王偉豪，劉樹勇，楊慶超

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430033)

混沌系統(tǒng)對(duì)初始條件和參數(shù)具有敏感性，故可用于艦船故障弱信號(hào)檢測，即系統(tǒng)初始條件和參數(shù)的微小變化會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)相軌跡發(fā)生顯著變化[1-3]。目前利用混沌檢測弱信號(hào)的研究用的較多的仍然是非自治的Duffing系統(tǒng)。王冠宇等[4]對(duì)白噪聲干擾下的Duffing系統(tǒng)的弱信號(hào)檢測進(jìn)行了研究，從理論上證明了其用于弱信號(hào)檢測的可行性。林紅波等[5]提出了一種提取混沌噪聲背景下微弱諧波信號(hào)的GRNN檢測方法，驗(yàn)證了信噪比在-36 dB時(shí)可以檢測出諧波。Li等[6]在高斯色噪聲背景下檢測被測信號(hào)的信噪比可達(dá)-108.45 dB。任學(xué)平等[7]通過一種改進(jìn)的Duffing振子檢測微弱信號(hào)系統(tǒng)，可檢測固有頻率較大的微弱信號(hào)，此系統(tǒng)受故障干擾時(shí)更易進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)。Ma等[8]通過對(duì)Duffing振子內(nèi)置頻率的調(diào)整實(shí)現(xiàn)相同臨界混沌狀態(tài)下弱信號(hào)的檢測。但Duffing系統(tǒng)在檢測微弱信號(hào)時(shí)仍存在檢測域度不夠大的問題，當(dāng)待測信號(hào)幅值超過Dufing系統(tǒng)本身能維持周期態(tài)的范圍時(shí)系統(tǒng)又回到混沌狀態(tài)，極大地降低了檢測的范圍和準(zhǔn)確度。

三維混沌系統(tǒng)研究較多，但用于弱信號(hào)檢測領(lǐng)域的系統(tǒng)較少，且可用的三維混沌檢測系統(tǒng)仍些許不足。孟玲玲等[9]提出了混沌和類周期態(tài)兩種狀態(tài)的Lorenz檢測系統(tǒng)。Xu等[10]利用Rosser系統(tǒng)與比例微分結(jié)合控制的方法檢測微弱信號(hào)，增強(qiáng)了系統(tǒng)周期態(tài)的穩(wěn)定性，但以上兩項(xiàng)研究未解決收斂性與窄域性等問題。王夢(mèng)蛟等[11]對(duì)陳氏混沌系統(tǒng)施加非共振參數(shù)激勵(lì)，數(shù)值仿真得到控制參數(shù)使受控系統(tǒng)迅速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，可檢測出強(qiáng)噪聲背景下的微弱諧波信號(hào)，但是由于利用參數(shù)達(dá)到抑制狀態(tài)，其穩(wěn)定性和檢測精度較差。劉劍鳴等[12]將周期函數(shù)嵌入典型的三維Liu混沌系統(tǒng)，構(gòu)成了帶有余弦函數(shù)的新混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)存在明顯的由混沌到大周期態(tài)的變化，且可檢測域度較寬。基于此構(gòu)造原理，將諧波函數(shù)嵌入到呂系統(tǒng)中，獲得帶有余弦函數(shù)的新三維Lv-cos混沌弱信號(hào)檢測系統(tǒng)，可檢測待測信號(hào)信噪比低至-66 dB。在此基礎(chǔ)上將變尺度系數(shù)法應(yīng)用到該系統(tǒng)，并通過仿真實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)僅用一組參數(shù)條件檢測任意頻率、任意初相位的特征信號(hào)。

1 Lv-cos混沌系統(tǒng)檢測特性

1.1 Lv-cos混沌系統(tǒng)特性

2002年，呂金虎等通過混沌反控制得到混沌Lv系統(tǒng)，作為一種連接Chen系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)的橋梁，Lv系統(tǒng)得到了廣泛研究[13-14]。但是由于Lv系統(tǒng)的收斂速度較慢，限制了其混沌弱信號(hào)檢測領(lǐng)域的的應(yīng)用，本文將余弦信號(hào)嵌入到三維Lv混沌系統(tǒng)，得到一種新的帶有余弦函數(shù)的Lv-cos系統(tǒng)，方程為

其中：a=35，b=3，c=28，rcos(ωt)為系統(tǒng)內(nèi)置激勵(lì)信號(hào)，利用內(nèi)置激勵(lì)信號(hào)幅值進(jìn)行混沌系統(tǒng)特性分析。為簡化分析，取參數(shù)ω=1，令初始條件x0=0.5,y0=0.8,z0=1，用4階Runge-kutta法進(jìn)行求解，步長取0.001 s，對(duì)穩(wěn)定后的點(diǎn)進(jìn)行特性分析，當(dāng)r=30時(shí)，相空間軌跡圖，時(shí)間序列圖、y-z平面的龐加萊截面圖和功率譜圖如圖1所示。利用Jcobian方法計(jì)算Lyapunov指數(shù)得λ1=0.265,λ2=-0.585,λ3=-37.26。由圖1可知，相空間軌跡為混沌狀態(tài)，時(shí)間序列為無序，龐加萊截面出現(xiàn)密集點(diǎn)，功率譜連續(xù)，且由最大Lyapunov指數(shù)大于0，判斷當(dāng)r=30時(shí)，系統(tǒng)(1)為混沌狀態(tài)。

圖1 Lv-cos系統(tǒng)在參數(shù)r=30的響應(yīng)

1.2 Lv-cos混沌系統(tǒng)弱信號(hào)檢測特性及數(shù)值仿真

使用Lyapunov指數(shù)可以表征混沌系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間平均收斂或發(fā)散的快慢程度。當(dāng)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為正時(shí)，平均指數(shù)率發(fā)散，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，反之為大周期狀態(tài)。保持系統(tǒng)參數(shù)和初始條件不變，令ω=1，內(nèi)置信號(hào)幅值r的變化范圍為0～40 V，對(duì)Lv-cos混沌系統(tǒng)進(jìn)行Lyapunov指數(shù)仿真和分岔圖分析，結(jié)果如圖2所示，由仿真結(jié)果可知：Lv-cos混沌系統(tǒng)在足夠大范圍內(nèi)存在唯一臨界閾值點(diǎn)rd，當(dāng)信號(hào)幅值r＞rd時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)大于0，即Lv-cos系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，在激勵(lì)信號(hào)幅值r超過臨界閾值點(diǎn)之前，lyapunov指數(shù)一直為負(fù)，系統(tǒng)相軌跡為單一周期狀態(tài)，因此該Lv-cos系統(tǒng)能夠很好地用于弱信號(hào)的檢測。通過圖2還可以看出此系統(tǒng)的大周期狀態(tài)范圍足夠長，即對(duì)未知強(qiáng)度信號(hào)可檢測范圍足夠大，因此Lv-cos系統(tǒng)對(duì)于同頻輸入信號(hào)具有廣域檢測性。

式(1)中，令參數(shù)r=rd，設(shè)計(jì)微弱諧波信號(hào)檢測系統(tǒng)如下：

式中：輸入信號(hào)μ(t)=d(t)+n(t)，d(t)=f·coswt,表示待檢測信號(hào)或有用信號(hào)，n(t)為背景噪聲。利用傳統(tǒng)的方法難以從背景噪聲中識(shí)別出待測信號(hào)，Lv-cos系統(tǒng)檢測原理為，將檢測系統(tǒng)調(diào)整為混沌臨界狀態(tài)，當(dāng)輸入待測信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)過臨界點(diǎn)，進(jìn)入大周期態(tài)，相空間軌跡發(fā)生明顯變化，未知信號(hào)被檢測出來。由Lyapunov指數(shù)譜，當(dāng)最大李指數(shù)過零線時(shí)，系統(tǒng)吸引子狀態(tài)發(fā)生變化，此時(shí)的幅值r為臨界值，圖2(b)分岔圖驗(yàn)證了此臨界值的準(zhǔn)確性，通過大量數(shù)值仿真分析臨界值附近的相軌圖最終得出較為精確的臨界值為rd=26.048 49。

當(dāng)輸入信號(hào)μ(t)=0時(shí)，Lv-cos系統(tǒng)處于混沌臨界狀態(tài)如圖3(a)所示，加入待測信號(hào)d(t)=f·cost，令f由0逐漸增大，系統(tǒng)開始發(fā)生變化，當(dāng)f=5×10-5時(shí)，系統(tǒng)突變?yōu)榇笾芷趹B(tài)如圖3(b)所示，由圖3的相軌跡變化表明系統(tǒng)檢測到同頻信號(hào)。此時(shí)加入功率P=0.01W的高斯白噪聲，該條件下信噪比為SNR=≈-66 dB，系統(tǒng)相態(tài)仍維持在大周期態(tài)，由于噪聲的干擾作用，各周期的軌跡并不完全重合，圖4(a)、圖4(b)分別為含噪聲信號(hào)的波形圖和輸入含高斯白噪聲信號(hào)后系統(tǒng)相軌跡圖。

用方差為1的非高斯白噪聲通過一個(gè)4階帶通濾波器產(chǎn)生非高斯色噪聲。所設(shè)計(jì)的數(shù)字帶通濾波器的傳遞函數(shù)為

濾波器的截止頻率分別為0.3和0.4，得到非高斯色噪聲如圖5(a)所示，其功率為0.008 W，將其混入待檢測信號(hào)中并輸入Lv-cos系統(tǒng)中，得到輸入含非高斯色噪聲信號(hào)后系統(tǒng)軌跡圖如圖5(b)所示，系統(tǒng)相態(tài)過渡到大尺度周期態(tài)，由于有色噪聲的影響，周期軌跡并不完全重合，在有色噪聲背景下的信噪比為SNR=10 lg≈-65 dB。

綜上所述，待測信號(hào)中含有一定量的背景噪聲并不影響系統(tǒng)對(duì)待測信號(hào)的檢測，Lv-cos混沌檢測系統(tǒng)對(duì)不同背景噪聲具有免疫性。

2 Lv-cos系統(tǒng)信號(hào)檢測研究

2.1 待測信號(hào)頻率對(duì)檢測的影響

圖2 Lv-cos系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜圖和分岔圖

圖3 Lv-cos系統(tǒng)在檢測弱信號(hào)時(shí)的響應(yīng)圖

圖4 輸入含有白噪聲信號(hào)時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)

圖5 輸入含非高斯色噪聲信號(hào)時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)

以上研究是在待測信號(hào)頻率與內(nèi)置激勵(lì)信號(hào)頻率相等的情況下進(jìn)行的，對(duì)于實(shí)際待測信號(hào)而言，頻率往往很難確定，即使事先知道頻率值，并將內(nèi)置信號(hào)頻率設(shè)為與它相等，也要經(jīng)過大量仿真重新計(jì)算該頻率參數(shù)條件下的系統(tǒng)臨界幅值rd，如果每檢測一次信號(hào)重復(fù)這個(gè)過程，顯然是繁瑣和不經(jīng)濟(jì)的。因此，采用尺度變換可很好地處理針對(duì)不同頻率待測信號(hào)的檢測問題[15-17]。

由變尺度思想，在不改變數(shù)值的情況下，在時(shí)間尺度上進(jìn)行壓縮或放大，應(yīng)用于Lv-cos混沌檢測系統(tǒng)，即將不同頻率的待測信號(hào)尺度變換到已知的系統(tǒng)內(nèi)置激勵(lì)信號(hào)頻率。假設(shè)待檢測信號(hào)d(t1)=h·cos(ω1t1)，通過時(shí)間尺度變換令ωt=ω1t1，cosωt為原系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)，得到，則d(t)=h·cosω1t1相當(dāng)于待測信號(hào)頻率在頻率軸上壓縮了倍，時(shí)間間隔增大了倍，對(duì)于三維系統(tǒng)表現(xiàn)為當(dāng)三維變量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)時(shí)，系數(shù)統(tǒng)一擴(kuò)大了倍，系統(tǒng)由式(2)變?yōu)槭?4)：

式中，仿真參數(shù)與式(2)相同，當(dāng)輸入信號(hào)μ(t)=d(t)=0.01cos(10t)，用式(2)和式(4)分別進(jìn)行仿真研究得到圖6變尺度檢測結(jié)果。

圖6(a)為用式(2)檢測，未進(jìn)行尺度變換的結(jié)果，系統(tǒng)狀態(tài)為混沌狀態(tài)，圖6(b)為用式(4)檢測的結(jié)果，顯然通過尺度變換系統(tǒng)響應(yīng)由混沌軌跡突變?yōu)榇笾芷趹B(tài)，結(jié)論與之前的研究吻合，可以判斷輸入信號(hào)中含有頻率ω=10 rad/s的信號(hào)成分。

2.2 待測信號(hào)初始相位對(duì)檢測的影響

在上述的研究中，內(nèi)置激勵(lì)信號(hào)與待測信號(hào)相位等于0，而在實(shí)測工程中，待檢測信號(hào)初始相位為0的可能性不大，且大小未知，因此關(guān)于待測信號(hào)相位對(duì)檢測影響的研究十分有必要[18]。

在式(2)中，設(shè)待測信號(hào)初始相位為φ，內(nèi)置激勵(lì)信號(hào)初始相位為α，且α,φ∈[-π,π]，則信號(hào)形式可寫為

通過前面分析可知，Lv-cos系統(tǒng)對(duì)噪聲具有較好的免疫性，因此為簡化分析令n(t)=0，α=0，且將待測信號(hào)頻率設(shè)為ω=1，則式(5)簡化為

其中：β=arctan[fsinφ/(-r+fcosφ)]。

通過上式運(yùn)算，將待檢測信號(hào)與系統(tǒng)內(nèi)置激勵(lì)信號(hào)合并成一個(gè)余弦函數(shù)項(xiàng)，β的取值只會(huì)影響相圖軌跡的初始位置，對(duì)Lv-cos系統(tǒng)從混沌狀態(tài)過渡到大尺度周期狀態(tài)的閾值不會(huì)有影響。因此，只需要考慮對(duì)系統(tǒng)檢測有影響的余弦函數(shù)的幅值，其滿足下列關(guān)系式：

系統(tǒng)就可以從混沌變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)，從而檢測出微弱信號(hào)。由于待測信號(hào)相位的影響，將r取得比臨界閾值rd稍大些，為相位計(jì)算留有一定裕度，取r=26.1，若已知待測信號(hào)的幅值f，則可通過式(6)求出待測信號(hào)相位φ的范圍。下面以f=0.08為例進(jìn)行分析說明。

取臨界值rd=26.048 49，由上式可求得f=0.08時(shí)φ的取值范圍是[-51.25°,51.25°]，由于φ∈[-π,π]，而f=0.08時(shí)，能檢測的范圍φ∈[-51.25°,51.25°]有限，其檢測概率只占28.5 %，對(duì)于未能被檢測出的相位可以對(duì)式子式(5)進(jìn)行處理，在不改變待測信號(hào)幅值大小的情況下在幅值前加負(fù)號(hào)，即由“+”改寫為“-”，則式(5)和(6)變?yōu)?/p>

通過計(jì)算，當(dāng)f=0.08時(shí)，對(duì)于微弱信號(hào)能夠檢測出的相位范圍為φ∈[-180°,-128.75°]?[128.75°,180°]，此時(shí)還不能對(duì)φ∈[-π,π]的檢測范圍達(dá)到100%，可通過引入驅(qū)動(dòng)信號(hào)相位α對(duì)未能覆蓋到的待測信號(hào)相位進(jìn)行補(bǔ)償達(dá)到檢測。為方便計(jì)算，可以取內(nèi)置激勵(lì)信號(hào)的相位α=π/2，利用式(5)和式(7)得到如下求解相位范圍的形式：

圖6 尺度變換對(duì)輸入信號(hào)μ(t)檢測結(jié)果的影響

式中：sinφ=cos(φ-π/2)，利用式(9)和式(10)求得待測信號(hào)初始相位的檢測范圍分別為φ∈[38.75°,141.25°］和φ∈[-141.25°,-38.75°]。由此可知，對(duì)于幅值大于0.08的待測信號(hào)的檢測，可以通過這種方式進(jìn)行處理，分別令α=0和α=π/2，再各自代入方程式(5)和式(7)中得到四個(gè)方程，這4個(gè)方程可檢測的相位覆蓋了φ的整個(gè)區(qū)間。

以上分析是在待測信號(hào)幅值設(shè)定為f=0.08的情形下計(jì)算的，實(shí)際檢測過程中，對(duì)于未知相位的檢測會(huì)受到待測信號(hào)幅值的影響，當(dāng)r=26.1，預(yù)估此條件下對(duì)于待測信號(hào)初始相位的檢測應(yīng)滿足的幅值f的范圍，由(6)式可得：

滿足相位φ有解，得：

將rd=26.048 49代入其中，得f∈[0.05,52.15]。由此看來，以上分析設(shè)定的參數(shù)條件可檢測待測信號(hào)的幅值范圍滿足機(jī)械故障弱信號(hào)的檢測范圍，可用于對(duì)待測信號(hào)初始相位的檢測。

下面給出一個(gè)仿真實(shí)例，假設(shè)待測信號(hào)d(t)=0.08cos(10t+80°)，背景噪聲為P=0.05 W的高斯白噪聲，將待測信號(hào)與噪聲信號(hào)輸入到以上四個(gè)檢測方程中，利用變尺度系數(shù)法求得系統(tǒng)的相軌跡如圖7所示，(a)、(b)、(c)、(d)分別為α=0時(shí)式(5)和式(7)以及α=π/2時(shí)式(5)和式(7)進(jìn)行輸入信號(hào)檢測的結(jié)果，只有式(5)在α=π/2時(shí)發(fā)生了由混沌向周期態(tài)轉(zhuǎn)換的突變，能將ω=10 rad/s的待測信號(hào)檢測出來，如圖7(c)所示，其余3個(gè)檢測方程均為混沌狀態(tài)，不能將含有相位的待測信號(hào)檢測出來。

圖7 待測信號(hào)相位角為80°時(shí)不同檢測方程的檢測效果

綜上所述，當(dāng)滿足一定幅值條件（如h≥0.08）的待測信號(hào)中初始相位不為0時(shí)，通過考慮相位因素將方程變形為4個(gè)檢測方程，通過數(shù)值分析4個(gè)檢測方程的相軌變化，其中一個(gè)發(fā)生大周期突變，便可將含有頻率的待測信號(hào)提取出來。

3 工程應(yīng)用檢測步驟

上述仿真實(shí)例表明，基于原始Lv系統(tǒng)構(gòu)造的新Lv-cos混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性豐富，對(duì)于弱信號(hào)檢測是可行的，在實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)，其檢測步驟為

(1)對(duì)在檢測的工程信號(hào)進(jìn)行初步強(qiáng)度估計(jì)和降噪處理，將信號(hào)強(qiáng)度控制在可檢測范圍(由系統(tǒng)對(duì)稱性和Lyapunov指數(shù)譜可知Lv-cos系統(tǒng)可檢測幅值范圍為0.000 05～52.097)；

(2)確定系統(tǒng)方程參數(shù)，如初始值a=35，b=3，c=28，步長0.001 s，ω=1，r=26.1；

(3)將預(yù)處理后的待測信號(hào)輸入到Lv-cos方程式(4)和式(6)中并依次取α=0和α=π/2得到4個(gè)檢測方程如以上式(6)、式(8)、式(9)和式(10)4個(gè)式子；

(4)將采集的信號(hào)頻率ω′通過尺度變換到與內(nèi)置信號(hào)頻率ω=1rad/s相同，尺度變換系數(shù)為，采用4階Runge-Kutta法進(jìn)行計(jì)算，分別求解4個(gè)檢測方程得到軌跡圖；

(5)通過調(diào)整尺度變化系數(shù)的值，只要有一副相軌跡圖發(fā)生由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榇蟪叨戎芷趹B(tài)，即可檢測到未知信號(hào)，其頻率值為ω1。

4 結(jié)語

根據(jù)以上研究，可以得到如下結(jié)論：

(1)新構(gòu)造的Lv-cos混沌系統(tǒng)能夠有效地對(duì)弱信號(hào)進(jìn)行檢測。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)處于檢測閾值時(shí)，弱信號(hào)輸入條件下將導(dǎo)致吸引子的相軌跡發(fā)生變化，由混沌變?yōu)橹芷冢?/p>

(2)針對(duì)傳統(tǒng)方法對(duì)待測信號(hào)大頻率檢測的限制，本文利用尺度變換實(shí)現(xiàn)了僅利用一組特定條件的參數(shù)取值完成對(duì)任意頻率成分信號(hào)的檢測，且操作簡單；

(3)利用被測信號(hào)與內(nèi)置信號(hào)進(jìn)行合并后得到的幅值進(jìn)行混沌到大周期狀態(tài)的臨界判斷，解決了被測信號(hào)的相位不確定對(duì)系統(tǒng)檢測造成的影響，可檢測的相位覆蓋率為100%；

(4)新構(gòu)造的Lv-cos混沌系統(tǒng)的弱信號(hào)檢測具有良好的噪聲免疫性和廣域檢測性，在高斯白噪聲背景下可檢測信噪比低至-66 dB，在有色噪聲背景下可檢測信噪比低至-65 dB，對(duì)于強(qiáng)度較大的待測信號(hào)也能檢測出來，這是傳統(tǒng)Duffing振子檢測系統(tǒng)不具備的特性，因此該系統(tǒng)在噪聲背景下的弱信號(hào)檢測有廣闊的發(fā)展前景。