林俊亭，王海斌

(蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，甘肅 蘭州 730070)

列車運行控制系統(tǒng)(以下簡稱“列控系統(tǒng)”)結合調(diào)度指揮系統(tǒng)可有效保障列車運行安全[1]。但在實際運營中，復雜的列控系統(tǒng)受到人為、環(huán)境和技術等因素的制約，列車與列車間碰撞事故難免發(fā)生。在高速鐵路領域，列車接近預警系統(tǒng)[2]中的列車位置控制器，對管轄范圍的列車位置信息進行綜合計算，并借助GSM-R/GPRS向列車發(fā)送相鄰列車接近預警信息，同時將列車接近的不同時序分量劃分為3個分級預警等級[3]，從而達到列車碰撞防護的目的；在城市軌道交通領域，列車碰撞防護多采用車車通信[4]和對稱雙邊雙程測距方法[5]來實現(xiàn)碰撞預警。從控制機理角度分析，追蹤運行列車間的碰撞防護，要通過前后列車的速差和間距控制來實現(xiàn)[6]；從數(shù)學角度分析，列車碰撞防護問題是一種復雜環(huán)境下的追蹤逃逸問題，可借助微分對策理論來分析[7]。

微分對策是分析和解決矛盾、沖突、對抗、合作等問題的數(shù)學工具，起源于對軍事問題的研究，發(fā)展至今已廣泛應用于社會的各領域[8]。簡單來說，微分對策理論是指局中人在進行對策活動時，用微分方程(組)來描述對策現(xiàn)象或規(guī)律的一種對策理論[9]。由于列車運行中的碰撞和防護問題的分析與對策論的思想相符合，因此可通過微分對策理論與方法分析列車運行過程中存在的沖突與矛盾，提出相應的防護措施，從而減輕碰撞所帶來的后果，甚至完全避免碰撞的發(fā)生。為了研究其對抗特性，可對前后車的運行過程進行約束，設運行雙方均以不同的恒定速度做勻速運動，且追方具有最小轉彎半徑。

1 問題描述

假設后續(xù)列車b(以下簡稱“列車b”)和前行列車f(以下簡稱“列車f”)分別以速度vb和vf在平面上勻速運動。列車b的目的是與列車f在保持最小的空間間隔下運行(從追逃角度而言，即在最短時間內(nèi)捕獲列車f)，而列車f則需要“逃避”列車b的“捕獲”，從而確保不發(fā)生碰撞事故。不失一般性地假設列車b和列車f具有相同的制動性能，且其速度分別為vb和vf,并假設兩車距離小于列車有效碰撞距離L時視為碰撞，則對策結束。列車b與列車f的位置關系見圖1。定義α和β分別為列車b和列車f的運動方向與x軸的夾角。根據(jù)以上描述，列車b和列車f的運動狀態(tài)方程為

圖1 列車b與列車f的位置關系

(1)

定義z=(xf-xb,yf-yb)為列車b到列車f的瞬時位置的指向向量；vb(t)和vf(t)分別為列車b和列車f的速度向量。若碰撞不發(fā)生則必須滿足以下定理：在任一時刻t0，列車b的速度向量vb(t0)與相對位置向量z(t0)的內(nèi)積非正，即如果

〈z(t0),vb(t0)〉≤0

(2)

則t≥t0時列車b將無法捕獲前行列車f，碰撞不會發(fā)生。為證明此定理，僅需證明一個列車f成功逃脫的例子即可。證明過程如下。

設t0=0，假設列車b在t≥0的任意時刻都不改變速度的方向和大小，則z可表示為

(3)

(4)

證明完成。

因此可以得到以下結論：列車碰撞發(fā)生的條件是列車f的速度有指向列車b的分量。而由于在上述的證明過程中限定了列車f的速度vf保持不變，因此列車b的最優(yōu)策略則應該是盡快增大指向列車f的速度分量，如果該分量在一定的時間內(nèi)增速不夠，則碰撞也有可能不會發(fā)生。

2 微分對策方法

微分對策方法實質(zhì)上是一種雙(多)方的最優(yōu)控制問題[10]。微分對策根據(jù)有無支付函數(shù)可分為定量微分對策和定性微分對策[11]。本文主要采用定性微分對策方法分析。在分析過程中，兩車采用無線通信進行信息傳輸，使得在整個對策過程中追逃雙方了解對方的位置信息，且兩方都具有獨立決策權。對策雙方根據(jù)實際情況在對策過程中行使控制決策能力使對抗行為始終朝著有利于自己的方向發(fā)展，即自動實施最優(yōu)策略[12]。在對各有優(yōu)勢的局中人分析其捕獲或者躲避的情況下得到的界柵圖，可反映局中人的對策活動，即捕獲和逃逸情況。

2.1 界柵及捕獲區(qū)

利用微分對策分析追蹤躲避問題時，對于界柵的確定極其重要。界柵是“輸”和“贏”的分界線，它將對策狀態(tài)空間分為捕獲區(qū)和逃逸區(qū)兩部分，在界柵上每一點都是捕獲點[13]。本文將前行列車f記為躲方，將后續(xù)列車b記為追方。根據(jù)追逃問題的描述，當列車f進入捕獲區(qū)，則無論列車f采用何種策略，在列車b的作用下總會使得兩車之間的相對距離小于有效碰撞距離，即列車b捕獲列車f從而碰撞發(fā)生，此時對局結束；而一旦列車f進入逃逸區(qū)，無論列車b采用何種策略，列車f總能采取相應的措施逃逸，使得兩車保持安全距離行駛。

2.2 最優(yōu)策略分析

建立運動過程的兩車運動位置關系,見圖2，選取列車f的速度方向為x軸正方向。

圖2 兩車的運動位置

設兩車之間的相對坐標軸為x和y，可以得到列車運行的相對運動微分方程組為

(5)

式中：g為列車b的運行策略，無限制；k為列車f的速度控制變量，k=+1為列車向右加速運動，k=-1為列車向右減速運動。

目標集D為圓域：

x2+y2-L2≤0

(6)

式中：L為列車安全行駛時的有效碰撞距離。

Hamilton函數(shù)表達式為

H(x,y,k,g,γ)=γ1(vfk-vbcosg)+

γ2(-vbsing)=Hb(g)+Hf(k)

(7)

式中：γ=(γ1,γ2)T∈R2為任意向量，且

Hb(g)=-γ1vbcosg-γ2vbsing

(8)

Hf(k)=γ1vfk

(9)

故有

(10)

式中：K、G分別為列車f、列車b的控制集或者控制空間。

γ1sing-γ2cosg=0

(11)

由式(11)解得

(12)

式中：“*”表示同等變量最優(yōu)值。

因此由式(7)和式(12)可得

(13)

3 界柵確定與實例分析

3.1 界柵確定

(14)

對式(14)進行積分，可得

(15)

(16)

式中：s為半徑L與y軸正方向的夾角。又由于

可解得γ1Lcoss-γ2Lsins=0，故可取?D上的單位法向量為γ|?D=(sins,coss)T，因此，列車b和列車f在目標集邊界?D上k*和g*可分別表示為

(17)

(18)

顯然，由于目標集D與目標集邊界?D關于y軸對稱，因此最終得到的UP、BUP和界柵也必定關于y軸對稱?？梢韵瓤紤]右半平面，即0≤s≤π對應部分，然后根據(jù)對稱可得到完整的界柵圖。此時k*=+1，哈密頓函數(shù)為

H(x*,y*,k*,g*,γ)|?D=vfsins-vb

(19)

令vfsins-vb=0，則可得s0=sin-1(vb/vf)。根據(jù)vf取值范圍的不同，很明顯可以得到以下兩種情況：

(1)如果vf

(2)如果vf≥vb，則s0=arcsin(vb/vf)，對于目標邊界集?D上對應于0≤s≤s0的所有點的集合為UP，而對應于s0的點為BUP。下面以構造右半平面的界柵為例進行計算。

由相對運動微分方程組以及邊界集?D的參數(shù)方程可得倒向狀態(tài)微分方程組及初值條件為

(20)

對式(20)積分，可得右半平面界柵為

(21)

整理得

y*(τ)=-tans0x*(τ)+Lsecs0

(22)

由式(22)可以得出右半平面的界柵是一條斜率為tans0的直線，且與目標邊界集?D在s=s0處相切，與y軸的交點坐標為(0，Lsecs0)。

同理，可得到左半平面(即-π≤s≤0)界柵表達式為

(23)

整理得

y*(τ)=tans0x*(τ)+Lsecs0

(24)

由式(24)可知左半平面的界柵是一條斜率為-tans0的直線，同時與目標邊界集?D在s=-s0處相切，與y軸的交點坐標為(0，Lsecs0)。

故以兩直線為界柵的左右平面界柵在(0,Lsecs0)處相交，構成了整個微分對策的界柵。最終所得列車碰撞的界柵圖見圖3，其中捕獲區(qū)為左右平面的界柵以及對應于-s0≤s≤s0的目標邊界集所圍成的區(qū)域，即直線AB、AC以及弧BC所組成的部分為捕獲區(qū)，除捕獲區(qū)以外均為躲避區(qū)。

圖3 列車碰撞界柵圖

3.2 實例分析

對于圖3列車碰撞界柵圖，線段AB和AC所在的兩條直線與弧BC所組成的封閉區(qū)域為捕獲區(qū)，對模型的分析可以從以下三個方面進行：①捕獲區(qū)面積的大小;②影響捕獲區(qū)面積大小的因素;③各因素對捕獲區(qū)面積的影響。

首先，捕獲區(qū)面積的大小，可用于評估碰撞發(fā)生的可能性以及嚴重性，即所得到的捕獲區(qū)面積越大，說明發(fā)生碰撞的可能性越大，同時碰撞一旦發(fā)生所帶來的后果更為嚴重；其次，對于影響捕獲區(qū)面積大小的因素，本文中所涉及的主要為列車的有效碰撞距離L、前行列車f的速度vf，以及后續(xù)列車b的速度vb；最后，考慮各因素對捕獲區(qū)面積的影響，其方法是計算捕獲區(qū)域面積對各因素的梯度值，通過梯度值反映影響值的大小，即對于某一因素所得到的梯度值越大，說明改變該因素的值對于改變捕獲區(qū)域面積更為有效。

根據(jù)圖3，捕獲區(qū)面積可表示為

(25)

(26)

由于微分對策所分析的是局中人雙方各有優(yōu)劣的對策情況，因此以下分析不考慮前后車速度差值較大的情況。不同列車速度下的捕獲區(qū)面積計算結果見表1。

表1 捕獲區(qū)面積計算結果

由表1可得：當速度差值在一定范圍內(nèi)時，若前行列車速度vf與后續(xù)列車速度vb的比值越接近于1，則捕獲區(qū)面積越大；而當速度比值等于1時，捕獲區(qū)面積為無窮大，此時對應的對策情況為列車以一定的距離保持勻速行駛。由式(25)容易得到捕獲區(qū)面積S與L的關系為S=f(L2)，即S與L為平方關系，已通過計算證明，這里不再列表贅述。

對于各因素對捕獲區(qū)面積的影響，可通過分別計算捕獲區(qū)面積S對于L、vf、vb的偏導得到，即

(27)

現(xiàn)給出有效碰撞距離L=1 000 m，根據(jù)式(27)可計算出捕獲區(qū)面積S對L、前車速度vf以及后車速度vb的梯度值。在計算過程中，將速度單位轉化為m/s。梯度值計算結果見表2。

表2 梯度值計算結果

由表2可見：捕獲面積對后續(xù)列車速度vb的梯度值最大，這說明后續(xù)列車速度vb對捕獲面積的影響最大，而前行列車速度vf影響次之，有效碰撞距離L對捕獲面積的影響最小，即相對于L，改變前后列車速度可以更為有效地改變捕獲面積S。

綜合分析速度對于整個碰撞過程的影響，可得：當前行列車速度vf小于后續(xù)列車速度vb時，此時無論兩車相距多遠，后續(xù)列車b先到達前行列車f的軌道，然后沿同軌道追趕，經(jīng)過時間t總可以捕獲前車，即碰撞必然發(fā)生,此時所得界柵圖見圖3；隨著前行列車速度的增加，捕獲區(qū)的面積逐漸減??；當前行列車速度增加到一定值時，即當vf=vb時s0=π/2，此時的界柵是由兩條平行直線x*(τ)=±L構成的，如圖3所示，且這兩條直線無限延伸，仍將對策空間劃分為兩個區(qū)域，其中處于兩條線中間且對應于-π/2≤s≤π/2的目標集的上部區(qū)域(包含整個UP)為捕獲區(qū)，這是vf≥vb對應的最大的界柵，捕獲區(qū)以外的區(qū)域為躲避區(qū)；當vf→+∞時s0=0，故只有(0，L)為BUP，除此以外均為NUP，即整個對策空間都是躲避區(qū)。

4 列車碰撞防護分析

從微分對策角度分析列車碰撞問題可以更加清晰地描述列車的碰撞情況。分析追蹤碰撞問題的根本目的在于：①在有效的時間和空間范圍內(nèi)，后續(xù)列車b通過運行策略g的持續(xù)優(yōu)化，實現(xiàn)對前行列車f進行有效攔截追蹤使得兩車的碰撞盡快發(fā)生，即可以實現(xiàn)列車間運行間隔最小化，也即得到運行效率的最大化；②與之相反，前行列車f試圖通過改變速度控制變量k,保證兩車的相對距離大于有效碰撞距離，進而避免后續(xù)列車b的追蹤捕獲而安全逃逸?？紤]安全事件，分析碰撞問題最終的目的是避免碰撞發(fā)生或盡可能減小碰撞造成的后果?；谖⒎謱Σ呃碚撍枷耄瑸檫_到避免碰撞或者降低碰撞事故嚴重性的目的，可以采取的控制策略是減小捕獲區(qū)面積或者使得整個界柵均為躲避區(qū)(安全區(qū))。根據(jù)對式(25)模型的分析可知：在影響捕獲區(qū)面積的各因素中，后續(xù)列車速度vb對捕獲面積的影響最大；前行列車速度的影響次之；有效碰撞距離L的影響較小。綜合考慮前后列車的速度，則可理解為捕獲區(qū)面積與兩車速度比值或差值大小有關，因此可以通過改變兩車速度比或者L值以達到減小捕獲區(qū)面積甚至消除捕獲區(qū)的目的。本文中后續(xù)列車b和前行列車f通過信息的連續(xù)傳輸使得列車雙方始終可以了解到對方的位置信息，當兩車相對距離較小時可用定性微分對策進行分析，最終可得減輕碰撞發(fā)生嚴重性或避免碰撞發(fā)生的措施有：

(1)增大前行列車和后續(xù)列車的速度比(差)值，若vf≥vb則碰撞不會發(fā)生。

(2)減小列車的有效碰撞距離L，即對于一般情況，列車的有效碰撞距離L越小則列車的制動性能越好，發(fā)生碰撞的可能性越小。

(3)在不影響列車運行效率的情況下，盡可能的增大列車之間的相對距離。在實際的列車運行過程中，對于不同的線路和列車則有相應嚴格的安全距離要求。列車的相對距離越大，發(fā)生碰撞的概率越小。

綜上可知：增大兩車的速度差(比)值要比減小列車的有效碰撞距離L在避免列車碰撞時更為有效。同時在一般的碰撞防護過程中，在有效的時間內(nèi)單獨的采取某一措施以達到避免碰撞的目的是單一的，往往需要多種措施綜合使用。因此優(yōu)先增加兩車速度比(差)同時減小有效碰撞距離L可以更為有效地避免列車運行過程中碰撞的發(fā)生以及減輕碰撞所造成的傷害。同時，在列車行駛過程中，保持規(guī)定的安全距離也可有效預防列車碰撞事故的發(fā)生。

5 結論

(1)本文基于定性微分對策理論的列車碰撞與防護分析，以列車運行過程存在的側面沖突和追尾碰撞問題為基礎建立模型，得到哈密頓函數(shù)，求得列車b和列車f的最優(yōu)軌跡，最終得到界柵；利用微分對策界柵理論評估列車追擊的能力，分析影響捕獲面積的各種因素以及各因素影響值的大小；從避免列車碰撞發(fā)生的角度分析避免碰撞所需采取的最優(yōu)措施，從而提前預警碰撞的發(fā)生，最大程度上保證列車的安全行駛。

(2)安全問題在鐵路和高鐵發(fā)展過程中始終是第一要務，而微分對策在分析局中人進行對策活動時能全面地考慮整個對策過程，可以更好地分析局中人之間的對策活動。微分對策應用廣泛，不僅可以分析二方的微分對策中的最優(yōu)控制問題，而且適應于分析三方或者多方局中人的對策問題，同時對于平面和空間、有無障礙、水陸空等各種不同對策環(huán)境所涉及的對策活動的分析也具有可行性和實用性。