雷偉群,劉冠芳,耿 濤

（中車永濟(jì)電機(jī)有限公司軌道交通牽引電機(jī)山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山西 運(yùn)城 044502）

微秒級(jí)LTD中的次級(jí)匝柔性高壓套管絕緣通常采用甘油浸漬的聚合物薄膜多層卷繞復(fù)合絕緣結(jié)構(gòu)[1-6],以利用薄膜的高擊穿強(qiáng)度、甘油的高介電常數(shù)獲得緊湊低感絕緣,并利用了甘油與變壓器磁芯等部件的化學(xué)相容性。該絕緣套管承受微秒級(jí)脈沖電壓,工作場(chǎng)強(qiáng)達(dá)到MV/cm水平。由于LTD結(jié)構(gòu)形狀比較復(fù)雜,在其設(shè)計(jì)中必須進(jìn)行電場(chǎng)仿真分析,以獲得各處場(chǎng)量等設(shè)計(jì)必需的物理信息。參看圖1和圖2,該柔性絕緣套管的薄膜厚度通常在100μm以下,浸漬劑層的厚度約為10μm量級(jí),而LTD的半徑尺度約為1250mm。因此在LTD及絕緣子內(nèi)部的電場(chǎng)數(shù)值仿真計(jì)算中,若要計(jì)及套管絕緣的內(nèi)部實(shí)際分層結(jié)構(gòu),所需要的徑向剖分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)將達(dá)到105量級(jí)（若用正方形網(wǎng)格,軸向節(jié)點(diǎn)數(shù)更多）,全場(chǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)將達(dá)到1011量級(jí),全部節(jié)點(diǎn)處的場(chǎng)量數(shù)據(jù)將達(dá)到1012Gb量級(jí),這意味著計(jì)算量很龐大,實(shí)踐中臺(tái)式計(jì)算機(jī)甚至工作站也難以勝任（詳見后述）。本文導(dǎo)出了此種圓筒形多層絕緣結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù),作電場(chǎng)數(shù)值仿真計(jì)算時(shí),僅需將套管絕緣整體按具有該等效介電常數(shù)的厘米量級(jí)厚度單層介質(zhì)處理,得到等效套管絕緣內(nèi)部各處的電場(chǎng)后,再作簡(jiǎn)單換算即可得到套管絕緣各層的仿真電場(chǎng)等數(shù)據(jù)。這一方法可使徑向剖分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)減少到103量級(jí),全場(chǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)減少到106量級(jí),節(jié)點(diǎn)場(chǎng)量數(shù)據(jù)減少到107Gb量級(jí),計(jì)算量減少為簡(jiǎn)化處理前的1/104～1/105,一般臺(tái)式計(jì)算機(jī)即可勝任LTD全尺寸二維電場(chǎng)數(shù)值計(jì)算。

圖1 微秒級(jí)LTD電場(chǎng)數(shù)值仿真模型

圖2 圓柱坐標(biāo)系下（r,θ,z）的LTD次級(jí)絕緣結(jié)構(gòu)

1 等效介電常數(shù)的導(dǎo)出

1.1 套管絕緣中各層電場(chǎng)的一維解析解

脈沖電壓加載時(shí),通常認(rèn)為絕緣內(nèi)部的電場(chǎng)按電容進(jìn)行分布,電場(chǎng)可按靜電場(chǎng)處理。此時(shí)除仿真對(duì)象的幾何形狀與尺寸條件外,各介質(zhì)的介電常數(shù)是決定電場(chǎng)分布的關(guān)鍵因素。另一方面,本文涉及的脈沖波前是微秒級(jí),對(duì)應(yīng)的3dB信號(hào)帶寬上限頻率為100kHz量級(jí),相應(yīng)的波長(zhǎng)為幾千m量級(jí),遠(yuǎn)大于仿真對(duì)象的尺度（m級(jí)）,此時(shí)電場(chǎng)亦可按靜電場(chǎng)處理。

采用圓柱坐標(biāo)系,LTD的甘油/薄膜多層復(fù)合套管絕緣層的結(jié)構(gòu)如圖2所示。這種絕緣結(jié)構(gòu)由浸漬劑和薄膜兩種介質(zhì)多層交替組成,薄膜層數(shù)多達(dá)幾百、上千層,本身可以視為一維圓筒形結(jié)構(gòu)。當(dāng)各層介質(zhì)內(nèi)及其兩相界面不存在自由電荷時(shí),電位滿足一維拉普拉斯方程。圖2中給出的各量為：內(nèi)電極外半徑R1,外電極內(nèi)半徑R2,外電極和內(nèi)電極間直流電壓為Vo,電極間絕緣薄膜總層數(shù)為n,液體浸漬總層數(shù)為n+1,緊貼電極層都是液體層,以便排除氣隙。浸漬劑（奇數(shù)層）介電常數(shù)為ε1,厚度為d1；薄膜（偶數(shù)層）介電常數(shù)為ε2,厚度為d2。沿r方向由內(nèi)向外絕緣各層的內(nèi)、外半徑分別為：第1層：內(nèi)半徑r0=R1,外半徑r1；第2層：r1,r2；……；第2n-1層：r2n-2,r2n-1；第2n層：r2n-1,r2n；第2n+1層：r2n,r2n+1=R2。其中,r1,r2,…,r2n-1,r2n分別為由內(nèi)向外絕緣介質(zhì)各層的交界面半徑。

按上述符號(hào)系統(tǒng),第i層介質(zhì)一維拉普拉斯方程[7]：

式中：Vi（ri-1）=Vi-1,Vi（ri）=Vi,

式（1）的解為：

電位：

電場(chǎng)：

式中,Ui=Vi-Vi-1。由電極邊界條件可得：

結(jié)合式（3）和（4）得到：

利用介質(zhì)內(nèi)及介質(zhì)交界面上沒有自由電荷的條件,設(shè)置一個(gè)內(nèi)半徑為r0+=r0+δ（δ為無窮小量）、外半徑為ri-1﹤r﹤ri、長(zhǎng)度為l的圓筒形空間區(qū)域,運(yùn)用高斯定律可得：

亦即：

聯(lián)系式（5）和（7）可得到：

式中,當(dāng)i取奇數(shù)時(shí)εi=ε1,i取偶數(shù)時(shí)εi=ε2。

由式（8）可解得：

聯(lián)系式（7）和（9）可得各層電場(chǎng)分布：

1.2 介電常數(shù)等效方法及其物理意義

設(shè)套管絕緣總電壓為V0,總長(zhǎng)度為L(zhǎng),套管絕緣整體的等效電容為Ceff、等效介電常數(shù)為εeff,各層介質(zhì)的電壓為Ui,電容為Ci,根據(jù)儲(chǔ)存能量和承受電壓相同進(jìn)行等效。套管絕緣中儲(chǔ)存的總能量為：

式中各電容為[5,7]：

結(jié)合式（11）和（12）,約分后即可得到：

由式（13）出發(fā),再利用式（3）、（7）和（9）,可得到：

式中,i取奇數(shù)時(shí)εi=ε1,i取偶數(shù)時(shí)εi=ε2

由式（14）可知,套管絕緣的等效介電常數(shù)εeff由絕緣的幾何形狀、尺寸及材料介電常數(shù)完全決定,反映了套管絕緣整體的介電特性?？梢则?yàn)證,min（ε1,ε2）﹤εeff﹤max（ε1,ε2）,即εeff介于ε1和ε2之間。

利用式（14）改寫式（10）,可得到：

式（15）的物理含義是：利用等效介電常數(shù)的值,各層介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)等于該層平均電場(chǎng)作幾何參數(shù)與介電常數(shù)修正后得出。

2 等效介電常數(shù)應(yīng)用舉例

2.1 計(jì)算例參數(shù)

采用文獻(xiàn)中給出的LTD次級(jí)套管絕緣參數(shù)[1-2]并參看圖2,套管絕緣內(nèi)半徑R1＝38mm,厚度100μm聚乙烯薄膜卷繞約200層,套管絕緣層測(cè)量厚度24mm,假定甘油層厚度為20μm,R2＝3.8+200×（0.01+0.002）+0.002＝6.202（cm）,甘油介電常數(shù)ε1＝44ε0,聚乙烯膜介電常數(shù)ε2＝2.3ε0,ε0為真空介電常數(shù)。

2.2 計(jì)算結(jié)果

對(duì)式（14）作簡(jiǎn)單編程計(jì)算可得到：εeff＝2.616ε0。

將此套管絕緣視為厚2.402cm、εr為2.616的一個(gè)絕緣介質(zhì)圓筒,根據(jù)圖1建立電場(chǎng)數(shù)值仿真模型（本文采用Unipic軟件建立模型計(jì)算）,網(wǎng)格步長(zhǎng)取1mm（mm級(jí)尺度）,可得到等效介質(zhì)中各處的徑向、軸向電場(chǎng)等關(guān)心的場(chǎng)量。在所述條件下,當(dāng)Vo=-2.5MV（次級(jí)內(nèi)導(dǎo)體施加直流負(fù)高壓）時(shí),得到圖1中斷面A上等效介質(zhì)內(nèi)的最大徑向電場(chǎng)為-1.13MV/cm（即指向-r方向）,等效介質(zhì)平均半徑處的軸向電場(chǎng)為18kV/cm（指向+z方向）。根據(jù)式（15）,若相應(yīng)位置處為薄膜,則其內(nèi)最大徑向電場(chǎng)可以換算得到為-1.13×2.616/2.3＝-1.29MV/cm,若相應(yīng)位置處為甘油,則其內(nèi)最大徑向電場(chǎng)可換算得到為-1.13×2.616/44＝-67kV/cm。

上述仿真實(shí)例所用臺(tái)式計(jì)算機(jī)的微處理器為Intel i5 7600,主頻為2.8GHz,擴(kuò)展內(nèi)存為4Gbyte,完成所述二維電場(chǎng)仿真計(jì)算所用的時(shí)間約為1小時(shí)。

3 討論

對(duì)于所述的LTD二維電場(chǎng)數(shù)值仿真模型,如不采用等效介質(zhì)方法,因電場(chǎng)中最小徑向要素尺度僅為20μm（甘油）或更?。壳半姎夤こ逃镁郾┍∧ず穸瓤傻瓦_(dá)20μm以下,浸漬劑厚度應(yīng)比之更薄）,沿徑向的網(wǎng)格尺度將小到幾μm量級(jí)（例如5μm）,這樣徑向網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)將達(dá)到1250mm/5μm=250000以上,在采用正方形（有限差分法）或正多邊形（有限單元法）情況下,軸向網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)將在2500mm/5μm=500000以上,網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)很龐大[250000×500000=1.25×1011,僅全場(chǎng)二維網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電位數(shù)據(jù)（設(shè)為8byte雙精度十進(jìn)位浮點(diǎn)數(shù)）量即達(dá)8×1.25×1011=1000Gbyte]。而采用等效介質(zhì)方法,電場(chǎng)中最小要素尺度增大到cm量級(jí),網(wǎng)格尺度可以增大到1mm左右,因此徑向和軸向網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)分別減少到1250mm/1mm=1250和2500mm/1mm=2500,假設(shè)計(jì)算量大致正比于全場(chǎng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù),則二維仿真的計(jì)算量減少為簡(jiǎn)化前的（1250×2500）÷（250000×500000）=1/40000。

由于本文簡(jiǎn)化計(jì)算方法是在絕緣子儲(chǔ)存能量和電壓相同的條件下獲得等效介質(zhì)內(nèi)部的電場(chǎng)分量,然后根據(jù)物理規(guī)律[式（15）]逐點(diǎn)進(jìn)行仿真場(chǎng)量的換算,因此其正確性、有效性和誤差與非簡(jiǎn)化計(jì)算時(shí)相當(dāng)。

4 結(jié)論

本文方法不僅可用于二維電場(chǎng)數(shù)值仿真使網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)減少為非簡(jiǎn)化時(shí)的幾萬分之一,也可用于三維電場(chǎng)仿真更大程度地減少計(jì)算量。同時(shí),引入等效介電常數(shù)式（14）后,絕緣套管的電場(chǎng)一維解析計(jì)算公式（15）的物理含義較之式（10）更為清晰,更便于記憶。

最后需要指出,本文方法主要適用于非計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)人員利用常見仿真軟件進(jìn)行含有多層薄膜絕緣子的脈沖功率裝置的電場(chǎng)仿真,使用非均勻網(wǎng)格或亞網(wǎng)格等方法進(jìn)行仿真等情況不屬于本文討論范圍。