牛鵬斌 羅洪剛

1) (山西大同大學物理系， 大同 037009)

2) (蘭州大學物理科學與技術(shù)學院， 蘭州 730000)

本文研究量子輸運中馬約拉納費米子與雜質(zhì)自旋的相互作用， 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)能夠產(chǎn)生溫差驅(qū)動的自旋相關(guān)電流， 得到了馬約拉納費米子導致的熱自旋流.在大溫差下， 馬約拉納費米子與量子點強耦合時， 電流與門電壓趨于線性關(guān)系， 體現(xiàn)了馬約拉納費米子的魯棒性， 且馬約拉納費米子導致的自旋流具有振蕩特性， 其零點個數(shù)與雜質(zhì)自旋角量子數(shù)相關(guān).

1 引 言

馬約拉納費米子是意大利物理學家馬約拉納在狄拉克方程的基礎(chǔ)上提出的一種粒子， 在高能物理中人們尋找其身影已很多年[1-3].馬約拉納費米子具有拓撲性， 凝聚態(tài)物理中實現(xiàn)拓撲性質(zhì)的材料有很多， 例如拓撲絕緣體[4，5]、玻色-愛因斯坦凝聚體[6-8]、Kagome格子[9，10]和硅烯[11]等.近年來， 人們提出在凝聚態(tài)物理中尋找準粒子形態(tài)的馬約拉納費米子[12-14]， 并且由于其具有非阿貝爾統(tǒng)計特性[15，16]以及在量子計算中的潛在應(yīng)用[2]， 引起了人們廣泛關(guān)注.凝聚態(tài)物理中馬約拉納費米子在拓撲超導線的兩端成對出現(xiàn)[17，18]， 是電子和空穴的零能疊加態(tài)， 稱為馬約拉納零模.

隨著馬約拉納費零模在拓撲超導體中的預(yù)言和實驗驗證， 人們又提出可以在量子輸運中觀測和操控馬約拉納費米子[19-23].當馬約拉納費米子被引入量子點輸運結(jié)構(gòu)中， 其最明顯的特點是1/2電導[19]， 即量子點的電導降為了原來的一半.且新近研究指出， 當雜質(zhì)自旋也出現(xiàn)在量子點中， 會和馬約拉納費米子聯(lián)合導致與自旋角量子數(shù)相關(guān)的分數(shù)電導[24].

基于上述研究進展， 本文討論熱偏壓驅(qū)動下馬約拉納費米子與雜質(zhì)自旋的相互作用對量子點電流的影響.熱偏壓驅(qū)動的自旋相關(guān)量子輸運研究，屬于自旋電子學領(lǐng)域， 也被稱為熱自旋電子學[25-29]，其研究重點是自旋相關(guān)的熱輸運.上述提到在量子點輸運結(jié)構(gòu)中引入馬約拉納費米子， 人們在實驗和理論中發(fā)現(xiàn)1/2電導在一定條件下具有魯棒性[30，31]， 即不受雜質(zhì)自旋的影響.那么一些問題就自然提出: 馬約拉納費米子與雜質(zhì)自旋相互作用的熱輸運特性是什么? 馬約拉納費米子能否在熱致電流中有所體現(xiàn)? 馬約拉納費米子的魯棒性又能否在熱致電流中有所體現(xiàn)?

基于這些問題， 本文考慮一個馬約拉納費米子與雜質(zhì)相互作用的量子輸運模型， 研究發(fā)現(xiàn)， 系統(tǒng)能夠產(chǎn)生溫差驅(qū)動的自旋相關(guān)電流， 并能在可觀測物理量(如自旋流)中體現(xiàn)馬約拉納費米子的特性.例如， 我們得到了馬約拉納費米子導致的熱自旋流;在大溫差下， 馬約拉納費米子與輸運系統(tǒng)強耦合時， 電流與門電壓趨于線性關(guān)系， 其對雜質(zhì)自旋免疫， 體現(xiàn)了馬約拉納費米子的魯棒性， 并且馬約拉納費米子導致的自旋流具有振蕩特性， 其零點個數(shù)與雜質(zhì)自旋的角量子數(shù)相關(guān)， 數(shù)目為 4S+1.

2 模型和理論方法

考慮如圖1的模型， 量子點在側(cè)面耦合一個雜質(zhì)大自旋(S≥1/2 )和拓撲超導線， 拓撲超導線的兩端支撐兩個馬約拉納費米子.除此外， 量子點外接兩個金屬電極.系統(tǒng)的哈密頓量[19，20，32，33]給出為H=HLeads+HT+Hsys.其中第一項HLeads=描述金屬電極中的電子，為電子的產(chǎn)生(湮滅)算符.第二項描述電極與量子點之間的隧穿耦合:H.C.) ，cσ為量子點上的電子湮滅算符， H.C.為厄米共軛項.第三項描述系統(tǒng)哈密頓量，

這里ε0描述量子點能級，sz，±為量子點上電子的自旋算符，Sz，±為雜質(zhì)的自旋算符， 二者之間的交換耦合是各項異性的， 用β描述.為了簡化問題， 本文討論一種特殊情形，β=0 ， 即強各向異性耦合情形， 這樣(1)式簡化為

圖1 模 型 示 意 圖.系 統(tǒng) 由 量 子 點(QD)、雜 質(zhì) 大 自 旋(S)和拓撲超導線組成， 拓撲超導線的兩端有兩個馬約拉納費米子.系統(tǒng)兩端連接兩個金屬電極， 電極兩端施加溫度差Fig.1.Model Diagram.The system consists of a quantum dot， a local large spin and a topological superconductor which supports Majorana fermions.There is a temperature gradient applied to the system.

(2)式中最后一項描述了拓撲超導線左端的馬約拉納零模(γ1)與量子點電子的隧穿耦合，λ為二者之間的耦合強度.馬約拉納零模滿足的對易關(guān)系為{γi，γj}=2δij， 其可用等價的費米子算符表示:γ1=f++f，γ2=i(f+-f)， 這樣(2)式表示為

本文采用的模型是精確可解的， 但求解前需先處理大自旋.把(3)式中大自旋算符寫成Hubbard算符形式[34，35]， 在此表象下，其中Ymm=|Sm〉〈Sm|.相應(yīng)的(3)式寫成:

有了這些準備， 便能夠計算自旋可分辨的電流[36]:

相應(yīng)地， 自旋流[37]和電荷流為:Is=I↑-I↓，Ic=I↑+I↓.(5)式 中fα=L，R(ω)=1/[1+exp(ω/kBTα)]是費米分布函數(shù)， 左右電極的溫差表示為TL=θ+TR，TR為參考溫度，θ為溫差.是譜函數(shù)，Γ是寬帶近似下電極電子態(tài)密度常數(shù).是 推 遲 格 林 函 數(shù)(t)=的傅里葉變換對應(yīng).接下來采用運動方程方法[38，39]求解格林函數(shù).標準的格林函數(shù)運動方程在能量空間為ω〈〈A|B〉〉r=〈〈{A，B}〉〉+〈〈[A，H]|B〉〉r.首先計算自旋向上格林函 數(shù)這里用到了完備關(guān)系的運動方程計算結(jié)果，

其中統(tǒng)計平均值〈〈Ymm〉〉=1/(2S+1) ， 因為每個|m〉態(tài)的占據(jù)幾率是相同的.(5)式中最后一項描述電極與系統(tǒng)的耦合， 其運動方程計算結(jié)果歸結(jié)為自能項其中自能在寬帶近似下表示為=-iΓ.因此(5)式寫為

可以看到這里引出了兩個新的格林函數(shù)〈〈fYmm|其運動方程為

計算到此處運動方程已經(jīng)自動閉合， 聯(lián)立(6)式—(9)式求解得到

其中K(ω)=1/ω，Am=ω-ε0-Jm/2-Σ0，Bm=ω+ε0+Jm/2-Σ0，(ω)=K(ω)/[Bm-2λ2K(ω)].對 于 自 旋 向 下 格 林 函 數(shù)容易得到

(10)式和(11)式是下文數(shù)值討論的主要出發(fā)點.

3 結(jié)果與討論

接下來我們數(shù)值討論熱偏壓驅(qū)動下馬約拉納費米子與雜質(zhì)相互作用下的自旋相關(guān)電流.

圖2 S = 1/2時自旋向上電流(a)、自旋向下電流(b)、自旋流(c)和電荷流(d)隨溫差的變化圖Fig.2.Spin-resolved currents (a)， (b)， spin current (c) and charge current (d) as a function of temperature difference for S = 1/2.

圖2 中取右電極參考溫度為TR=0.01K ， 左電極TL=θ+TR， 雜質(zhì)自旋先取最小量子數(shù)S=1/2進行討論， 其他參數(shù)為J=4 ，Γ=0.02 ，λ取值則如圖中所示， 能量單位為meV.我們先討論自旋可分辨電流， 即圖2(a)和圖2(b).圖2(b)是(11)式格林函數(shù)結(jié)果代入(5)式中后數(shù)值所得， 由(11)式知自旋向下輸運電子譜函數(shù)的峰值位置(即輸運通道)為ω=ε0-Jm/2.當ε0=0 時， 兩條通道(ε0+J/4 和ε0-J/4 )對稱分布于費米面兩側(cè)， 此時熱激發(fā)的電子流和空穴流正好抵消， 因而電流為零，見圖2(b)中ε0=0 直線.當ε0=-1 ， 通道分布于費米面處以及下方， 隨著左電極溫度升高， 左電極部分電子被激發(fā)到費米面之上， 留下空穴， 右電極電子通過輸運通道流動到左電極， 產(chǎn)生一個費米面下方的反向電流(方向從右到左)， 見圖2(b)中ε0=-1 曲線.同理， 當ε0=1 時， 會產(chǎn)生一個方向從左到右的電子流(正的).在圖2(a)中可以看到，當λ=0 ， 熱致自旋向上電流和圖2(b)中電流是相等的， 此時的電流是自旋不可分辨的.隨著馬約拉納費米子的出現(xiàn)并增強， 可以看到圖2(a)中自旋向上電流是減小的， 這是因為自旋向上電子的譜函數(shù)中恒有一個馬約拉納費米子導致的通道位于費米面處(自旋向上電子譜函數(shù)的峰值位置[24]為ω=0，±δm， 其 中會對電流產(chǎn)生中和效應(yīng).這種中和效應(yīng)會體現(xiàn)在可觀測的自旋流中， 見圖2(c)， 圖中展現(xiàn)了馬約拉納費米子導致的熱致自旋流.圖2(d)給出了電荷流， 可以看到其幅度約為自旋可分辨電流的2倍.

圖2(c)中雖然看到了馬約拉納費米子導致的熱自旋流， 但其幅度非常小， 實驗上不容易觀測.從圖2中可觀察到熱偏壓驅(qū)動電流的另外一個特點: 當溫差較大時， 電流的變化趨于穩(wěn)定， 即熱偏壓將不再影響電流的變化， 而此時電流將會對門電壓的變化較敏感， 因而圖3中給出了大溫差下電流隨門電壓的變化規(guī)律.

圖3參數(shù)為S=1/2 ，J=4 ，Γ=0.02 ，θ=30 ，λ取值同樣如圖中所示.圖3(b)給出了大溫差下自旋向下的熱致電流隨門電壓的變化， 可以觀察到明顯的臺階現(xiàn)象， 且臺階變化位置對應(yīng)兩個通道ε0+J/4 和ε0-J/4.這里要提到一點， 通常在電偏壓驅(qū)動的量子輸運系統(tǒng)中， 比如量子點， 電流臺階現(xiàn)象的出現(xiàn)是由固定門電壓、調(diào)節(jié)電偏壓得到的， 而熱偏壓驅(qū)動的電流臺階的出現(xiàn)是反過來的.從圖3(a)可以看出， 當λ=0 時，I↑=I↓， 可以從圖3(a)和圖3(b)的對比中得到驗證.隨著λ的增大， 臺階現(xiàn)象消失， 逐漸趨于線性關(guān)系， 這正是馬約拉納費米子魯棒性的體現(xiàn): 在馬約拉納費米子與量子點強耦合時， 其對雜質(zhì)自旋免疫.觀察圖3(c)，自旋流出現(xiàn)了一個關(guān)于原點對稱的奇函數(shù)振蕩結(jié)構(gòu)， 且其零點個數(shù)為3個.在圖3(d)中， 當λ=0時， 電荷流是自旋可分辨電流(I↑或I↓)的2倍， 而隨著λ增大， 臺階現(xiàn)象也部分被抹平.

圖3 S = 1/2時自旋向上電流 (a)、自旋向下電流(b)、自旋流(c)和電荷流(d)隨門電壓的變化圖Fig.3.Spin-resolved currents (a)， (b)， spin current (c) and charge current (d) as a function of gate voltage for S = 1/2.

圖4 S = 1時自旋向上電流(a)、自旋向下電流(b)、自旋流(c)和電荷流(d)隨門電壓的變化圖Fig.4.Spin-resolved currents (a)， (b)， spin current (c) and charge current (d) as a function of gate voltage for S = 1.

從圖3(c)中馬約拉納費米子導致的零點個數(shù)我們猜測其應(yīng)該是與雜質(zhì)自旋的角量子數(shù)相關(guān)的，為此進一步研究S=1 時的電流， 見圖4.因為S=1時自旋相關(guān)電流隨溫差的變化圖與圖2類似， 這里就不再給出.而圖4則著重給出S=1 時自旋相關(guān)電流隨門電壓的變化圖.

圖4采 用 的 參 數(shù) 為S=1 ，J=2 ，Γ=0.02 ，θ=30，λ取值同樣如圖中所示.從圖4(b)中可以看到， 自旋向下電流(或圖4(a)中λ=0 時的自旋向上電流)的臺階數(shù)為3個， 這是因為S=1 時， 沒有 馬 約 拉納費米子 時 系 統(tǒng)的通道為ε0+J/2 ，ε0，ε0-J/2.當調(diào)節(jié)門電壓， 三條通道依次通過費米面會引起電子流的變化.例如， 當ε0＜-1 時， 三條通道都在費米面下方， 電流為從右到左的電子流(負 的).當-1＜ε0＜0 時， 最 上 面 一 條 通 道ε0+J/2位于費米面上方， 貢獻從左到右的電子流， 抵消部分負的電子流， 形成圖4(b)中-1＜ε0＜0 區(qū)間的第一個臺階.依次類推， 直到三條通道都位于費米面上方時， 電流變?yōu)檎淖畲笾?圖4(a)得到的結(jié)論與圖3(a)一致: 馬約拉納費米子與輸運系統(tǒng)強耦合時， 電流與門電壓成線性關(guān)系， 其對雜質(zhì)自旋免疫.從圖4(c)可以觀察到自旋流零點個數(shù)為5個， 與S=1/2 對比概括知馬約拉納費米子導致的自旋流的零點個數(shù)確實是角量子數(shù)相關(guān)的， 其個數(shù)為 4S+1.

4 結(jié) 論

本文討論了一個熱偏壓驅(qū)動的精確可解量子輸運模型， 著重討論馬約拉納費米子與雜質(zhì)自旋的相互作用.研究發(fā)現(xiàn)， 系統(tǒng)能夠產(chǎn)生溫差驅(qū)動的自旋相關(guān)電流， 并能在可觀測物理量(如自旋流)中體現(xiàn)馬約拉納費米子的特性.我們得到了馬約拉納費米子導致的熱自旋流; 在大溫差下， 馬約拉納費米子與輸運系統(tǒng)強耦合時， 電流與門電壓趨于線性關(guān)系， 其對雜質(zhì)自旋免疫， 體現(xiàn)了馬約拉納費米子的魯棒性， 并且馬約拉納費米子導致的自旋流的零點個數(shù)是角量子數(shù)相關(guān)的.期望這些研究結(jié)果對熱-電轉(zhuǎn)換器件的研究有所補充， 并期望其中一些結(jié)果能夠在實驗中觀測到.