楊青山，劉世忠，周 倩

（1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅省慶陽(yáng)市建筑設(shè)計(jì)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000）

0 引言

薄壁箱形截面梁因其良好的抗彎和抗扭性能，而被廣泛應(yīng)用。梁體受到橫向荷載時(shí)，截面正應(yīng)力沿著上、下翼緣板的水平方向分布并不均勻，被稱(chēng)為剪力滯效應(yīng)。

多年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)箱梁剪力滯效應(yīng)進(jìn)行了研究。其中基于最小勢(shì)能原理的變分法應(yīng)用較多。由變分法還可進(jìn)一步發(fā)展出分析剪力滯效應(yīng)的一維梁段有限元法［1-3］。Reissner［4］首次利用變分法進(jìn)行無(wú)懸臂的矩形混凝土箱梁剪力滯效應(yīng)分析。進(jìn)行變分法分析時(shí)，選取廣義位移建立橫向翹曲函數(shù)最為關(guān)鍵［5，6］，其反映了翹曲位移在翼板中的橫向分布。倪元增等［7］、CHANG 等［8］假設(shè)考慮剪力滯效應(yīng)后應(yīng)力中性軸仍通過(guò)截面形心，采用翼緣轉(zhuǎn)角最大差值作為廣義位移進(jìn)行分析。Dezi 等［9］、LUO 等［10］、韋成龍等［11］對(duì)箱梁的懸臂板、頂板、底板采用 3 個(gè)不同的轉(zhuǎn)角最大差值作為廣義位移進(jìn)行剪力滯分析以提高精度。楊綠峰等、張?jiān)５葘⒓袅郊訐隙茸鳛閺V義位移，將箱梁受彎撓度分解為基于平截面假定的初等梁理論計(jì)算出的撓度和剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加撓度，物理意義更為明確。根據(jù)彈性理論，截面正應(yīng)力的合力應(yīng)等于外荷載產(chǎn)生的截面軸力，合力矩應(yīng)等于截面彎矩。倪元增等以附加翹曲位移的方式考慮了翹曲應(yīng)力合力為零的自平衡條件；藺鵬臻等［12］分析了翹曲應(yīng)力中性軸為形心軸時(shí)，產(chǎn)生的附加軸力對(duì)剪力滯效應(yīng)影響較小；周堅(jiān)等［13，14］以修正位移函數(shù)的方式考慮了翹曲應(yīng)力合力矩為零的平衡條件。張?jiān)５韧ㄟ^(guò)修正翹曲位移函數(shù)考慮軸力平衡條件，引入剪力滯廣義力矩考慮彎矩平衡條件。以上分析研究中，多假設(shè)剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的翹曲應(yīng)力在豎向的中性軸與截面形心軸重合。以此為出發(fā)點(diǎn)，為滿足截面應(yīng)力合力及合力矩的平衡條件，再對(duì)翹曲位移函數(shù)進(jìn)行修正，同時(shí)引入廣義力等概念，分析計(jì)算過(guò)程較為抽象和復(fù)雜。

為簡(jiǎn)化概念，本文考慮剪力滯翹曲應(yīng)力中性軸與截面形心軸有相對(duì)偏移，以箱梁腹板的彎曲截面轉(zhuǎn)角φ和剪力滯附加撓度f(wàn)作為廣義位移構(gòu)造橫向翹曲位移函數(shù)；利用變分法推導(dǎo)翹曲應(yīng)力和附加撓度計(jì)算公式。并在所提出的分析方法得到驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，運(yùn)用參數(shù)分析法，對(duì)是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移對(duì)箱梁截面正應(yīng)力的不同影響進(jìn)行研究。

1 翹曲位移函數(shù)及截面正應(yīng)力

圖 1 所示的單室箱梁在豎向荷載q（x）作用下發(fā)生撓曲變形，坐標(biāo)系原點(diǎn) O 位于截面形心。過(guò) O*的水平線為剪力滯翹曲應(yīng)力的中性軸位置。OO*的距離即為翹曲應(yīng)力中性軸相對(duì)于截面形心軸的偏移量。z*為與 O*相對(duì)應(yīng)的豎向坐標(biāo)。由圖 1 可知，有關(guān)系z(mì)*=z-hu*+hu。記頂板、底板和懸臂板的面積分別為A1=b1tu、A2=b2tb、A3=b3tu，對(duì)于形心軸的慣性矩分別為I1=A1hu2、I2=A2hb2、I3=A3hu2，對(duì)于翹曲應(yīng)力中性軸的慣性矩為I1*=A1hu*2、I2*=A2hb*2、I3*=A3hu*2；腹板對(duì)于中性軸的慣性矩為Iw=tw（hu3+hb3）/3，對(duì)于翹曲應(yīng)力中性軸的慣性矩為Iw*=tw（hu*3+hb*3）/3；As=A1+A2+A3，Is=I1+I2+I3，I=Is+Iw，Is*=I1*+I2*+I3*，I*=Is*+Iw*。

圖1 箱梁縱向橫向簡(jiǎn)圖

截面任一點(diǎn)處的縱向位移u（x，y，z）由基于平截面假定的彎曲變形和剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加變形效應(yīng)組成，其函數(shù)表達(dá)式為：

式中：u0（x，z）為平截面假定下彎曲變形產(chǎn)生的縱向位移，m；uw（x，y，z）為剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的翹曲位移，m；φ=ω′-γ為平截面假定下梁體的截面轉(zhuǎn)角，rad；ω為包括彎、剪效應(yīng)在內(nèi)的豎向總撓度，m；γ為截面豎向剪切應(yīng)變，rad，假定剪力全部由腹板承擔(dān)且剪應(yīng)力在腹板均勻分布，則γ=Q/（GAW），Q為截面處的剪力，kN，G為彈性剪切模量，MPa，AW為腹板的截面積，m2；ωξ（y，z*）為剪力滯翹曲位移函數(shù)；f為剪力滯附加撓度，m，f′為因剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的腹板截面轉(zhuǎn)角，rad。

假定箱梁截面中腹板始終保持為平面僅發(fā)生φ和f′的轉(zhuǎn)角，各翼緣板及腹板的剪力滯位移函數(shù)ωξ（y，z）可以表示為：

式中：α為與截面幾何參數(shù)相關(guān)的待定系數(shù)，反映了翹曲應(yīng)力在翼緣板橫向的相對(duì)變化幅度。對(duì)于頂板，z*= -hu*，bi=b1；對(duì)于底板z*=hb*，bi=b2；對(duì)于懸臂板z*=-hu*，bi=b3；對(duì)于腹板ωξ（y，z*）=z*。

由彈性理論的幾何方程和物理方程，由（1）式可求得截面正應(yīng)力：

式中：σ0（y，z）為基于平截面假定的正應(yīng)力，MPa；σw（x，y，z）為剪力滯翹曲應(yīng)力，MPa；E為楊氏彈性模量，MPa。

以及翹曲位移函數(shù)中參數(shù)α=-πI*/（2Is*）。

若不考慮翹曲應(yīng)力中性軸相對(duì)于截面形心軸的偏移，則hu*=hu，α=-πI/（2Is），此時(shí)截面翹曲應(yīng)力僅滿足合力矩為零的條件。以上推導(dǎo)可知α和hu*均與外荷載形式無(wú)關(guān)，僅取決于截面的幾何參數(shù)。

2 控制微分方程建立及求解

以上述翹曲位移函數(shù)為基礎(chǔ)，按能量變分法的一般求解過(guò)程列出總勢(shì)能泛函表達(dá)式，結(jié)合結(jié)構(gòu)在荷載作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)其總勢(shì)能的一階變分為零的條件，可得出控制微分方程和自然邊界條件如下：

對(duì)x求導(dǎo)，并考慮q（x）=-Q′可得

附加撓度微分方程（10）的通解一般形式為：

式中：C1～C4為待定常數(shù)，可由箱梁兩端的邊界條件確定；f*為與q（x）相關(guān)的特解。確定常數(shù)C1～C4時(shí)的邊界條件為：固定端，f=0，f′=0；簡(jiǎn)支端f=0，f″=0；自由端，f″=0，f（3）-k2f′=0。

對(duì)于承受滿跨均布荷載q（x）=q的簡(jiǎn)支梁，其剪力滯附加撓度計(jì)算公式如下：

對(duì)于圖 2 所示跨內(nèi)承受集中力P作用的簡(jiǎn)支梁，附加撓度為分段函數(shù)，左右兩梁段分別用下標(biāo)L和R來(lái)區(qū)分。其應(yīng)滿足的邊界條件和連續(xù)性條件如下：

圖2 跨內(nèi)承受集中力的簡(jiǎn)支梁

利用以上條件代入式（10），可求得集中力作用下剪力滯附加撓度計(jì)算公式如下：

利用（12）～（14）式計(jì)算得出f′′代入（6）式中即可求得截面各點(diǎn)處的翹曲應(yīng)力。

3 算例分析

跨徑為 800 mm 的有機(jī)玻璃簡(jiǎn)支箱梁模型［15］，截面尺寸及計(jì)算位置如圖 3 所示。在跨中截面腹板頂對(duì)稱(chēng)作用集中力，總值為P=272.2 N。材料彈性模量為 3 000 MPa，泊松比為 0.385。

圖3 箱梁模型截面尺寸（單位：mm）

將用本文方法求得跨中截面正應(yīng)力值與文獻(xiàn)［15］提供的有限元計(jì)算值和實(shí)測(cè)值列于表 1 中進(jìn)行比較。由表 1 可以看出本文計(jì)算值與有限元結(jié)果和模型實(shí)測(cè)結(jié)果總體吻合良好，驗(yàn)證了本文方法的合理性。

表1 簡(jiǎn)支箱梁模型應(yīng)力比較 MPa

圖 4 所示為用本文方法求得的跨中截面正應(yīng)力（記為σ*）與不考慮翹曲應(yīng)力中性軸偏移求得的應(yīng)力值（記為σ）的對(duì)比圖?？梢钥闯鍪欠窨紤]翹曲應(yīng)力中性軸對(duì)形心軸的偏移，會(huì)影響到翹曲應(yīng)力在箱梁豎向，頂緣和底緣中的分布。其中前者頂板的應(yīng)力變化幅度更大，即σ*包絡(luò)σ；后者底板的應(yīng)力變化幅度更大，即σ包絡(luò)σ*。定義正應(yīng)力相對(duì)差值：

圖4 箱梁截面正應(yīng)力對(duì)比

本算例中，腹板頂部λn=-10.35 %（|σ*|＞|σ|），腹板底部λn=-10.71 %（|σ*|＜|σ|），影響差別較大。

4 幾何參數(shù)影響分析

從上節(jié)算例分析可以看出，因是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移而產(chǎn)生的截面正應(yīng)力的差別較大。以往文獻(xiàn)由于分析方法的不同對(duì)于此因素的影響程度研究較少。由前文分析可知翹曲位移函數(shù)中參數(shù)α和中性軸的位置hu*均與外荷載形式無(wú)關(guān)，僅隨截面幾何參數(shù)變化。為研究各幾何參數(shù)的影響趨勢(shì)，本文結(jié)合前述算例，在不同高寬比和寬跨比條件下，分析因是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸偏移而產(chǎn)生的截面正應(yīng)力的差別。

4.1 高寬比 h/b1 的影響分析

梁高h(yuǎn)分別取 80，100，120，150 mm，其余條件均同上節(jié)算例。此時(shí)h/b1分別為 0.8，1.0，1.2，1.5?？缰薪孛嫔?、下翼緣板正應(yīng)力相對(duì)差值λn如圖 5 所示。

圖5 不同高寬比下跨中截面應(yīng)力相對(duì)差值

由圖 5 可知，不同高寬比下簡(jiǎn)支箱梁跨中截面上、下翼緣的相對(duì)應(yīng)力差值曲線偏差很小，絕對(duì)值均在 3 % 以內(nèi)。即不同高寬比下，是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移對(duì)截面正應(yīng)力影響不大。

4.2 寬跨比 b1/l 的影響分析

跨徑l分別取 500、1 000、2 000、4 000 mm，其余條件均同上節(jié)算例。此時(shí)b1/l分別為 0.2，0.1，0.05，0.025。

由圖 6 可知：正應(yīng)力相對(duì)差值橫向變化曲線與翹曲位移函數(shù)變化規(guī)律一致，呈余弦函數(shù)變化。其中若考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移，翹曲位移函數(shù)中參數(shù)α=-1.741 4；若不考慮，則α=-1.806 3；兩者很接近。所以雖然寬跨比不同，但圖 6 中各條曲線的橫向變化趨勢(shì)基本一致。不論是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸的偏移，其橫向的翹曲位移零點(diǎn)位置基本相同。隨著寬跨比的增大，翹曲位移零點(diǎn)兩側(cè)的正應(yīng)力相對(duì)差值絕對(duì)值也在增大。當(dāng)寬跨比大于 0.1 時(shí)，箱梁橫向位置 0，100，200 mm 處正應(yīng)力相對(duì)差值即超過(guò) 5 %；當(dāng)寬跨比為 0.2 時(shí)，以上橫向位置處正應(yīng)力相對(duì)差值均超過(guò) 20 %。因此，當(dāng)寬跨比較大時(shí)，若不考慮剪力滯翹曲應(yīng)力中性軸相對(duì)于形心軸的偏移，將對(duì)應(yīng)力結(jié)果產(chǎn)生較大影響。

5 結(jié)論

1）為同時(shí)滿足剪力滯翹曲應(yīng)力在截面上的合力及合力矩平衡條件，考慮翹曲應(yīng)力的中性軸相對(duì)截面形心軸發(fā)生偏離，基于此可以建立更合理的翹曲位移函數(shù)。通過(guò)求解變分法控制微分方程，得出簡(jiǎn)支梁在均布荷載及跨內(nèi)集中力作用下的翹曲應(yīng)力和附加撓度計(jì)算公式。以此計(jì)算簡(jiǎn)支模型梁的應(yīng)力值與有限元解和實(shí)測(cè)值吻合良好，驗(yàn)證了本文方法的合理性。

2）同時(shí)考慮薄壁箱梁截面的彎曲撓度、剪切撓度和剪力滯附加撓度建立翹曲位移函數(shù)，利用變分法推導(dǎo)控制微分方程的過(guò)程說(shuō)明，剪力滯效應(yīng)與初等梁理論下的彎曲及剪切效應(yīng)相互解耦。

3）通過(guò)參數(shù)分析因是否考慮翹曲應(yīng)力中性軸偏移而產(chǎn)生的應(yīng)力差別，結(jié)果表明高寬比的影響較小而寬跨比的影響較大，且寬跨比越大，相對(duì)差值越大。當(dāng)寬跨比為 0.2 時(shí)，應(yīng)力相對(duì)差值可達(dá) 20 % 以上。因此，對(duì)于寬跨比較大的箱梁應(yīng)力求解，為提高精度，應(yīng)考慮剪力滯翹曲應(yīng)力中性軸相對(duì)于截面形心軸的偏移。Q