楊青山，劉世忠，周 倩

（1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅省慶陽市建筑設(shè)計院，甘肅 慶陽 745000）

0 引言

薄壁箱形截面梁因其良好的抗彎和抗扭性能，而被廣泛應(yīng)用。梁體受到橫向荷載時，截面正應(yīng)力沿著上、下翼緣板的水平方向分布并不均勻，被稱為剪力滯效應(yīng)。

多年來，許多學(xué)者對箱梁剪力滯效應(yīng)進行了研究。其中基于最小勢能原理的變分法應(yīng)用較多。由變分法還可進一步發(fā)展出分析剪力滯效應(yīng)的一維梁段有限元法［1-3］。Reissner［4］首次利用變分法進行無懸臂的矩形混凝土箱梁剪力滯效應(yīng)分析。進行變分法分析時，選取廣義位移建立橫向翹曲函數(shù)最為關(guān)鍵［5，6］，其反映了翹曲位移在翼板中的橫向分布。倪元增等［7］、CHANG 等［8］假設(shè)考慮剪力滯效應(yīng)后應(yīng)力中性軸仍通過截面形心，采用翼緣轉(zhuǎn)角最大差值作為廣義位移進行分析。Dezi 等［9］、LUO 等［10］、韋成龍等［11］對箱梁的懸臂板、頂板、底板采用 3 個不同的轉(zhuǎn)角最大差值作為廣義位移進行剪力滯分析以提高精度。楊綠峰等、張元海等將剪力滯附加撓度作為廣義位移，將箱梁受彎撓度分解為基于平截面假定的初等梁理論計算出的撓度和剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加撓度，物理意義更為明確。根據(jù)彈性理論，截面正應(yīng)力的合力應(yīng)等于外荷載產(chǎn)生的截面軸力，合力矩應(yīng)等于截面彎矩。倪元增等以附加翹曲位移的方式考慮了翹曲應(yīng)力合力為零的自平衡條件；藺鵬臻等［12］分析了翹曲應(yīng)力中性軸為形心軸時，產(chǎn)生的附加軸力對剪力滯效應(yīng)影響較??；周堅等［13，14］以修正位移函數(shù)的方式考慮了翹曲應(yīng)力合力矩為零的平衡條件。張元海等通過修正翹曲位移函數(shù)考慮軸力平衡條件，引入剪力滯廣義力矩考慮彎矩平衡條件。以上分析研究中，多假設(shè)剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的翹曲應(yīng)力在豎向的中性軸與截面形心軸重合。以此為出發(fā)點，為滿足截面應(yīng)力合力及合力矩的平衡條件，再對翹曲位移函數(shù)進行修正，同時引入廣義力等概念，分析計算過程較為抽象和復(fù)雜。

為簡化概念，本文考慮剪力滯翹曲應(yīng)力中性軸與截面形心軸有相對偏移，以箱梁腹板的彎曲截面轉(zhuǎn)角φ和剪力滯附加撓度f作為廣義位移構(gòu)造橫向翹曲位移函數(shù)；利用變分法推導(dǎo)翹曲應(yīng)力和附加撓度計算公式。并在所提出的分析方法得到驗證的基礎(chǔ)上，運用參數(shù)分析法，對是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移對箱梁截面正應(yīng)力的不同影響進行研究。

1 翹曲位移函數(shù)及截面正應(yīng)力

圖 1 所示的單室箱梁在豎向荷載q（x）作用下發(fā)生撓曲變形，坐標系原點 O 位于截面形心。過 O*的水平線為剪力滯翹曲應(yīng)力的中性軸位置。OO*的距離即為翹曲應(yīng)力中性軸相對于截面形心軸的偏移量。z*為與 O*相對應(yīng)的豎向坐標。由圖 1 可知，有關(guān)系z*=z-hu*+hu。記頂板、底板和懸臂板的面積分別為A1=b1tu、A2=b2tb、A3=b3tu，對于形心軸的慣性矩分別為I1=A1hu2、I2=A2hb2、I3=A3hu2，對于翹曲應(yīng)力中性軸的慣性矩為I1*=A1hu*2、I2*=A2hb*2、I3*=A3hu*2；腹板對于中性軸的慣性矩為Iw=tw（hu3+hb3）/3，對于翹曲應(yīng)力中性軸的慣性矩為Iw*=tw（hu*3+hb*3）/3；As=A1+A2+A3，Is=I1+I2+I3，I=Is+Iw，Is*=I1*+I2*+I3*，I*=Is*+Iw*。

圖1 箱梁縱向橫向簡圖

截面任一點處的縱向位移u（x，y，z）由基于平截面假定的彎曲變形和剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加變形效應(yīng)組成，其函數(shù)表達式為：

式中：u0（x，z）為平截面假定下彎曲變形產(chǎn)生的縱向位移，m；uw（x，y，z）為剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的翹曲位移，m；φ=ω′-γ為平截面假定下梁體的截面轉(zhuǎn)角，rad；ω為包括彎、剪效應(yīng)在內(nèi)的豎向總撓度，m；γ為截面豎向剪切應(yīng)變，rad，假定剪力全部由腹板承擔(dān)且剪應(yīng)力在腹板均勻分布，則γ=Q/（GAW），Q為截面處的剪力，kN，G為彈性剪切模量，MPa，AW為腹板的截面積，m2；ωξ（y，z*）為剪力滯翹曲位移函數(shù)；f為剪力滯附加撓度，m，f′為因剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的腹板截面轉(zhuǎn)角，rad。

假定箱梁截面中腹板始終保持為平面僅發(fā)生φ和f′的轉(zhuǎn)角，各翼緣板及腹板的剪力滯位移函數(shù)ωξ（y，z）可以表示為：

式中：α為與截面幾何參數(shù)相關(guān)的待定系數(shù)，反映了翹曲應(yīng)力在翼緣板橫向的相對變化幅度。對于頂板，z*= -hu*，bi=b1；對于底板z*=hb*，bi=b2；對于懸臂板z*=-hu*，bi=b3；對于腹板ωξ（y，z*）=z*。

由彈性理論的幾何方程和物理方程，由（1）式可求得截面正應(yīng)力：

式中：σ0（y，z）為基于平截面假定的正應(yīng)力，MPa；σw（x，y，z）為剪力滯翹曲應(yīng)力，MPa；E為楊氏彈性模量，MPa。

以及翹曲位移函數(shù)中參數(shù)α=-πI*/（2Is*）。

若不考慮翹曲應(yīng)力中性軸相對于截面形心軸的偏移，則hu*=hu，α=-πI/（2Is），此時截面翹曲應(yīng)力僅滿足合力矩為零的條件。以上推導(dǎo)可知α和hu*均與外荷載形式無關(guān)，僅取決于截面的幾何參數(shù)。

2 控制微分方程建立及求解

以上述翹曲位移函數(shù)為基礎(chǔ)，按能量變分法的一般求解過程列出總勢能泛函表達式，結(jié)合結(jié)構(gòu)在荷載作用下處于平衡狀態(tài)時其總勢能的一階變分為零的條件，可得出控制微分方程和自然邊界條件如下：

對x求導(dǎo)，并考慮q（x）=-Q′可得

附加撓度微分方程（10）的通解一般形式為：

式中：C1～C4為待定常數(shù)，可由箱梁兩端的邊界條件確定；f*為與q（x）相關(guān)的特解。確定常數(shù)C1～C4時的邊界條件為：固定端，f=0，f′=0；簡支端f=0，f″=0；自由端，f″=0，f（3）-k2f′=0。

對于承受滿跨均布荷載q（x）=q的簡支梁，其剪力滯附加撓度計算公式如下：

對于圖 2 所示跨內(nèi)承受集中力P作用的簡支梁，附加撓度為分段函數(shù)，左右兩梁段分別用下標L和R來區(qū)分。其應(yīng)滿足的邊界條件和連續(xù)性條件如下：

圖2 跨內(nèi)承受集中力的簡支梁

利用以上條件代入式（10），可求得集中力作用下剪力滯附加撓度計算公式如下：

利用（12）～（14）式計算得出f′′代入（6）式中即可求得截面各點處的翹曲應(yīng)力。

3 算例分析

跨徑為 800 mm 的有機玻璃簡支箱梁模型［15］，截面尺寸及計算位置如圖 3 所示。在跨中截面腹板頂對稱作用集中力，總值為P=272.2 N。材料彈性模量為 3 000 MPa，泊松比為 0.385。

圖3 箱梁模型截面尺寸（單位：mm）

將用本文方法求得跨中截面正應(yīng)力值與文獻［15］提供的有限元計算值和實測值列于表 1 中進行比較。由表 1 可以看出本文計算值與有限元結(jié)果和模型實測結(jié)果總體吻合良好，驗證了本文方法的合理性。

表1 簡支箱梁模型應(yīng)力比較 MPa

圖 4 所示為用本文方法求得的跨中截面正應(yīng)力（記為σ*）與不考慮翹曲應(yīng)力中性軸偏移求得的應(yīng)力值（記為σ）的對比圖?？梢钥闯鍪欠窨紤]翹曲應(yīng)力中性軸對形心軸的偏移，會影響到翹曲應(yīng)力在箱梁豎向，頂緣和底緣中的分布。其中前者頂板的應(yīng)力變化幅度更大，即σ*包絡(luò)σ；后者底板的應(yīng)力變化幅度更大，即σ包絡(luò)σ*。定義正應(yīng)力相對差值：

圖4 箱梁截面正應(yīng)力對比

本算例中，腹板頂部λn=-10.35 %（|σ*|＞|σ|），腹板底部λn=-10.71 %（|σ*|＜|σ|），影響差別較大。

4 幾何參數(shù)影響分析

從上節(jié)算例分析可以看出，因是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移而產(chǎn)生的截面正應(yīng)力的差別較大。以往文獻由于分析方法的不同對于此因素的影響程度研究較少。由前文分析可知翹曲位移函數(shù)中參數(shù)α和中性軸的位置hu*均與外荷載形式無關(guān)，僅隨截面幾何參數(shù)變化。為研究各幾何參數(shù)的影響趨勢，本文結(jié)合前述算例，在不同高寬比和寬跨比條件下，分析因是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸偏移而產(chǎn)生的截面正應(yīng)力的差別。

4.1 高寬比 h/b1 的影響分析

梁高h分別取 80，100，120，150 mm，其余條件均同上節(jié)算例。此時h/b1分別為 0.8，1.0，1.2，1.5?？缰薪孛嫔?、下翼緣板正應(yīng)力相對差值λn如圖 5 所示。

圖5 不同高寬比下跨中截面應(yīng)力相對差值

由圖 5 可知，不同高寬比下簡支箱梁跨中截面上、下翼緣的相對應(yīng)力差值曲線偏差很小，絕對值均在 3 % 以內(nèi)。即不同高寬比下，是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移對截面正應(yīng)力影響不大。

4.2 寬跨比 b1/l 的影響分析

跨徑l分別取 500、1 000、2 000、4 000 mm，其余條件均同上節(jié)算例。此時b1/l分別為 0.2，0.1，0.05，0.025。

由圖 6 可知：正應(yīng)力相對差值橫向變化曲線與翹曲位移函數(shù)變化規(guī)律一致，呈余弦函數(shù)變化。其中若考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移，翹曲位移函數(shù)中參數(shù)α=-1.741 4；若不考慮，則α=-1.806 3；兩者很接近。所以雖然寬跨比不同，但圖 6 中各條曲線的橫向變化趨勢基本一致。不論是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移，其橫向的翹曲位移零點位置基本相同。隨著寬跨比的增大，翹曲位移零點兩側(cè)的正應(yīng)力相對差值絕對值也在增大。當寬跨比大于 0.1 時，箱梁橫向位置 0，100，200 mm 處正應(yīng)力相對差值即超過 5 %；當寬跨比為 0.2 時，以上橫向位置處正應(yīng)力相對差值均超過 20 %。因此，當寬跨比較大時，若不考慮剪力滯翹曲應(yīng)力中性軸相對于形心軸的偏移，將對應(yīng)力結(jié)果產(chǎn)生較大影響。

5 結(jié)論

1）為同時滿足剪力滯翹曲應(yīng)力在截面上的合力及合力矩平衡條件，考慮翹曲應(yīng)力的中性軸相對截面形心軸發(fā)生偏離，基于此可以建立更合理的翹曲位移函數(shù)。通過求解變分法控制微分方程，得出簡支梁在均布荷載及跨內(nèi)集中力作用下的翹曲應(yīng)力和附加撓度計算公式。以此計算簡支模型梁的應(yīng)力值與有限元解和實測值吻合良好，驗證了本文方法的合理性。

2）同時考慮薄壁箱梁截面的彎曲撓度、剪切撓度和剪力滯附加撓度建立翹曲位移函數(shù)，利用變分法推導(dǎo)控制微分方程的過程說明，剪力滯效應(yīng)與初等梁理論下的彎曲及剪切效應(yīng)相互解耦。

3）通過參數(shù)分析因是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸偏移而產(chǎn)生的應(yīng)力差別，結(jié)果表明高寬比的影響較小而寬跨比的影響較大，且寬跨比越大，相對差值越大。當寬跨比為 0.2 時，應(yīng)力相對差值可達 20 % 以上。因此，對于寬跨比較大的箱梁應(yīng)力求解，為提高精度，應(yīng)考慮剪力滯翹曲應(yīng)力中性軸相對于截面形心軸的偏移。Q