林俊亭，王海斌

(蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

列車運(yùn)行控制系統(tǒng)(以下簡稱“列控系統(tǒng)”)結(jié)合調(diào)度指揮系統(tǒng)可有效保障列車運(yùn)行安全[1]。但在實(shí)際運(yùn)營中，復(fù)雜的列控系統(tǒng)受到人為、環(huán)境和技術(shù)等因素的制約，列車與列車間碰撞事故難免發(fā)生。在高速鐵路領(lǐng)域，列車接近預(yù)警系統(tǒng)[2]中的列車位置控制器，對(duì)管轄范圍的列車位置信息進(jìn)行綜合計(jì)算，并借助GSM-R/GPRS向列車發(fā)送相鄰列車接近預(yù)警信息，同時(shí)將列車接近的不同時(shí)序分量劃分為3個(gè)分級(jí)預(yù)警等級(jí)[3]，從而達(dá)到列車碰撞防護(hù)的目的；在城市軌道交通領(lǐng)域，列車碰撞防護(hù)多采用車車通信[4]和對(duì)稱雙邊雙程測距方法[5]來實(shí)現(xiàn)碰撞預(yù)警。從控制機(jī)理角度分析，追蹤運(yùn)行列車間的碰撞防護(hù)，要通過前后列車的速差和間距控制來實(shí)現(xiàn)[6]；從數(shù)學(xué)角度分析，列車碰撞防護(hù)問題是一種復(fù)雜環(huán)境下的追蹤逃逸問題，可借助微分對(duì)策理論來分析[7]。

微分對(duì)策是分析和解決矛盾、沖突、對(duì)抗、合作等問題的數(shù)學(xué)工具，起源于對(duì)軍事問題的研究，發(fā)展至今已廣泛應(yīng)用于社會(huì)的各領(lǐng)域[8]。簡單來說，微分對(duì)策理論是指局中人在進(jìn)行對(duì)策活動(dòng)時(shí)，用微分方程(組)來描述對(duì)策現(xiàn)象或規(guī)律的一種對(duì)策理論[9]。由于列車運(yùn)行中的碰撞和防護(hù)問題的分析與對(duì)策論的思想相符合，因此可通過微分對(duì)策理論與方法分析列車運(yùn)行過程中存在的沖突與矛盾，提出相應(yīng)的防護(hù)措施，從而減輕碰撞所帶來的后果，甚至完全避免碰撞的發(fā)生。為了研究其對(duì)抗特性，可對(duì)前后車的運(yùn)行過程進(jìn)行約束，設(shè)運(yùn)行雙方均以不同的恒定速度做勻速運(yùn)動(dòng)，且追方具有最小轉(zhuǎn)彎半徑。

1 問題描述

假設(shè)后續(xù)列車b(以下簡稱“列車b”)和前行列車f(以下簡稱“列車f”)分別以速度vb和vf在平面上勻速運(yùn)動(dòng)。列車b的目的是與列車f在保持最小的空間間隔下運(yùn)行(從追逃角度而言，即在最短時(shí)間內(nèi)捕獲列車f)，而列車f則需要“逃避”列車b的“捕獲”，從而確保不發(fā)生碰撞事故。不失一般性地假設(shè)列車b和列車f具有相同的制動(dòng)性能，且其速度分別為vb和vf,并假設(shè)兩車距離小于列車有效碰撞距離L時(shí)視為碰撞，則對(duì)策結(jié)束。列車b與列車f的位置關(guān)系見圖1。定義α和β分別為列車b和列車f的運(yùn)動(dòng)方向與x軸的夾角。根據(jù)以上描述，列車b和列車f的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為

圖1 列車b與列車f的位置關(guān)系

(1)

定義z=(xf-xb,yf-yb)為列車b到列車f的瞬時(shí)位置的指向向量；vb(t)和vf(t)分別為列車b和列車f的速度向量。若碰撞不發(fā)生則必須滿足以下定理：在任一時(shí)刻t0，列車b的速度向量vb(t0)與相對(duì)位置向量z(t0)的內(nèi)積非正，即如果

〈z(t0),vb(t0)〉≤0

(2)

則t≥t0時(shí)列車b將無法捕獲前行列車f，碰撞不會(huì)發(fā)生。為證明此定理，僅需證明一個(gè)列車f成功逃脫的例子即可。證明過程如下。

設(shè)t0=0，假設(shè)列車b在t≥0的任意時(shí)刻都不改變速度的方向和大小，則z可表示為

(3)

(4)

證明完成。

因此可以得到以下結(jié)論：列車碰撞發(fā)生的條件是列車f的速度有指向列車b的分量。而由于在上述的證明過程中限定了列車f的速度vf保持不變，因此列車b的最優(yōu)策略則應(yīng)該是盡快增大指向列車f的速度分量，如果該分量在一定的時(shí)間內(nèi)增速不夠，則碰撞也有可能不會(huì)發(fā)生。

2 微分對(duì)策方法

微分對(duì)策方法實(shí)質(zhì)上是一種雙(多)方的最優(yōu)控制問題[10]。微分對(duì)策根據(jù)有無支付函數(shù)可分為定量微分對(duì)策和定性微分對(duì)策[11]。本文主要采用定性微分對(duì)策方法分析。在分析過程中，兩車采用無線通信進(jìn)行信息傳輸，使得在整個(gè)對(duì)策過程中追逃雙方了解對(duì)方的位置信息，且兩方都具有獨(dú)立決策權(quán)。對(duì)策雙方根據(jù)實(shí)際情況在對(duì)策過程中行使控制決策能力使對(duì)抗行為始終朝著有利于自己的方向發(fā)展，即自動(dòng)實(shí)施最優(yōu)策略[12]。在對(duì)各有優(yōu)勢的局中人分析其捕獲或者躲避的情況下得到的界柵圖，可反映局中人的對(duì)策活動(dòng)，即捕獲和逃逸情況。

2.1 界柵及捕獲區(qū)

利用微分對(duì)策分析追蹤躲避問題時(shí)，對(duì)于界柵的確定極其重要。界柵是“輸”和“贏”的分界線，它將對(duì)策狀態(tài)空間分為捕獲區(qū)和逃逸區(qū)兩部分，在界柵上每一點(diǎn)都是捕獲點(diǎn)[13]。本文將前行列車f記為躲方，將后續(xù)列車b記為追方。根據(jù)追逃問題的描述，當(dāng)列車f進(jìn)入捕獲區(qū)，則無論列車f采用何種策略，在列車b的作用下總會(huì)使得兩車之間的相對(duì)距離小于有效碰撞距離，即列車b捕獲列車f從而碰撞發(fā)生，此時(shí)對(duì)局結(jié)束；而一旦列車f進(jìn)入逃逸區(qū)，無論列車b采用何種策略，列車f總能采取相應(yīng)的措施逃逸，使得兩車保持安全距離行駛。

2.2 最優(yōu)策略分析

建立運(yùn)動(dòng)過程的兩車運(yùn)動(dòng)位置關(guān)系,見圖2，選取列車f的速度方向?yàn)閤軸正方向。

圖2 兩車的運(yùn)動(dòng)位置

設(shè)兩車之間的相對(duì)坐標(biāo)軸為x和y，可以得到列車運(yùn)行的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程組為

(5)

式中：g為列車b的運(yùn)行策略，無限制；k為列車f的速度控制變量，k=+1為列車向右加速運(yùn)動(dòng)，k=-1為列車向右減速運(yùn)動(dòng)。

目標(biāo)集D為圓域：

x2+y2-L2≤0

(6)

式中：L為列車安全行駛時(shí)的有效碰撞距離。

Hamilton函數(shù)表達(dá)式為

H(x,y,k,g,γ)=γ1(vfk-vbcosg)+

γ2(-vbsing)=Hb(g)+Hf(k)

(7)

式中：γ=(γ1,γ2)T∈R2為任意向量，且

Hb(g)=-γ1vbcosg-γ2vbsing

(8)

Hf(k)=γ1vfk

(9)

故有

(10)

式中：K、G分別為列車f、列車b的控制集或者控制空間。

γ1sing-γ2cosg=0

(11)

由式(11)解得

(12)

式中：“*”表示同等變量最優(yōu)值。

因此由式(7)和式(12)可得

(13)

3 界柵確定與實(shí)例分析

3.1 界柵確定

(14)

對(duì)式(14)進(jìn)行積分，可得

(15)

(16)

式中：s為半徑L與y軸正方向的夾角。又由于

可解得γ1Lcoss-γ2Lsins=0，故可取?D上的單位法向量為γ|?D=(sins,coss)T，因此，列車b和列車f在目標(biāo)集邊界?D上k*和g*可分別表示為

(17)

(18)

顯然，由于目標(biāo)集D與目標(biāo)集邊界?D關(guān)于y軸對(duì)稱，因此最終得到的UP、BUP和界柵也必定關(guān)于y軸對(duì)稱。可以先考慮右半平面，即0≤s≤π對(duì)應(yīng)部分，然后根據(jù)對(duì)稱可得到完整的界柵圖。此時(shí)k*=+1，哈密頓函數(shù)為

H(x*,y*,k*,g*,γ)|?D=vfsins-vb

(19)

令vfsins-vb=0，則可得s0=sin-1(vb/vf)。根據(jù)vf取值范圍的不同，很明顯可以得到以下兩種情況：

(1)如果vf

(2)如果vf≥vb，則s0=arcsin(vb/vf)，對(duì)于目標(biāo)邊界集?D上對(duì)應(yīng)于0≤s≤s0的所有點(diǎn)的集合為UP，而對(duì)應(yīng)于s0的點(diǎn)為BUP。下面以構(gòu)造右半平面的界柵為例進(jìn)行計(jì)算。

由相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程組以及邊界集?D的參數(shù)方程可得倒向狀態(tài)微分方程組及初值條件為

(20)

對(duì)式(20)積分，可得右半平面界柵為

(21)

整理得

y*(τ)=-tans0x*(τ)+Lsecs0

(22)

由式(22)可以得出右半平面的界柵是一條斜率為tans0的直線，且與目標(biāo)邊界集?D在s=s0處相切，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，Lsecs0)。

同理，可得到左半平面(即-π≤s≤0)界柵表達(dá)式為

(23)

整理得

y*(τ)=tans0x*(τ)+Lsecs0

(24)

由式(24)可知左半平面的界柵是一條斜率為-tans0的直線，同時(shí)與目標(biāo)邊界集?D在s=-s0處相切，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，Lsecs0)。

故以兩直線為界柵的左右平面界柵在(0,Lsecs0)處相交，構(gòu)成了整個(gè)微分對(duì)策的界柵。最終所得列車碰撞的界柵圖見圖3，其中捕獲區(qū)為左右平面的界柵以及對(duì)應(yīng)于-s0≤s≤s0的目標(biāo)邊界集所圍成的區(qū)域，即直線AB、AC以及弧BC所組成的部分為捕獲區(qū)，除捕獲區(qū)以外均為躲避區(qū)。

圖3 列車碰撞界柵圖

3.2 實(shí)例分析

對(duì)于圖3列車碰撞界柵圖，線段AB和AC所在的兩條直線與弧BC所組成的封閉區(qū)域?yàn)椴东@區(qū)，對(duì)模型的分析可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行：①捕獲區(qū)面積的大小;②影響捕獲區(qū)面積大小的因素;③各因素對(duì)捕獲區(qū)面積的影響。

首先，捕獲區(qū)面積的大小，可用于評(píng)估碰撞發(fā)生的可能性以及嚴(yán)重性，即所得到的捕獲區(qū)面積越大，說明發(fā)生碰撞的可能性越大，同時(shí)碰撞一旦發(fā)生所帶來的后果更為嚴(yán)重；其次，對(duì)于影響捕獲區(qū)面積大小的因素，本文中所涉及的主要為列車的有效碰撞距離L、前行列車f的速度vf，以及后續(xù)列車b的速度vb；最后，考慮各因素對(duì)捕獲區(qū)面積的影響，其方法是計(jì)算捕獲區(qū)域面積對(duì)各因素的梯度值，通過梯度值反映影響值的大小，即對(duì)于某一因素所得到的梯度值越大，說明改變該因素的值對(duì)于改變捕獲區(qū)域面積更為有效。

根據(jù)圖3，捕獲區(qū)面積可表示為

(25)

(26)

由于微分對(duì)策所分析的是局中人雙方各有優(yōu)劣的對(duì)策情況，因此以下分析不考慮前后車速度差值較大的情況。不同列車速度下的捕獲區(qū)面積計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 捕獲區(qū)面積計(jì)算結(jié)果

由表1可得：當(dāng)速度差值在一定范圍內(nèi)時(shí)，若前行列車速度vf與后續(xù)列車速度vb的比值越接近于1，則捕獲區(qū)面積越大；而當(dāng)速度比值等于1時(shí)，捕獲區(qū)面積為無窮大，此時(shí)對(duì)應(yīng)的對(duì)策情況為列車以一定的距離保持勻速行駛。由式(25)容易得到捕獲區(qū)面積S與L的關(guān)系為S=f(L2)，即S與L為平方關(guān)系，已通過計(jì)算證明，這里不再列表贅述。

對(duì)于各因素對(duì)捕獲區(qū)面積的影響，可通過分別計(jì)算捕獲區(qū)面積S對(duì)于L、vf、vb的偏導(dǎo)得到，即

(27)

現(xiàn)給出有效碰撞距離L=1 000 m，根據(jù)式(27)可計(jì)算出捕獲區(qū)面積S對(duì)L、前車速度vf以及后車速度vb的梯度值。在計(jì)算過程中，將速度單位轉(zhuǎn)化為m/s。梯度值計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 梯度值計(jì)算結(jié)果

由表2可見：捕獲面積對(duì)后續(xù)列車速度vb的梯度值最大，這說明后續(xù)列車速度vb對(duì)捕獲面積的影響最大，而前行列車速度vf影響次之，有效碰撞距離L對(duì)捕獲面積的影響最小，即相對(duì)于L，改變前后列車速度可以更為有效地改變捕獲面積S。

綜合分析速度對(duì)于整個(gè)碰撞過程的影響，可得：當(dāng)前行列車速度vf小于后續(xù)列車速度vb時(shí)，此時(shí)無論兩車相距多遠(yuǎn)，后續(xù)列車b先到達(dá)前行列車f的軌道，然后沿同軌道追趕，經(jīng)過時(shí)間t總可以捕獲前車，即碰撞必然發(fā)生,此時(shí)所得界柵圖見圖3；隨著前行列車速度的增加，捕獲區(qū)的面積逐漸減?。划?dāng)前行列車速度增加到一定值時(shí)，即當(dāng)vf=vb時(shí)s0=π/2，此時(shí)的界柵是由兩條平行直線x*(τ)=±L構(gòu)成的，如圖3所示，且這兩條直線無限延伸，仍將對(duì)策空間劃分為兩個(gè)區(qū)域，其中處于兩條線中間且對(duì)應(yīng)于-π/2≤s≤π/2的目標(biāo)集的上部區(qū)域(包含整個(gè)UP)為捕獲區(qū)，這是vf≥vb對(duì)應(yīng)的最大的界柵，捕獲區(qū)以外的區(qū)域?yàn)槎惚軈^(qū)；當(dāng)vf→+∞時(shí)s0=0，故只有(0，L)為BUP，除此以外均為NUP，即整個(gè)對(duì)策空間都是躲避區(qū)。

4 列車碰撞防護(hù)分析

從微分對(duì)策角度分析列車碰撞問題可以更加清晰地描述列車的碰撞情況。分析追蹤碰撞問題的根本目的在于：①在有效的時(shí)間和空間范圍內(nèi)，后續(xù)列車b通過運(yùn)行策略g的持續(xù)優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)對(duì)前行列車f進(jìn)行有效攔截追蹤使得兩車的碰撞盡快發(fā)生，即可以實(shí)現(xiàn)列車間運(yùn)行間隔最小化，也即得到運(yùn)行效率的最大化；②與之相反，前行列車f試圖通過改變速度控制變量k,保證兩車的相對(duì)距離大于有效碰撞距離，進(jìn)而避免后續(xù)列車b的追蹤捕獲而安全逃逸。考慮安全事件，分析碰撞問題最終的目的是避免碰撞發(fā)生或盡可能減小碰撞造成的后果。基于微分對(duì)策理論思想，為達(dá)到避免碰撞或者降低碰撞事故嚴(yán)重性的目的，可以采取的控制策略是減小捕獲區(qū)面積或者使得整個(gè)界柵均為躲避區(qū)(安全區(qū))。根據(jù)對(duì)式(25)模型的分析可知：在影響捕獲區(qū)面積的各因素中，后續(xù)列車速度vb對(duì)捕獲面積的影響最大；前行列車速度的影響次之；有效碰撞距離L的影響較小。綜合考慮前后列車的速度，則可理解為捕獲區(qū)面積與兩車速度比值或差值大小有關(guān)，因此可以通過改變兩車速度比或者L值以達(dá)到減小捕獲區(qū)面積甚至消除捕獲區(qū)的目的。本文中后續(xù)列車b和前行列車f通過信息的連續(xù)傳輸使得列車雙方始終可以了解到對(duì)方的位置信息，當(dāng)兩車相對(duì)距離較小時(shí)可用定性微分對(duì)策進(jìn)行分析，最終可得減輕碰撞發(fā)生嚴(yán)重性或避免碰撞發(fā)生的措施有：

(1)增大前行列車和后續(xù)列車的速度比(差)值，若vf≥vb則碰撞不會(huì)發(fā)生。

(2)減小列車的有效碰撞距離L，即對(duì)于一般情況，列車的有效碰撞距離L越小則列車的制動(dòng)性能越好，發(fā)生碰撞的可能性越小。

(3)在不影響列車運(yùn)行效率的情況下，盡可能的增大列車之間的相對(duì)距離。在實(shí)際的列車運(yùn)行過程中，對(duì)于不同的線路和列車則有相應(yīng)嚴(yán)格的安全距離要求。列車的相對(duì)距離越大，發(fā)生碰撞的概率越小。

綜上可知：增大兩車的速度差(比)值要比減小列車的有效碰撞距離L在避免列車碰撞時(shí)更為有效。同時(shí)在一般的碰撞防護(hù)過程中，在有效的時(shí)間內(nèi)單獨(dú)的采取某一措施以達(dá)到避免碰撞的目的是單一的，往往需要多種措施綜合使用。因此優(yōu)先增加兩車速度比(差)同時(shí)減小有效碰撞距離L可以更為有效地避免列車運(yùn)行過程中碰撞的發(fā)生以及減輕碰撞所造成的傷害。同時(shí)，在列車行駛過程中，保持規(guī)定的安全距離也可有效預(yù)防列車碰撞事故的發(fā)生。

5 結(jié)論

(1)本文基于定性微分對(duì)策理論的列車碰撞與防護(hù)分析，以列車運(yùn)行過程存在的側(cè)面沖突和追尾碰撞問題為基礎(chǔ)建立模型，得到哈密頓函數(shù)，求得列車b和列車f的最優(yōu)軌跡，最終得到界柵；利用微分對(duì)策界柵理論評(píng)估列車追擊的能力，分析影響捕獲面積的各種因素以及各因素影響值的大?。粡谋苊饬熊嚺鲎舶l(fā)生的角度分析避免碰撞所需采取的最優(yōu)措施，從而提前預(yù)警碰撞的發(fā)生，最大程度上保證列車的安全行駛。

(2)安全問題在鐵路和高鐵發(fā)展過程中始終是第一要?jiǎng)?wù)，而微分對(duì)策在分析局中人進(jìn)行對(duì)策活動(dòng)時(shí)能全面地考慮整個(gè)對(duì)策過程，可以更好地分析局中人之間的對(duì)策活動(dòng)。微分對(duì)策應(yīng)用廣泛，不僅可以分析二方的微分對(duì)策中的最優(yōu)控制問題，而且適應(yīng)于分析三方或者多方局中人的對(duì)策問題，同時(shí)對(duì)于平面和空間、有無障礙、水陸空等各種不同對(duì)策環(huán)境所涉及的對(duì)策活動(dòng)的分析也具有可行性和實(shí)用性。