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        考慮翹曲應(yīng)力中性軸偏移的箱梁剪力滯效應(yīng)分析

        2021-06-18 13:21:34楊青山劉世忠
        工程質(zhì)量 2021年5期
        關(guān)鍵詞:心軸腹板差值

        楊青山,劉世忠,周 倩

        (1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070;2.甘肅省慶陽(yáng)市建筑設(shè)計(jì)院,甘肅 慶陽(yáng) 745000)

        0 引言

        薄壁箱形截面梁因其良好的抗彎和抗扭性能,而被廣泛應(yīng)用。梁體受到橫向荷載時(shí),截面正應(yīng)力沿著上、下翼緣板的水平方向分布并不均勻,被稱(chēng)為剪力滯效應(yīng)。

        多年來(lái),許多學(xué)者對(duì)箱梁剪力滯效應(yīng)進(jìn)行了研究。其中基于最小勢(shì)能原理的變分法應(yīng)用較多。由變分法還可進(jìn)一步發(fā)展出分析剪力滯效應(yīng)的一維梁段有限元法[1-3]。Reissner[4]首次利用變分法進(jìn)行無(wú)懸臂的矩形混凝土箱梁剪力滯效應(yīng)分析。進(jìn)行變分法分析時(shí),選取廣義位移建立橫向翹曲函數(shù)最為關(guān)鍵[5,6],其反映了翹曲位移在翼板中的橫向分布。倪元增等[7]、CHANG 等[8]假設(shè)考慮剪力滯效應(yīng)后應(yīng)力中性軸仍通過(guò)截面形心,采用翼緣轉(zhuǎn)角最大差值作為廣義位移進(jìn)行分析。Dezi 等[9]、LUO 等[10]、韋成龍等[11]對(duì)箱梁的懸臂板、頂板、底板采用 3 個(gè)不同的轉(zhuǎn)角最大差值作為廣義位移進(jìn)行剪力滯分析以提高精度。楊綠峰等、張?jiān)5葘⒓袅郊訐隙茸鳛閺V義位移,將箱梁受彎撓度分解為基于平截面假定的初等梁理論計(jì)算出的撓度和剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加撓度,物理意義更為明確。根據(jù)彈性理論,截面正應(yīng)力的合力應(yīng)等于外荷載產(chǎn)生的截面軸力,合力矩應(yīng)等于截面彎矩。倪元增等以附加翹曲位移的方式考慮了翹曲應(yīng)力合力為零的自平衡條件;藺鵬臻等[12]分析了翹曲應(yīng)力中性軸為形心軸時(shí),產(chǎn)生的附加軸力對(duì)剪力滯效應(yīng)影響較小;周堅(jiān)等[13,14]以修正位移函數(shù)的方式考慮了翹曲應(yīng)力合力矩為零的平衡條件。張?jiān)5韧ㄟ^(guò)修正翹曲位移函數(shù)考慮軸力平衡條件,引入剪力滯廣義力矩考慮彎矩平衡條件。以上分析研究中,多假設(shè)剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的翹曲應(yīng)力在豎向的中性軸與截面形心軸重合。以此為出發(fā)點(diǎn),為滿足截面應(yīng)力合力及合力矩的平衡條件,再對(duì)翹曲位移函數(shù)進(jìn)行修正,同時(shí)引入廣義力等概念,分析計(jì)算過(guò)程較為抽象和復(fù)雜。

        為簡(jiǎn)化概念,本文考慮剪力滯翹曲應(yīng)力中性軸與截面形心軸有相對(duì)偏移,以箱梁腹板的彎曲截面轉(zhuǎn)角φ和剪力滯附加撓度f(wàn)作為廣義位移構(gòu)造橫向翹曲位移函數(shù);利用變分法推導(dǎo)翹曲應(yīng)力和附加撓度計(jì)算公式。并在所提出的分析方法得到驗(yàn)證的基礎(chǔ)上,運(yùn)用參數(shù)分析法,對(duì)是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移對(duì)箱梁截面正應(yīng)力的不同影響進(jìn)行研究。

        1 翹曲位移函數(shù)及截面正應(yīng)力

        圖 1 所示的單室箱梁在豎向荷載q(x)作用下發(fā)生撓曲變形,坐標(biāo)系原點(diǎn) O 位于截面形心。過(guò) O*的水平線為剪力滯翹曲應(yīng)力的中性軸位置。OO*的距離即為翹曲應(yīng)力中性軸相對(duì)于截面形心軸的偏移量。z*為與 O*相對(duì)應(yīng)的豎向坐標(biāo)。由圖 1 可知,有關(guān)系z(mì)*=z-hu*+hu。記頂板、底板和懸臂板的面積分別為A1=b1tu、A2=b2tb、A3=b3tu,對(duì)于形心軸的慣性矩分別為I1=A1hu2、I2=A2hb2、I3=A3hu2,對(duì)于翹曲應(yīng)力中性軸的慣性矩為I1*=A1hu*2、I2*=A2hb*2、I3*=A3hu*2;腹板對(duì)于中性軸的慣性矩為Iw=tw(hu3+hb3)/3,對(duì)于翹曲應(yīng)力中性軸的慣性矩為Iw*=tw(hu*3+hb*3)/3;As=A1+A2+A3,Is=I1+I2+I3,I=Is+Iw,Is*=I1*+I2*+I3*,I*=Is*+Iw*。

        圖1 箱梁縱向橫向簡(jiǎn)圖

        截面任一點(diǎn)處的縱向位移u(x,y,z)由基于平截面假定的彎曲變形和剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加變形效應(yīng)組成,其函數(shù)表達(dá)式為:

        式中:u0(x,z)為平截面假定下彎曲變形產(chǎn)生的縱向位移,m;uw(x,y,z)為剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的翹曲位移,m;φ=ω′-γ為平截面假定下梁體的截面轉(zhuǎn)角,rad;ω為包括彎、剪效應(yīng)在內(nèi)的豎向總撓度,m;γ為截面豎向剪切應(yīng)變,rad,假定剪力全部由腹板承擔(dān)且剪應(yīng)力在腹板均勻分布,則γ=Q/(GAW),Q為截面處的剪力,kN,G為彈性剪切模量,MPa,AW為腹板的截面積,m2;ωξ(y,z*)為剪力滯翹曲位移函數(shù);f為剪力滯附加撓度,m,f′為因剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的腹板截面轉(zhuǎn)角,rad。

        假定箱梁截面中腹板始終保持為平面僅發(fā)生φ和f′的轉(zhuǎn)角,各翼緣板及腹板的剪力滯位移函數(shù)ωξ(y,z)可以表示為:

        式中:α為與截面幾何參數(shù)相關(guān)的待定系數(shù),反映了翹曲應(yīng)力在翼緣板橫向的相對(duì)變化幅度。對(duì)于頂板,z*= -hu*,bi=b1;對(duì)于底板z*=hb*,bi=b2;對(duì)于懸臂板z*=-hu*,bi=b3;對(duì)于腹板ωξ(y,z*)=z*。

        由彈性理論的幾何方程和物理方程,由(1)式可求得截面正應(yīng)力:

        式中:σ0(y,z)為基于平截面假定的正應(yīng)力,MPa;σw(x,y,z)為剪力滯翹曲應(yīng)力,MPa;E為楊氏彈性模量,MPa。

        以及翹曲位移函數(shù)中參數(shù)α=-πI*/(2Is*)。

        若不考慮翹曲應(yīng)力中性軸相對(duì)于截面形心軸的偏移,則hu*=hu,α=-πI/(2Is),此時(shí)截面翹曲應(yīng)力僅滿足合力矩為零的條件。以上推導(dǎo)可知α和hu*均與外荷載形式無(wú)關(guān),僅取決于截面的幾何參數(shù)。

        2 控制微分方程建立及求解

        以上述翹曲位移函數(shù)為基礎(chǔ),按能量變分法的一般求解過(guò)程列出總勢(shì)能泛函表達(dá)式,結(jié)合結(jié)構(gòu)在荷載作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)其總勢(shì)能的一階變分為零的條件,可得出控制微分方程和自然邊界條件如下:

        對(duì)x求導(dǎo),并考慮q(x)=-Q′可得

        附加撓度微分方程(10)的通解一般形式為:

        式中:C1~C4為待定常數(shù),可由箱梁兩端的邊界條件確定;f*為與q(x)相關(guān)的特解。確定常數(shù)C1~C4時(shí)的邊界條件為:固定端,f=0,f′=0;簡(jiǎn)支端f=0,f″=0;自由端,f″=0,f(3)-k2f′=0。

        對(duì)于承受滿跨均布荷載q(x)=q的簡(jiǎn)支梁,其剪力滯附加撓度計(jì)算公式如下:

        對(duì)于圖 2 所示跨內(nèi)承受集中力P作用的簡(jiǎn)支梁,附加撓度為分段函數(shù),左右兩梁段分別用下標(biāo)L和R來(lái)區(qū)分。其應(yīng)滿足的邊界條件和連續(xù)性條件如下:

        圖2 跨內(nèi)承受集中力的簡(jiǎn)支梁

        利用以上條件代入式(10),可求得集中力作用下剪力滯附加撓度計(jì)算公式如下:

        利用(12)~(14)式計(jì)算得出f′′代入(6)式中即可求得截面各點(diǎn)處的翹曲應(yīng)力。

        3 算例分析

        跨徑為 800 mm 的有機(jī)玻璃簡(jiǎn)支箱梁模型[15],截面尺寸及計(jì)算位置如圖 3 所示。在跨中截面腹板頂對(duì)稱(chēng)作用集中力,總值為P=272.2 N。材料彈性模量為 3 000 MPa,泊松比為 0.385。

        圖3 箱梁模型截面尺寸(單位:mm)

        將用本文方法求得跨中截面正應(yīng)力值與文獻(xiàn)[15]提供的有限元計(jì)算值和實(shí)測(cè)值列于表 1 中進(jìn)行比較。由表 1 可以看出本文計(jì)算值與有限元結(jié)果和模型實(shí)測(cè)結(jié)果總體吻合良好,驗(yàn)證了本文方法的合理性。

        表1 簡(jiǎn)支箱梁模型應(yīng)力比較 MPa

        圖 4 所示為用本文方法求得的跨中截面正應(yīng)力(記為σ*)與不考慮翹曲應(yīng)力中性軸偏移求得的應(yīng)力值(記為σ)的對(duì)比圖??梢钥闯鍪欠窨紤]翹曲應(yīng)力中性軸對(duì)形心軸的偏移,會(huì)影響到翹曲應(yīng)力在箱梁豎向,頂緣和底緣中的分布。其中前者頂板的應(yīng)力變化幅度更大,即σ*包絡(luò)σ;后者底板的應(yīng)力變化幅度更大,即σ包絡(luò)σ*。定義正應(yīng)力相對(duì)差值:

        圖4 箱梁截面正應(yīng)力對(duì)比

        本算例中,腹板頂部λn=-10.35 %(|σ*|>|σ|),腹板底部λn=-10.71 %(|σ*|<|σ|),影響差別較大。

        4 幾何參數(shù)影響分析

        從上節(jié)算例分析可以看出,因是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移而產(chǎn)生的截面正應(yīng)力的差別較大。以往文獻(xiàn)由于分析方法的不同對(duì)于此因素的影響程度研究較少。由前文分析可知翹曲位移函數(shù)中參數(shù)α和中性軸的位置hu*均與外荷載形式無(wú)關(guān),僅隨截面幾何參數(shù)變化。為研究各幾何參數(shù)的影響趨勢(shì),本文結(jié)合前述算例,在不同高寬比和寬跨比條件下,分析因是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸偏移而產(chǎn)生的截面正應(yīng)力的差別。

        4.1 高寬比 h/b1 的影響分析

        梁高h(yuǎn)分別取 80,100,120,150 mm,其余條件均同上節(jié)算例。此時(shí)h/b1分別為 0.8,1.0,1.2,1.5??缰薪孛嫔?、下翼緣板正應(yīng)力相對(duì)差值λn如圖 5 所示。

        圖5 不同高寬比下跨中截面應(yīng)力相對(duì)差值

        由圖 5 可知,不同高寬比下簡(jiǎn)支箱梁跨中截面上、下翼緣的相對(duì)應(yīng)力差值曲線偏差很小,絕對(duì)值均在 3 % 以內(nèi)。即不同高寬比下,是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移對(duì)截面正應(yīng)力影響不大。

        4.2 寬跨比 b1/l 的影響分析

        跨徑l分別取 500、1 000、2 000、4 000 mm,其余條件均同上節(jié)算例。此時(shí)b1/l分別為 0.2,0.1,0.05,0.025。

        由圖 6 可知:正應(yīng)力相對(duì)差值橫向變化曲線與翹曲位移函數(shù)變化規(guī)律一致,呈余弦函數(shù)變化。其中若考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移,翹曲位移函數(shù)中參數(shù)α=-1.741 4;若不考慮,則α=-1.806 3;兩者很接近。所以雖然寬跨比不同,但圖 6 中各條曲線的橫向變化趨勢(shì)基本一致。不論是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移,其橫向的翹曲位移零點(diǎn)位置基本相同。隨著寬跨比的增大,翹曲位移零點(diǎn)兩側(cè)的正應(yīng)力相對(duì)差值絕對(duì)值也在增大。當(dāng)寬跨比大于 0.1 時(shí),箱梁橫向位置 0,100,200 mm 處正應(yīng)力相對(duì)差值即超過(guò) 5 %;當(dāng)寬跨比為 0.2 時(shí),以上橫向位置處正應(yīng)力相對(duì)差值均超過(guò) 20 %。因此,當(dāng)寬跨比較大時(shí),若不考慮剪力滯翹曲應(yīng)力中性軸相對(duì)于形心軸的偏移,將對(duì)應(yīng)力結(jié)果產(chǎn)生較大影響。

        5 結(jié)論

        1)為同時(shí)滿足剪力滯翹曲應(yīng)力在截面上的合力及合力矩平衡條件,考慮翹曲應(yīng)力的中性軸相對(duì)截面形心軸發(fā)生偏離,基于此可以建立更合理的翹曲位移函數(shù)。通過(guò)求解變分法控制微分方程,得出簡(jiǎn)支梁在均布荷載及跨內(nèi)集中力作用下的翹曲應(yīng)力和附加撓度計(jì)算公式。以此計(jì)算簡(jiǎn)支模型梁的應(yīng)力值與有限元解和實(shí)測(cè)值吻合良好,驗(yàn)證了本文方法的合理性。

        2)同時(shí)考慮薄壁箱梁截面的彎曲撓度、剪切撓度和剪力滯附加撓度建立翹曲位移函數(shù),利用變分法推導(dǎo)控制微分方程的過(guò)程說(shuō)明,剪力滯效應(yīng)與初等梁理論下的彎曲及剪切效應(yīng)相互解耦。

        3)通過(guò)參數(shù)分析因是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸偏移而產(chǎn)生的應(yīng)力差別,結(jié)果表明高寬比的影響較小而寬跨比的影響較大,且寬跨比越大,相對(duì)差值越大。當(dāng)寬跨比為 0.2 時(shí),應(yīng)力相對(duì)差值可達(dá) 20 % 以上。因此,對(duì)于寬跨比較大的箱梁應(yīng)力求解,為提高精度,應(yīng)考慮剪力滯翹曲應(yīng)力中性軸相對(duì)于截面形心軸的偏移。Q

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