唐江花

(安徽新華學院 通識教育部，安徽 合肥 230088)

非線性方程組的求解在金融、貿易、航空航天、工業(yè)、計算機等領域中有廣泛的應用，在這些領域中所遇到的非線性規(guī)劃問題都可以轉化為非線性方程組的求解問題.非線性方程組的求解實際上就是從眾多解中尋找最優(yōu)解，例如研究問題解的最優(yōu)條件、解是否存在以及復雜性等，這種最優(yōu)化理論也叫作“數學規(guī)劃”，在實際生活中是一門應用性較強的學科[1-2].非線性方程組中的最優(yōu)化解法在工作和生產實踐中應用到的頻率很高，實際的工作中算法結構復雜，變量眾多，具有規(guī)模大、結構復雜的特點，如果將其完全轉換為線性問題，得到的結果會遠遠脫離實際情況.因此非線性方程組的求解問題也成為人們重視與研究的問題，將具有上述特點的問題描述成非線性方程函數，并在一定的非線性約束條件下尋找其最大或最小解，成為了解決該類問題的最優(yōu)方法.

但是傳統(tǒng)求解非線性方程組的算法中，雖然最終得到的非線性方程組的解比較準確，但是求解過程中迭代次數過多，導致運算的時間較長，因此本文提出一種求解非線性方程組的信賴域算法.信賴域算法是一種重要的優(yōu)化算法，它起源于線性規(guī)劃，最早應用在無約束的優(yōu)化問題中，其最大的特點是確定步長的方法，傳統(tǒng)步長確定方法一般為線性搜索，但是信賴域算法是通過求解信賴域的子問題，初步得到試探步長，并根據實際的計算函數的下降量情況對試探步長進行判斷[3-4].本文將這種算法應用到非線性方程組的求解過程中，以期能夠簡化傳統(tǒng)算法求解過程，提高非線性方程組的求解效率.

1 求解非線性方程組的信賴域算法

1.1 建立信賴域算法模型

對于非線性方程組：

F(x)=0，

(1)

(2)

信賴域不要求Hessian矩陣在每個迭代點處均正定，因此，試探步不成功時，可以加入二階校正步，沿著試探步的方向，利用固定步長公式產生步長，因此，當試探步長為lk且在信賴域內時，可設置當前迭代初始點為xk，且在以該點為中心，半徑為λk的閉球鄰域內，在步長迭代過程中需要有一自然數ζk且存在‖lk‖<ζk，用評價函數決定lk是否被接受，當試探失敗，信賴域的半徑會縮小，試探成功半徑將視具體情況增大或保持不變，這就是改進之后信賴域算法子問題中的非單調技術[5-6].信賴域算法的模型問題為：

(3)

(4)

在求解非線性方程組的過程中，利用目標函數及其相應的導數函數信息在Hessian矩陣中構造近似序列[7-8]，并對由該公式生成的目標函數的曲率近似進行修正.在保持矩陣序列正性的同時，也考慮了邊值問題的正解存在性，有助于克服詳細數值的奇異性.至此，完成了信任域算法模型的建立.

1.2 收斂性分析

在收斂性的討論與分析中，首先進行假設，待研究的函數F(x)是二階連續(xù)可微，并且和矩陣JacobianJ(x)是連續(xù)的[9-10]，那么存在：

‖J(y)-J(x)‖≤L1‖y-x‖ ‖F(xiàn)(y)-F(x)‖≤L2‖y-x‖，?x,y∈Rn,

(5)

式中，L1與L2為正常數.根據式(5)可知：

‖F(xiàn)(yk)‖=‖F(xiàn)(xk+dk)‖≤‖F(xiàn)n+dk‖+L1‖dk‖2≤‖F(xiàn)k‖+L2‖dk‖+L1‖dk‖2,

(6)

式中，dk為連續(xù)收斂系數.在上述的情況下，產生的迭代序列存在：

(7)

根據以上條件，可以得到收斂函數：

(8)

(9)

(10)

為了證明假設正確，需要證明：

(11)

(12)

2 仿真實驗

2.1 實驗設計

為了驗證本文提出的求解非線性方程組的信賴域算法的有效性，需要設計實驗，對算法的性能進行測試.選取以下金融案例作為研究對象：

某金融投資者想要進行長期投資，因此選擇5支目前業(yè)績較好的股票型基金A、B、C、D、E進行組合投資.在進行投資之前，對選擇的5種股票型基金進行市場分析，并得到統(tǒng)計預測的相關數據如表1所示.

表1 5種股票型基金的數據統(tǒng)計預測

在實驗過程中，假設5種股票型基金的購買金額占所有投資中的占比分別為xA、xB、xC、xD、xE，那么交易成本可以表示為：

ci(xi)=0.002xi+0.002(1-e-xi),

(13)

(14)

式中，rp表示投資組合中的預期收益；Q表示協(xié)方差矩陣；V表示投資風險.在計算機中，使用軟件Matlab分別對本文算法和傳統(tǒng)算法進行編寫，并設定算法中相關參數的值，令η1的值為0.000 1，η2為0.56，β1為0.27，β2為0.7.在軟件中，可以將上述的相關問題模型帶入具體數值：

(15)

根據分析可知，該模型為凸規(guī)劃，因此可以將上式轉化為非線性方程組問題.并分別使用本文設計的信賴域算法和傳統(tǒng)算法進行求解.按照上述的實驗方法，選擇相似的非線性案例進行求解，并將兩種方法的求解結果進行統(tǒng)計與分析.

2.2 實驗結果對比與分析

分別得到兩種求解算法的計算結果，如表2所示.

表2 計算結果對比分析

從表2中可以看出，利用本文設計的算法和傳統(tǒng)算法得到的3個案例的求解結果基本相似，驗證了本文算法的準確性和可靠性.

為了證明本文算法在求解的過程中能夠表現(xiàn)出優(yōu)異的性能，對兩種算法在實驗過程中得到的相關參數進行統(tǒng)計，如表3所示.

表3 計算過程參數對比分析

從表3可以看出，在相同的測試環(huán)境下，3個不同的案例中，本文算法的迭代次數都是相對傳統(tǒng)算法更少的，CPU時間方面也更加省時，得到的函數值也更為精準.

3 結 論

在非線性方程組現(xiàn)有解法的基礎上，對求解非線性組的信賴域算法進行了進一步探討.以非線性方程為基礎建立信賴域模型，在其中融入改進了的非單調技術，在每一次的計算過程迭代中，完成信賴域子問題的分析與求解，分析了設計算法的全局收斂性.并在仿真實驗的3個案例中，驗證了本文算法的可靠性和性能優(yōu)越性.

本文雖然取得了一定的成績，但是由于水平和時間的限制，還有很多不足之處，例如，算法的收斂性分析方面，只能在理論上證明算法具有收斂性，且應用的是反證法，但是對于收斂速度無法進行量化計算，這一問題在今后的研究中具有重要的理論意義和應用價值，也是今后對于非線性方程組求解方法研究的重要方向.