倒立擺與軸之間的阻尼系數(shù),w(t)是干擾輸入.根據(jù)文獻(xiàn)[21],取m=2 kg,M=8 kg,l=0.5 m 以及b=0.5 Nm/s.將系統(tǒng)在原點(diǎn)以及x=(±60°,0)處線性化,以采樣周期T=0.01 s 離散化,可得該系統(tǒng)的離散時間T-S 模糊模型為

表1 接收端接收數(shù)據(jù)情況舉例Table 1 An example case of the received data at the receiver side

通過求解問題1,可以得到最優(yōu)的γ*=5.7774,濾波器參數(shù)為

圖1 zk 真實(shí)值和H∞濾波值Fig.1 True value of zk and its filter

為說明基于模糊規(guī)則依賴思想所設(shè)計(jì)的濾波器可以降低保守性,將本文與模糊規(guī)則獨(dú)立方法(即選取Lyapunov 函數(shù)時Lyapunov 矩陣與模糊規(guī)則無關(guān))進(jìn)行比較.參數(shù)保持不變,令從0.1 到0.9 變化,所得的最優(yōu)H∞性能指標(biāo)γ*結(jié)果如表2 所示.從表2 中可以看出,模糊規(guī)則依賴的方法所得的γ*要小于模糊規(guī)則獨(dú)立的方法,即可以有效降低設(shè)計(jì)的保守性.同時,隨著數(shù)據(jù)包正常接收的概率增大(即變大),H∞性能指標(biāo)γ*減小,系統(tǒng)的抗干擾能力增強(qiáng).

表2 模糊規(guī)則依賴與模糊規(guī)則獨(dú)立的γ* 比較Table 2 Comparison of γ* between fuzzybasis-dependent and fuzzy-basis-independent methods

我們進(jìn)一步分析了主傳感器和冗余傳感器對系統(tǒng)性能的影響.當(dāng)不變,而從0.2 變到1時,所得的最優(yōu)H∞性能指標(biāo)γ*由表3 給出.由表3 可知,隨著的增大,γ*也隨之增大.即備用傳感器的性能較主傳感器的性能更好.

表3 最優(yōu)H∞性能指標(biāo)與傳感器飽和發(fā)生概率ˉδ 的關(guān)系Table 3 Relation between optimal H∞performance and the sensor saturation occurrence rate

為了說明時滯概率與丟包概率對系統(tǒng)性能的影響,我們分別給出最大時滯為一步與最大時滯為兩步時的仿真結(jié)果,如表4 所示.從表4 中可以看出,在正常接收概率相同的前提下,當(dāng)丟包概率相同,最大時滯為一步時的最優(yōu)H∞性能指標(biāo)γ*較最大時滯為兩步時的要小,即隨著系統(tǒng)的時滯變大,系統(tǒng)性能變差.同時,當(dāng)系統(tǒng)正常接收的概率變大,隨著系統(tǒng)丟包概率的減小,γ*也隨之減小,系統(tǒng)的干擾抑制性能變好.

表4 最大時滯為一步與兩步時的γ* 比較Table 4 Comparison of γ* between one-step and two-step maximum delays

最后,我們在表5 中給出了與文獻(xiàn)[22] 的仿真比較結(jié)果.文獻(xiàn)[22] 考慮的是帶有傳感器飽和的NCS 模糊H∞濾波器設(shè)計(jì),但接收端只有一個數(shù)據(jù)用于濾波器設(shè)計(jì).為了比較,令本文算法中ˉδ=0,文獻(xiàn)[22] 中的最大時滯為d=1 (即數(shù)據(jù)被正常接收,延時一步接收,或者丟失).在相同的正常接收概率和一步時滯概率的前提下,我們比較了最優(yōu)H∞性能γ*.從表5 中可以看出,本文方法所得γ*的結(jié)果比文獻(xiàn)[22] 的要小.原因主要有兩個方面:一是本文采用的是多包補(bǔ)償策略,二是在設(shè)計(jì)時選用的模糊規(guī)則依賴的方法.

表5 與文獻(xiàn)[22] 中方法的γ* 比較Table 5 Comparison of γ* with the method in [22]

5 結(jié)論

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的被控對象通常是非線性的,而負(fù)責(zé)采集數(shù)據(jù)的傳感器也會出現(xiàn)飽和非線性現(xiàn)象.本文針對帶有傳感器飽和的T-S 模糊模型描述的非線性系統(tǒng),對于傳感器飽和可能帶來的器件損壞問題,提出冗余策略來解決信號來源問題,并利用多包補(bǔ)償策略改善丟包對系統(tǒng)的影響.基于模糊規(guī)則依賴的思想,利用隨機(jī)分析方法得到了使濾波誤差系統(tǒng)均方漸近穩(wěn)定且滿足指定H∞性能的一個充分條件,利用LMI 技術(shù)得到濾波器參數(shù)的解.仿真分析結(jié)果表明,模糊規(guī)則依賴的方法比模糊規(guī)則獨(dú)立方法可以獲得較小的保守性,同時隨著系統(tǒng)時滯的增大,系統(tǒng)的性能變差.本文所采用的T-S 模型可以很好地逼近系統(tǒng)的非線性,但在實(shí)際中,系統(tǒng)的不確定性也是廣泛存在的.針對系統(tǒng)不確定性的處理,可以有兩種方法:一是采用區(qū)間2 型T-S 模糊模型[23],該模型利用隸屬度函數(shù)的上界和下界來刻畫系統(tǒng)的不確定性;二是設(shè)計(jì)自適應(yīng)模糊系統(tǒng)[24－25],即通過適當(dāng)?shù)姆椒▉碓诰€調(diào)整系統(tǒng)參數(shù),以適應(yīng)系統(tǒng)的不確定性.這兩個問題將是作者后續(xù)研究的主要方向.