基于新型自卷積窗和插值補償?shù)牟蓸臃椒ㄑ芯?/h1>
2021-06-18 10:50:50張國強李亞琭胡志遠
自動化儀表 2021年4期
張國強,李亞琭,胡志遠
(北京東方計量測試研究所,北京 100086)
0 引言
在電學計量校準中,同時保證對正弦信號基波幅值測量和信號間相位差測量的準確度,對于測試校準有著十分重要的作用[1-2]。電學測量的主要研究方向之一為通過采樣方法獲得采樣點,再通過采樣點分析得到相關電學參數(shù)[3]。關于正弦信號幅值[4-5]、雙路正弦信號相位差[6-7]的分析方法有多種。這些方法被普遍應用于工頻諧波的幅值、頻率、無功功率的分析[8-10],以及工頻信號的相位差分析[11-12],并有著較高的準確度[13]。但是其主要應用于工頻正弦信號的諧波參數(shù)分析,無法滿足電學計量校準需求。
本文結合了加窗函數(shù)法和頻譜分析法,并且針對電學計量測試中連續(xù)正弦信號的特點,對兩種方法進行改進。該方法相比目前已經(jīng)存在的幅值和相位差測量法,更加適用于對計量校準用的正弦信號進行測量,并且幅值和相位差測量的精度均更高。
1 整周期采樣下的幅值、相位差測量
設定通過數(shù)字采樣得到的雙路同頻信號,且信號中沒有諧波,則其采樣數(shù)為N的采樣序列u1n和u2n可以表示為:
式中:f為信號的頻率;U1和U2分別為信號的幅值;φ1和φ2分別為信號的采樣初始相位;fs為采樣頻率。
在數(shù)字采樣中,如果采樣間隔Ts=和信號周期T=之間滿足關系NTs=aT(a為正整數(shù)),那么采樣就為整周期采樣。對整周期采樣條件下的兩路采樣序列um n(m=1,2) 作離散傅里葉變換(discrete Fourier tramsform,DFT),則可用式(3)表示為:
這時,可以直接通過X1k、X2k序列中的最大值位置p以及其所對應的計算出信號的幅值U1和U2,并且信號間的相位差φ=arg(X1p)-arg(X2p)。
2 非整周期采樣下的幅值、相位差測量
2.1 DFT 頻譜泄漏
在對實際正弦信號進行數(shù)字采樣時,被采樣的正弦信號中存在諧波,且采樣條件基本為非整周期采樣NTs=(a+Δ)T(a為正整數(shù)且＜1)。雙路信號的采樣序列u1n和u2n通過DFT 后,就會存在頻譜泄漏[14]。選擇u1n進行分析,并設=τ,那么實際采樣序列通過DFT 變換后的如式(4) 所示。其中,m為諧波次數(shù)。
此時,對于基波信號,其誤差e可以通過理想情況下的DFT 與實際采樣的DFT 作差得到。
分析式(5),可將基波的測量分為三部分誤差。長范圍泄漏誤差el是由于不同次諧波之間的相互干擾造成的。短范圍泄漏誤差es是由于采樣的柵欄效應導致的信號頻譜中峰值點的觀測偏差,包括峰值點的幅值、頻率以及相位。負頻點泄漏誤差en也是長范圍泄漏的一種。
其中:
為了減少DFT 的運算量,一般采用快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)算法代替DFT。FFT 對于采樣序列長度,N要求為:N=2x為正整數(shù)。
2.2 泄漏的修正方法
2.2.1 新型自卷積梯形窗的設計
本文采用加窗函數(shù)消除由于長范圍泄漏和負頻點泄漏引入的誤差。為了保證基波測量的準確性,通過選擇參數(shù)可調的窗函數(shù)[15],采用調節(jié)其參數(shù)的方式改變其主瓣寬度和旁瓣衰減速度。梯形窗是介于三角窗和矩形窗之間的窗函數(shù)。時域長度為M、上底長度為L的離散梯形窗如式(9)所示。
令L和M的比值為ε,即:
當ε 趨近于1 時,梯形窗近似于矩形窗;當ε 趨近于0 時,梯形窗近似于三角窗。通過調節(jié)ε,可以改變梯形窗的主瓣寬度、旁瓣峰值電平。
對式(9)所示的離線梯形窗函數(shù)施加單位階躍響應函數(shù)u(*)后,再將得到的響應函數(shù)通過z變換從離散時域向復頻域轉化,可得:
令z=ejω=cosω+j×sinω。將其代入式(11),就能夠得到梯形窗的頻譜響應函數(shù),如式(11)所示。
通過式(12),可得到梯形窗的主瓣寬度BW=通過調節(jié)ε,就可以調節(jié)矩形窗函數(shù)的主瓣寬度,同時旁瓣的峰值電平Asp(dB)也會變化。為了滿足FFT 運算對序列長度的要求,設定時域長度M=1 024,ε取值步長為0.1,觀察其旁瓣的峰值電平變化;在τ屬于 (0.1,0.2]或[0.2,0.3)中的某一個區(qū)間內(nèi),取到Asp的最大值衰減值。所以先取ε屬于區(qū)間(0.1,0.2],得到Asp的最大衰減值。ε對Asp的影響如表1 所示。
表1 ε 對Asp 的影響Tab.1 Effect of ε on Asp
通過表1 可知,選擇ε=0.15,此時旁瓣峰值電平為-32.75 dB。
為了進一步減小梯形窗的旁瓣峰值、提高其旁瓣衰減速率,對梯形窗進行自卷積運算,構建新型的梯形窗函數(shù)。
通過自卷積窗函數(shù)的定義,定義p階自卷積梯形窗為p個梯形窗進行卷積運算,即:
對于p階梯形窗,需要進行(p-1)次自卷積運算,運算后的新型窗函數(shù)的長度為pM-p+1。同樣,為了便于對窗函數(shù)序列進行FFT,所以對最終的卷積結果進行補零,使得離散梯形的自卷積窗wTp(n)的長度滿足N=pM。
根據(jù)式(11)和式(13),可以得到p階自卷積梯形窗的離散頻譜:
所以,p階自卷積梯形窗的主瓣寬度為B=1～4 階且ε=0.15 的自卷積梯形窗的旁瓣峰值電平Asp(dB)與卷積階數(shù)p滿足如式(16)所示關系。
2.2.2 譜線插值算法
通過構建新的自卷積梯形窗,利用窗函數(shù)的旁瓣衰減特性,能夠對非整周期采樣下的DFT(FFT)算法中存在的長范圍泄漏和負頻點泄漏進行抑制。而對于非整周期采樣下條件DFT 存在的短范圍泄漏誤差,則提出譜線插值算法進行修正。
對于非整周期采樣條件下的雙路信號序列u1n和u2n中的任意一路信號,其基波的幅頻信息的譜線應該介于其離散頻譜特性中幅值最大和次最大的兩根譜線之間。只考慮短范圍泄漏,并假設兩根譜線分別為第p根譜線和第(p+1)根譜線,基于式(4)進行推導,就可以得出第p根譜線和第(p+1)根譜線的值,如式(17)、式(18)所示:
Xp的實部Rp和虛部Ip分別為:
同理,對于第(p+1)根譜線對應的Xp+1,其虛部為:
2.4 血糖（Glu）和皮質醇（Cor） 兩組病人組間比較，T3、T4時間點B組Glu和Cor均高于A組，且差異有統(tǒng)計學差異（P＜0.01）。A組Glu于T4時明顯高于T1（P＜0.05）；A 組 Cor于 T3、T4時較 T1顯著升高（P＜0.01）。 B 組 Glu 于 T2～T4時明顯高于 T1（P＜0.01）；B組 Cor于 T3、T4時明顯高于 T1(P＜0.01)。 見表 4。
式中:p和(p+1)為基波的幅頻特性曲線中幅值最大譜線以及次最大值譜線所對應的位置;N為采樣點數(shù);λ為兩條譜線所對應的值的虛部之比。其均為已知量,僅τ為未知量。
在求出τ之后,就可以求出α、β。再通過式(20)和式(21),可得:
同樣地,在求出α、β后,由于Rp和Ip已知,可以反解出a和b的值。
可以計算出該路信號的基波幅值為:
初始相位為:
2.2.3 幅值和相位差的精確測量方法
對雙路連續(xù)正弦信號的基波幅值和相位差,通過采樣以及采樣算法進行精確測量。所得到的實際雙路信號采樣圖如圖1 所示。對于每一次采樣,都可以通過加自卷積梯形窗的補償算法準確測量每一路正弦信號的幅值信息。但是在實際采樣中,無法保證采樣的起始點能夠剛好與信號源發(fā)生的起始點重合,而且在第二次采樣過程中,前一次采樣的數(shù)據(jù)處理也會使得采樣不連續(xù)。所以對于單路信號,計算得到的初始相位值均對應采樣器進行單次采樣的初始相位,初始相位值會持續(xù)變化。
圖1 實際雙路信號采樣圖Fig.1 Actual dual signal sampling diagram
雖然采樣測量的初始相位會隨機變化,但是對于第一次采樣,其主要造成的偏差在于采樣器進行采樣的時間起點延時于信號源發(fā)生的起點而產(chǎn)生的相移φs,以及非整周期采樣條件下進行DFT 而引入的初始相位測量誤差φn。所以,當雙路正弦信號同時發(fā)生,且通過采樣器雙路信號同時采樣時,其初始相位的實際值φ1、φ2和通過采樣得到初始相位測量值φa、φb的關系可以表示為:
通過本文所描述的補償算法,可以消除非整周期采樣下進行DFT 所引入的初始相位測量誤差?；谕瑫r采樣的條件,所以兩路信號由于信號源發(fā)生與采樣器采樣不同步引起的相移φs相同。兩路信號的相位差為:
式中:φ′1、φ′2為通過插值補償算法求出采樣信號序列的初始相位,其中已經(jīng)不包含非整周期采樣下進行DFT所引入的初始相位測量誤差。
從第二次采樣開始,除了φs與φn,單通道初始相位測量中還存在由于計算上次采樣數(shù)據(jù)而造成的時移產(chǎn)生的相移Δφ。所以對于同頻且同時發(fā)生的雙路信號,對其進行同時采樣計算,有:
2 路信號的相位差為:
通過加自卷積梯形窗的補償算法與采樣器的同時采樣相結合的方法,可以精確測量兩路信號之間的相位差。完整的基于新型自卷積窗和插值補償?shù)牟蓸臃椒ㄈ缦隆?/p>
①由設定好采樣頻率和采樣點數(shù)的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng),對雙路正弦連續(xù)信號進行同時、連續(xù)采樣,在每個采樣循環(huán)中生成一組帶有雙路信號采樣值的離散序列。②將離散序列進行加自卷積梯形窗的FFT 變換。③查找FFT 變換后,雙路信號各自頻譜中幅值最大的譜線以及幅值次最大的譜線,記錄其位置和以及兩條譜線各自實部和虛部的大小。④通過算法描述計算τ。⑤利用τ計算雙路信號基波幅值的準確值U1、U2,和消除了DFT 誤差的信號采樣初始相位φ′1、φ′2。⑥直接作差,計算兩路信號的相位差φ。
3 試驗驗證
為了驗證自卷積梯形窗及譜線插值補償方法的有效性,并且針對交流電阻中對于基波測量準確度的需求,通過Matlab 生成離散序列模擬非整周期采樣下,帶有微小諧波分量的類正弦波形信號,再通過傳統(tǒng)的DFT 算法和本章所設計的自卷積梯形窗三譜線插值算法進行對比。其中,自卷積梯形窗為三階。假設被測信號為:
設定信號頻率f=101 Hz、采樣頻率為1 kHz,正弦信號的基波仿真計算結果如表2 所示。通過分析2n(n=7,8,9,10)個采樣點,使其滿足FFT 算法的點數(shù)要求。通過分析基波(1 次諧波)的數(shù)據(jù),驗證補償算法是否能夠消除傳統(tǒng)DFT 在非整周期采樣下存在的長范圍泄漏、負頻點泄漏以及短泄漏問題。
表2 正弦信號的基波仿真計算結果(f=101 Hz,fs=1 kHz)Tab.2 Fundamental wave simulation results of sine signal(f=101 Hz,fs=1 kHz)
由表2 可知,相對于傳統(tǒng)的傅里葉變換,設計的補償算法能夠極大地提高測量雙路正弦信號的基波幅值、相位差的準確度。隨著采樣點數(shù)的增加,自卷積梯形窗函數(shù)的主瓣寬度更窄,旁瓣衰減更快。其抑制頻譜泄漏的能力就越強,算法就能夠更加準確地測量正弦信號的基波幅值信息和初始相位信息。標準源法校驗補償算法幅值測量準確度如圖2 所示。
圖2 標準源法校驗補償算法幅值測量準確度示意圖Fig.2 Accuracy of the amplitude measurement of the compensation algorithm using the standard source
為了驗證補償算法在實際測試中幅值測量的性能,采用標準源法對算法進行測試。使用標準信號源Fluke 5720A 作為試驗的標準信號輸出儀器。使用LabVIEW,通過編程實現(xiàn)算法;同時,令該程序能夠驅動波形采樣的硬件設備,形成一臺虛擬采樣測試儀器。測試儀的程序中同時寫入加漢寧窗的DFT 算法和全相傅里葉變換算法,與本文設計的自卷積補償算法進行對比。
設定標準源的幅值輸出范圍為1～4 V,輸出間隔為0.5 V,頻率分別為100 Hz、1 kHz、10 kHz 和100 kHz。使用標準源法驗證算法的準確性,將標準源5720A 的示值Vr作為真值,Vx則是通過采樣算法計算得到的實際測量值。相對誤差δ可通過式(37)計算:
測試完成后,4 個頻率點下的試驗數(shù)據(jù)結果如表3～表6 所示。
表3 標準源法Fluke-5720A 校準算法幅值測試準確度(100 Hz)Tab.3 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(100 Hz)
表4 標準源法Fluke-5720A 校準算法幅值測試準確度(1 kHz)Tab.4 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(1 kHz)
表5 標準源法Fluke-5720A 校準算法幅值測試準確度(10 kHz)Tab.5 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(10 kHz)
表6 標準源法fluke-5720A 校準算法幅值測試準確度(100 kHz)Tab.6 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(100 kHz)
通過對比表3～表6 數(shù)據(jù)可以看到,在100 Hz～100 kHz 頻率范圍內(nèi)和1～4 V 幅值范圍內(nèi),3 種算法均有良好的穩(wěn)定性。對于標準源5720A 基波的測量,使用自卷積梯形窗補償算法的測量誤差在0.001%附近;全相傅里葉變換算法的測量誤差比補償算法高1 個數(shù)量級,測量誤差在0.02%左右;加漢寧窗的DFT 算法誤差僅為0.1%左右。所以,自卷積梯形窗補償算法能夠準確測量幅值準確度,運用在虛擬儀器技術中,能夠對信號源輸出的正弦信號的幅值進行更加精確、穩(wěn)定的測量。
4 結論
本文針對電學計量中雙路連續(xù)信號的幅值和相位差的準確測量,在雙路正弦信號存在諧波的情況下,分析了非整周期采樣條件下使用傳統(tǒng)DFT 算法分析正弦信號存在的誤差。通過調節(jié)梯形窗參數(shù)和對梯形窗進行自卷積運算得到的新型窗函數(shù),對誤差中存在的長范圍泄漏和負頻點進行抑制。采用加窗FFT 后的序列中最大的兩根譜線,并直接通過數(shù)值運算對誤差中的短范圍泄露進行補償,提高幅值和相位差測量的準確度。仿真試驗表明,所提出的方法對幅值和相位差的測量具有很高的準確度,而實際測量試驗則證明了該方法運用在虛擬儀器技術中同樣具有更好的準確性和穩(wěn)定性。
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本文結合了加窗函數(shù)法和頻譜分析法,并且針對電學計量測試中連續(xù)正弦信號的特點,對兩種方法進行改進。該方法相比目前已經(jīng)存在的幅值和相位差測量法,更加適用于對計量校準用的正弦信號進行測量,并且幅值和相位差測量的精度均更高。
1 整周期采樣下的幅值、相位差測量
設定通過數(shù)字采樣得到的雙路同頻信號,且信號中沒有諧波,則其采樣數(shù)為N的采樣序列u1n和u2n可以表示為:
式中:f為信號的頻率;U1和U2分別為信號的幅值;φ1和φ2分別為信號的采樣初始相位;fs為采樣頻率。
在數(shù)字采樣中,如果采樣間隔Ts=和信號周期T=之間滿足關系NTs=aT(a為正整數(shù)),那么采樣就為整周期采樣。對整周期采樣條件下的兩路采樣序列um n(m=1,2) 作離散傅里葉變換(discrete Fourier tramsform,DFT),則可用式(3)表示為:
這時,可以直接通過X1k、X2k序列中的最大值位置p以及其所對應的計算出信號的幅值U1和U2,并且信號間的相位差φ=arg(X1p)-arg(X2p)。
2 非整周期采樣下的幅值、相位差測量
2.1 DFT 頻譜泄漏
在對實際正弦信號進行數(shù)字采樣時,被采樣的正弦信號中存在諧波,且采樣條件基本為非整周期采樣NTs=(a+Δ)T(a為正整數(shù)且＜1)。雙路信號的采樣序列u1n和u2n通過DFT 后,就會存在頻譜泄漏[14]。選擇u1n進行分析,并設=τ,那么實際采樣序列通過DFT 變換后的如式(4) 所示。其中,m為諧波次數(shù)。
此時,對于基波信號,其誤差e可以通過理想情況下的DFT 與實際采樣的DFT 作差得到。
分析式(5),可將基波的測量分為三部分誤差。長范圍泄漏誤差el是由于不同次諧波之間的相互干擾造成的。短范圍泄漏誤差es是由于采樣的柵欄效應導致的信號頻譜中峰值點的觀測偏差,包括峰值點的幅值、頻率以及相位。負頻點泄漏誤差en也是長范圍泄漏的一種。
其中:
為了減少DFT 的運算量,一般采用快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)算法代替DFT。FFT 對于采樣序列長度,N要求為:N=2x為正整數(shù)。
2.2 泄漏的修正方法
2.2.1 新型自卷積梯形窗的設計
本文采用加窗函數(shù)消除由于長范圍泄漏和負頻點泄漏引入的誤差。為了保證基波測量的準確性,通過選擇參數(shù)可調的窗函數(shù)[15],采用調節(jié)其參數(shù)的方式改變其主瓣寬度和旁瓣衰減速度。梯形窗是介于三角窗和矩形窗之間的窗函數(shù)。時域長度為M、上底長度為L的離散梯形窗如式(9)所示。
令L和M的比值為ε,即:
當ε 趨近于1 時,梯形窗近似于矩形窗;當ε 趨近于0 時,梯形窗近似于三角窗。通過調節(jié)ε,可以改變梯形窗的主瓣寬度、旁瓣峰值電平。
對式(9)所示的離線梯形窗函數(shù)施加單位階躍響應函數(shù)u(*)后,再將得到的響應函數(shù)通過z變換從離散時域向復頻域轉化,可得:
令z=ejω=cosω+j×sinω。將其代入式(11),就能夠得到梯形窗的頻譜響應函數(shù),如式(11)所示。
通過式(12),可得到梯形窗的主瓣寬度BW=通過調節(jié)ε,就可以調節(jié)矩形窗函數(shù)的主瓣寬度,同時旁瓣的峰值電平Asp(dB)也會變化。為了滿足FFT 運算對序列長度的要求,設定時域長度M=1 024,ε取值步長為0.1,觀察其旁瓣的峰值電平變化;在τ屬于 (0.1,0.2]或[0.2,0.3)中的某一個區(qū)間內(nèi),取到Asp的最大值衰減值。所以先取ε屬于區(qū)間(0.1,0.2],得到Asp的最大衰減值。ε對Asp的影響如表1 所示。
表1 ε 對Asp 的影響Tab.1 Effect of ε on Asp
通過表1 可知,選擇ε=0.15,此時旁瓣峰值電平為-32.75 dB。
為了進一步減小梯形窗的旁瓣峰值、提高其旁瓣衰減速率,對梯形窗進行自卷積運算,構建新型的梯形窗函數(shù)。
通過自卷積窗函數(shù)的定義,定義p階自卷積梯形窗為p個梯形窗進行卷積運算,即:
對于p階梯形窗,需要進行(p-1)次自卷積運算,運算后的新型窗函數(shù)的長度為pM-p+1。同樣,為了便于對窗函數(shù)序列進行FFT,所以對最終的卷積結果進行補零,使得離散梯形的自卷積窗wTp(n)的長度滿足N=pM。
根據(jù)式(11)和式(13),可以得到p階自卷積梯形窗的離散頻譜:
所以,p階自卷積梯形窗的主瓣寬度為B=1～4 階且ε=0.15 的自卷積梯形窗的旁瓣峰值電平Asp(dB)與卷積階數(shù)p滿足如式(16)所示關系。
2.2.2 譜線插值算法
通過構建新的自卷積梯形窗,利用窗函數(shù)的旁瓣衰減特性,能夠對非整周期采樣下的DFT(FFT)算法中存在的長范圍泄漏和負頻點泄漏進行抑制。而對于非整周期采樣下條件DFT 存在的短范圍泄漏誤差,則提出譜線插值算法進行修正。
對于非整周期采樣條件下的雙路信號序列u1n和u2n中的任意一路信號,其基波的幅頻信息的譜線應該介于其離散頻譜特性中幅值最大和次最大的兩根譜線之間。只考慮短范圍泄漏,并假設兩根譜線分別為第p根譜線和第(p+1)根譜線,基于式(4)進行推導,就可以得出第p根譜線和第(p+1)根譜線的值,如式(17)、式(18)所示:
Xp的實部Rp和虛部Ip分別為:
同理,對于第(p+1)根譜線對應的Xp+1,其虛部為:
2.4 血糖（Glu）和皮質醇（Cor） 兩組病人組間比較，T3、T4時間點B組Glu和Cor均高于A組，且差異有統(tǒng)計學差異（P＜0.01）。A組Glu于T4時明顯高于T1（P＜0.05）；A 組 Cor于 T3、T4時較 T1顯著升高（P＜0.01）。 B 組 Glu 于 T2～T4時明顯高于 T1（P＜0.01）；B組 Cor于 T3、T4時明顯高于 T1(P＜0.01)。 見表 4。
式中:p和(p+1)為基波的幅頻特性曲線中幅值最大譜線以及次最大值譜線所對應的位置;N為采樣點數(shù);λ為兩條譜線所對應的值的虛部之比。其均為已知量,僅τ為未知量。
在求出τ之后,就可以求出α、β。再通過式(20)和式(21),可得:
同樣地,在求出α、β后,由于Rp和Ip已知,可以反解出a和b的值。
可以計算出該路信號的基波幅值為:
初始相位為:
2.2.3 幅值和相位差的精確測量方法
對雙路連續(xù)正弦信號的基波幅值和相位差,通過采樣以及采樣算法進行精確測量。所得到的實際雙路信號采樣圖如圖1 所示。對于每一次采樣,都可以通過加自卷積梯形窗的補償算法準確測量每一路正弦信號的幅值信息。但是在實際采樣中,無法保證采樣的起始點能夠剛好與信號源發(fā)生的起始點重合,而且在第二次采樣過程中,前一次采樣的數(shù)據(jù)處理也會使得采樣不連續(xù)。所以對于單路信號,計算得到的初始相位值均對應采樣器進行單次采樣的初始相位,初始相位值會持續(xù)變化。
圖1 實際雙路信號采樣圖Fig.1 Actual dual signal sampling diagram
雖然采樣測量的初始相位會隨機變化,但是對于第一次采樣,其主要造成的偏差在于采樣器進行采樣的時間起點延時于信號源發(fā)生的起點而產(chǎn)生的相移φs,以及非整周期采樣條件下進行DFT 而引入的初始相位測量誤差φn。所以,當雙路正弦信號同時發(fā)生,且通過采樣器雙路信號同時采樣時,其初始相位的實際值φ1、φ2和通過采樣得到初始相位測量值φa、φb的關系可以表示為:
通過本文所描述的補償算法,可以消除非整周期采樣下進行DFT 所引入的初始相位測量誤差?；谕瑫r采樣的條件,所以兩路信號由于信號源發(fā)生與采樣器采樣不同步引起的相移φs相同。兩路信號的相位差為:
式中:φ′1、φ′2為通過插值補償算法求出采樣信號序列的初始相位,其中已經(jīng)不包含非整周期采樣下進行DFT所引入的初始相位測量誤差。
從第二次采樣開始,除了φs與φn,單通道初始相位測量中還存在由于計算上次采樣數(shù)據(jù)而造成的時移產(chǎn)生的相移Δφ。所以對于同頻且同時發(fā)生的雙路信號,對其進行同時采樣計算,有:
2 路信號的相位差為:
通過加自卷積梯形窗的補償算法與采樣器的同時采樣相結合的方法,可以精確測量兩路信號之間的相位差。完整的基于新型自卷積窗和插值補償?shù)牟蓸臃椒ㄈ缦隆?/p>
①由設定好采樣頻率和采樣點數(shù)的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng),對雙路正弦連續(xù)信號進行同時、連續(xù)采樣,在每個采樣循環(huán)中生成一組帶有雙路信號采樣值的離散序列。②將離散序列進行加自卷積梯形窗的FFT 變換。③查找FFT 變換后,雙路信號各自頻譜中幅值最大的譜線以及幅值次最大的譜線,記錄其位置和以及兩條譜線各自實部和虛部的大小。④通過算法描述計算τ。⑤利用τ計算雙路信號基波幅值的準確值U1、U2,和消除了DFT 誤差的信號采樣初始相位φ′1、φ′2。⑥直接作差,計算兩路信號的相位差φ。
3 試驗驗證
為了驗證自卷積梯形窗及譜線插值補償方法的有效性,并且針對交流電阻中對于基波測量準確度的需求,通過Matlab 生成離散序列模擬非整周期采樣下,帶有微小諧波分量的類正弦波形信號,再通過傳統(tǒng)的DFT 算法和本章所設計的自卷積梯形窗三譜線插值算法進行對比。其中,自卷積梯形窗為三階。假設被測信號為:
設定信號頻率f=101 Hz、采樣頻率為1 kHz,正弦信號的基波仿真計算結果如表2 所示。通過分析2n(n=7,8,9,10)個采樣點,使其滿足FFT 算法的點數(shù)要求。通過分析基波(1 次諧波)的數(shù)據(jù),驗證補償算法是否能夠消除傳統(tǒng)DFT 在非整周期采樣下存在的長范圍泄漏、負頻點泄漏以及短泄漏問題。
表2 正弦信號的基波仿真計算結果(f=101 Hz,fs=1 kHz)Tab.2 Fundamental wave simulation results of sine signal(f=101 Hz,fs=1 kHz)
由表2 可知,相對于傳統(tǒng)的傅里葉變換,設計的補償算法能夠極大地提高測量雙路正弦信號的基波幅值、相位差的準確度。隨著采樣點數(shù)的增加,自卷積梯形窗函數(shù)的主瓣寬度更窄,旁瓣衰減更快。其抑制頻譜泄漏的能力就越強,算法就能夠更加準確地測量正弦信號的基波幅值信息和初始相位信息。標準源法校驗補償算法幅值測量準確度如圖2 所示。
圖2 標準源法校驗補償算法幅值測量準確度示意圖Fig.2 Accuracy of the amplitude measurement of the compensation algorithm using the standard source
為了驗證補償算法在實際測試中幅值測量的性能,采用標準源法對算法進行測試。使用標準信號源Fluke 5720A 作為試驗的標準信號輸出儀器。使用LabVIEW,通過編程實現(xiàn)算法;同時,令該程序能夠驅動波形采樣的硬件設備,形成一臺虛擬采樣測試儀器。測試儀的程序中同時寫入加漢寧窗的DFT 算法和全相傅里葉變換算法,與本文設計的自卷積補償算法進行對比。
設定標準源的幅值輸出范圍為1～4 V,輸出間隔為0.5 V,頻率分別為100 Hz、1 kHz、10 kHz 和100 kHz。使用標準源法驗證算法的準確性,將標準源5720A 的示值Vr作為真值,Vx則是通過采樣算法計算得到的實際測量值。相對誤差δ可通過式(37)計算:
測試完成后,4 個頻率點下的試驗數(shù)據(jù)結果如表3～表6 所示。
表3 標準源法Fluke-5720A 校準算法幅值測試準確度(100 Hz)Tab.3 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(100 Hz)
表4 標準源法Fluke-5720A 校準算法幅值測試準確度(1 kHz)Tab.4 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(1 kHz)
表5 標準源法Fluke-5720A 校準算法幅值測試準確度(10 kHz)Tab.5 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(10 kHz)
表6 標準源法fluke-5720A 校準算法幅值測試準確度(100 kHz)Tab.6 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(100 kHz)
通過對比表3～表6 數(shù)據(jù)可以看到,在100 Hz～100 kHz 頻率范圍內(nèi)和1～4 V 幅值范圍內(nèi),3 種算法均有良好的穩(wěn)定性。對于標準源5720A 基波的測量,使用自卷積梯形窗補償算法的測量誤差在0.001%附近;全相傅里葉變換算法的測量誤差比補償算法高1 個數(shù)量級,測量誤差在0.02%左右;加漢寧窗的DFT 算法誤差僅為0.1%左右。所以,自卷積梯形窗補償算法能夠準確測量幅值準確度,運用在虛擬儀器技術中,能夠對信號源輸出的正弦信號的幅值進行更加精確、穩(wěn)定的測量。
4 結論
本文針對電學計量中雙路連續(xù)信號的幅值和相位差的準確測量,在雙路正弦信號存在諧波的情況下,分析了非整周期采樣條件下使用傳統(tǒng)DFT 算法分析正弦信號存在的誤差。通過調節(jié)梯形窗參數(shù)和對梯形窗進行自卷積運算得到的新型窗函數(shù),對誤差中存在的長范圍泄漏和負頻點進行抑制。采用加窗FFT 后的序列中最大的兩根譜線,并直接通過數(shù)值運算對誤差中的短范圍泄露進行補償,提高幅值和相位差測量的準確度。仿真試驗表明,所提出的方法對幅值和相位差的測量具有很高的準確度,而實際測量試驗則證明了該方法運用在虛擬儀器技術中同樣具有更好的準確性和穩(wěn)定性。
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