吳杰，陳輝

（安徽商貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 蕪湖 241002）

1 問題的提出

近年來，國(guó)內(nèi)外針對(duì)電池放電問題進(jìn)行了大量研究。丁麗等利用曲線、曲面擬合給出了電池放電模型，但未對(duì)初始放電狀態(tài)進(jìn)行研究，且擬合結(jié)果不夠精確[1-4]。付春流等提出基于支持向量回歸的剩余放電時(shí)間預(yù)測(cè)方法，但是需要對(duì)數(shù)據(jù)單獨(dú)研究，而且預(yù)測(cè)比較繁瑣[5]。侯國(guó)亮等提出基于指數(shù)函數(shù)的函數(shù)擬合方法，但計(jì)算出來的平均相對(duì)誤差（MRE）較高，而且預(yù)測(cè)精度較低[6-8]。覃爽使用logistic函數(shù)模型建立了電壓與時(shí)間的關(guān)系模型，但舍去了大量不一致的數(shù)據(jù)，導(dǎo)致誤差急劇增大[9]。本文中，筆者利用C題數(shù)據(jù)[10]，通過非線性擬合、多元回歸等統(tǒng)計(jì)手段，對(duì)電池放電數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了任意電流放電曲線模型和剩余放電時(shí)間預(yù)測(cè)模型，并利用MRE的定義對(duì)模型進(jìn)行了檢驗(yàn)。

2 放電曲線建立與求解

2.1 各放電曲線方程的建立與求解

圖1為同一批次電池在9種電流強(qiáng)度下放電曲線。在電流強(qiáng)度I下，放電初期電壓不穩(wěn)定，對(duì)預(yù)測(cè)產(chǎn)生影響。定義t0(I)為該電流強(qiáng)度I下的預(yù)測(cè)分割點(diǎn)。通過Matlab編程，得到不同電流強(qiáng)度下對(duì)應(yīng)的分割點(diǎn)t0(I)和電池最大放電時(shí)間tmax，見表1。

圖 1 不同電流強(qiáng)度下電池電壓與放電時(shí)間關(guān)系曲線

表 1 不同電流強(qiáng)度下的時(shí)間分割點(diǎn)

[t0(I),tmax(I)]放電電壓處于下降趨勢(shì)，且放電初期電壓下降平緩，放電末期電壓下降迅速，放電曲線與拋物線趨勢(shì)一致。建立電壓與電流強(qiáng)度、時(shí)間的二元拋物線模型一：

式（1）中，Um為額定的最低保護(hù)電壓，本題中Um=9 V。結(jié)合表1，設(shè)定電流強(qiáng)度I，將式（1）轉(zhuǎn)化為一元模型，利用Matlab軟件進(jìn)行非線性擬合，得出對(duì)應(yīng)放電曲線系數(shù)，見表2。電流強(qiáng)度I下的放電曲線和放電電壓的誤差曲線如圖2、3所示。擬合曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)高度吻合，且電壓的最大誤差低于0.09 V，擬合效果好。

表 2 電流強(qiáng)度I下放電曲線系數(shù)

圖 2 不同電流強(qiáng)度下的放電曲線

圖 3 不同電流強(qiáng)度下的誤差曲線

不同電流強(qiáng)度下的電壓誤差呈現(xiàn)出震蕩趨勢(shì)，建立誤差函數(shù)

式（2）中，c、d、f、g為系數(shù)。結(jié)合式（1），改進(jìn)模型，得出模型二：

以I=100 A為例，對(duì)誤差函數(shù)系數(shù)進(jìn)行擬合，得到放電曲線函數(shù)為：

如圖4所示，誤差擬合曲線與模型一的誤差曲線較吻合，誤差曲線擬合較精確，從而提高了模型一的精度。特別地，U=9.8 V時(shí)，由模型一得出的電流強(qiáng)度I下的電池的剩余放電時(shí)間見表3。

圖 4 I=100 A時(shí)的誤差擬合曲線

表 3 不同電流強(qiáng)度下電池的剩余放電時(shí)間

2.2 各放電曲線的 MRE 求解

注意到數(shù)據(jù)中電壓間隔不同，且有部分超過0.005 V，利用三次樣條插值，完善數(shù)據(jù)。根據(jù)平均相對(duì)誤差（MRE）的定義[10]，按0.005 V的間隔提取231個(gè)電壓樣本點(diǎn)，計(jì)算出模型一和模型二下不同電流強(qiáng)度時(shí)的MRE，二者保持一致，見表4。MRE平均值為0.55%，最大值為0.96%，所以MRE整體較小，具有一定的優(yōu)勢(shì)[11-15]。通過計(jì)算，由模型二通過震蕩函數(shù)調(diào)整放電初期的放電情況，降低了擬合的絕對(duì)誤差，提高了擬合的精度，所以從此角度來看，模型二優(yōu)于模型一。但是模型二所需參數(shù)較多，擬合難度大，且其對(duì)MRE的計(jì)算未產(chǎn)生多大影響，因此如果基于該角度，模型一較優(yōu)。

表 4 不同電流強(qiáng)度下的MRE

3 任意電流強(qiáng)度放電數(shù)學(xué)模型

利用上述模型，做出電流強(qiáng)度I下的放電曲線。通過圖5可知，不同電流強(qiáng)度下放電曲線趨勢(shì)保持一致，符合拋物線模型，將式（1）的系數(shù)看作是電流強(qiáng)度I的函數(shù)，建立任意電流放電曲線模型三：

圖 5 電流強(qiáng)度I時(shí)放電曲線

利用多項(xiàng)式擬合，通過不斷改變多項(xiàng)式次數(shù)，尋求最優(yōu)線性關(guān)系，得出系數(shù)a(I)、b(I)和最大放電時(shí)間tmax(I)與電流I的關(guān)系表達(dá)式：

結(jié)合式（6）～（8），得出不同電流強(qiáng)度下的放電曲線函數(shù)的系數(shù)和最大放電時(shí)間。利用表5計(jì)算不同電流強(qiáng)度下的MRE，得到與表4相同的結(jié)果，表明任意電流放電曲線模型精度高。

表 5 電流強(qiáng)度I放電曲線參數(shù)

將I=55 A帶入式（6）～（8），得出放電曲線方程為

對(duì)應(yīng)放電曲線如圖6所示。

圖 6 I=55 A時(shí)的放電曲線圖像

4 電池剩余時(shí)間預(yù)測(cè)

設(shè)a=(a1,a2,…,an)為一個(gè)n維向量，amin為向量的最小值，amax為向量的的最大值，a*=(a1*,a2*,…,an*)為其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后的向量，則有

對(duì)電池在不同衰減狀態(tài)下的放電數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到如圖7所示處理后的放電情況。三種狀態(tài)下的電池放電狀態(tài)趨勢(shì)一致，建立衰退狀態(tài)3下的放電時(shí)間t與新電池放電時(shí)間t1、衰退狀態(tài)1下放電時(shí)間t2和衰退狀態(tài)2下放電時(shí)間t3、電壓u的多元回歸模型四：

圖 7 標(biāo)準(zhǔn)化后電池放電曲線

結(jié)合所給數(shù)據(jù)，利用Matlab進(jìn)行多元回歸分析，得出回歸模型的統(tǒng)計(jì)量中R2為0.9999，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量值遠(yuǎn)大于分位點(diǎn)，檢驗(yàn)P為0，小于0.05，表明該回歸模型擬合優(yōu)度高。對(duì)應(yīng)回歸模型的置信區(qū)間如圖8所示。根據(jù)置信區(qū)間，剔除異常點(diǎn)的相關(guān)數(shù)據(jù)，建立自回歸模型。經(jīng)過多次回歸，直至平均絕對(duì)誤差不再減小，停止自回歸，得到回歸方程

圖 8 置信區(qū)間

模型的平均絕對(duì)誤差為1.2867，表明擬合效果更好。衰減狀態(tài)3下放電預(yù)測(cè)曲線見圖9。利用該模型計(jì)算出衰減狀態(tài)3的最大放電時(shí)間為836.37min，與當(dāng)前放電時(shí)間596.20min的差為240.2min。

圖 9 衰減狀態(tài)3下放電預(yù)測(cè)曲線

5 結(jié)語

通過對(duì)放電數(shù)據(jù)的擬合，構(gòu)建了任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線模型。結(jié)合誤差，增加誤差震蕩函數(shù)，對(duì)放電模型進(jìn)行改進(jìn)，解決放電初期的放電問題，且得到的MRE具有一定的優(yōu)勢(shì)。針對(duì)同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強(qiáng)度放電，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，得出電池放電的共同規(guī)律，建立多元線性自回歸模型，通過多次自回歸，擬合出最佳的放電曲線。此模型具有通用性，只需將實(shí)際數(shù)據(jù)代入模型中，即可得出任意電流強(qiáng)度下的放電曲線，為電池性能的檢測(cè)系統(tǒng)提供了有效的依據(jù)。