葛志新, 李春源, 陳咸獎

(1- 安徽工業(yè)大學數(shù)理學院，馬鞍山 243002; 2- 安徽工業(yè)大學商學院，馬鞍山 243002)

1 引言

分數(shù)階導數(shù)的Riemann-Liouville 定義和Caputo 定義[1-3]，都含有自變量的卷積部分的積分，可以表示對自變量的累積效應，因此對沾滯問題、記憶問題和遺傳問題有很好的描述.近年來，學術界對分數(shù)階導數(shù)的研究已形成熱點，學者們已廣泛研究了分數(shù)階導數(shù)的各種性質(zhì)，在微分方程領域也掀起了研究的熱潮，研究各種類型方程的分數(shù)階導數(shù)對解的影響[4-16].所用方法有數(shù)值法、迭代法、多重尺度法.多種數(shù)學方法的發(fā)展，使我們能夠更好的研究各種數(shù)學模型的性質(zhì).例如利用多重尺度法研究二維方程的波動問題[13].在波動問題中，對二維方程研究比較多，對三維波動方程模型研究比較少.我們遇到的實際波動問題往往非常復雜，例如地震勘探、石油勘探的彈性波，這些都是三維問題，或者是多種波動的合成.

本文從攝動的角度，對用分數(shù)階導數(shù)表示負阻尼的三維波動方程[13]進行研究.考慮三維波在沾滯的介質(zhì)中傳播問題

2 漸近解

我們將φx(x,y,1+εsinkωx), φz(x,y,1+εsinkωx)在z=1 處展開，得

將(4),(5)代入(3)得

引入多重尺度x0=x, x1=εx，則

并把(7)—(9)代入到(1),(2),(6)中，比較ε同次冪的系數(shù)得

利用分離變量法，設(10)的解為φ0(x0,x1,y,z) =X(x0)Y(y)Z(z)，由方程形式可以解出方程，其解為

所以，(13),(15)轉化為

其中

即

我們尋找下式的解

即

我們把(21)代入(14),(17),(18)，得

因為方程(22)是自伴的，取伴隨問題的解[13]u= cosnπz，方程(22)兩邊都乘以u=cosnπz，并在[0,1]上積分.利用分部積分法，我們可以得到可解性條件

即

利用(23)得

即

同理由(24),(25)，當m/=0 時，有

把(28)虛實部分開，得

把(29)虛實部分開，得

由(30)—(33)，Am, An立刻被解出，取Am, An實部，代入(16)的Am, An中，從而得到(16)的表達式.

3 一致有效性

設

這里l是正常數(shù).我們可以發(fā)現(xiàn)μ(x,y,z)≤ν(x,y,z)，且由式(2),(3)得μz(x,y,0)≤0≤νz(x,y,0),

并且，由式(10),(13)知

所以，當x ∈(0,1)時，lgx ＜0，因為0＜α ＜1，所以xα=10αlgx ∈(0,1).因此

從而

同理

由φ0(x,y,z)知

是一致有效的.

4 三維波的解的分析

三維波動邊值問題說明，只要邊界發(fā)生正弦型波動，垂直這個邊界上的外力有規(guī)律地變化，則該波有一個近似解，該解的振幅的模和相位的瞬時變化率，由邊界取值、最初選擇的模態(tài)值和α, k的取值確定.可以發(fā)現(xiàn)沒有阻尼二維波[13]與三維波的解的振幅有很大差異.二維波僅僅是振幅相位在周期變化，振幅模卻恒定，近似解是周期解.三維波是振幅模和相位兩者都在變化.變化規(guī)律如圖1 和圖2 所示.圖1 為c1-x和c2-x曲線，其中ω= 3π, m= 2, n= 1, α= 0.5, k2m=k2n=π, σ= 1, ε= 0.01, c1(0) =1, c2(0)=1.圖2 為γ1-x和γ2-x曲線，其中ω=3π, m=2, n=1, α=0.5, k2m=k2n=π, σ= 1, ε= 0.01, γ1(0) = 0, γ2(0) = 0.圖中x皆是上文中的x1.三維波的振幅不是周期解.

圖2 γ1-x 和γ2-x 曲線

圖1 c1-x 和c2-x 曲線

振幅的模與相位同選擇的模態(tài)有關，如圖3 至圖6 所示.圖3 為c1-x曲線，其中ω=5π, α= 0.5, k2m=k2n=π, σ= 1, ε= 0.01, c1(0) = 1, c2(0) = 1.圖4 為c2-x曲線，其中ω= 5π, α= 0.5, k2m=k2n=π, σ= 1, ε= 0.01, c1(0) = 1, c2(0) = 1.圖5 為γ1-x曲線，其中ω= 5π, α= 0.5, k2m=k2n=π, σ= 1, ε= 0.01, γ1(0) =0, γ2(0) = 0.圖6 為γ2-x曲線，其中ω= 5π, α= 0.5, k2m=k2n=π, σ= 1, ε=0.01, γ1(0)=0, γ2(0)=0.

圖6 γ2-x 曲線

圖5 γ1-x 曲線

圖4 c2-x 曲線

圖3 c1-x 曲線

由圖7 至圖10 也可發(fā)現(xiàn)，分數(shù)階導數(shù)α不同，振幅的模發(fā)生改變.圖7 為c1-x曲線，其中ω= 3π, m= 2, n= 1, k2m=k2n=π, σ= 1, ε= 0.001, c1(0) =1, c2(0) = 1.圖8 為c2-x曲線，其中ω= 3π, m= 2, n= 1, k2m=k2n=π, σ=1, ε= 0.001, c1(0) = 1, c2(0) = 1.圖9 為γ1-x曲線，其中ω= 3π, m= 2, n=1, k2m=k2n=π, σ= 1, ε= 0.001, γ1(0) = 0, γ2(0) = 0.圖10 為γ2-x曲線，其中ω=3π, m=2, n=1, k2m=k2n=π, σ=1, ε=0.001, γ1(0)=0, γ2(0)=0.

圖10 γ2-x 曲線

圖9 γ1-x 曲線

圖8 c2-x 曲線

圖7 c1-x 曲線

進而，由圖11 和圖12 可以看出，在其他參數(shù)不變的情況下，σ的改變對零階近似解的影響不大，ε的改變對零階近似解的影響也不大.圖11 為c1-x曲線，其中ω=5π, α= 0.5, m= 2, n= 1, k2m=k2n=π, ε= 0.01, c1(0) = 1, c2(0) = 1.圖12 為c1-x曲線，其中ω= 5π, α= 0.5, m= 2, n= 1, k2m=k2n=π, σ=1, c1(0)=1, c2(0)=1.

圖11 c1-x 曲線

圖12 c1-x 曲線