李戈，毛崎波，吳彬

（1.南昌航空大學，南昌 330063；2.中國科學院 力學研究所，北京 100190）

電磁分流阻尼技術(shù)是利用機電能量轉(zhuǎn)換特性來耗散被控對象的機械能的控制方法[1-2]，其原理是當被控對象發(fā)生振動時，線圈與永磁鐵存在相對速度，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，線圈內(nèi)會產(chǎn)生感應(yīng)電流以及感應(yīng)磁場，永磁鐵與線圈之間會產(chǎn)生電磁力以阻礙這種相對運動[3]。電磁線圈外接分流電路構(gòu)成電磁分流阻尼，電磁分流阻尼通過分流電路耗散由主系統(tǒng)的機械能轉(zhuǎn)化而來的電能[3-4]，常見的分流電路有RL電路，RL-C電路[5]。RL電路常用于控制低頻率的振動，因為隨著頻率增加，感抗隨之增加，電流分量隨之減小，無功功率增加，導(dǎo)致控制效果減弱。而加入電容組成LCR分流電路是因為電容上的電壓相位與電感上的相位相反，而LCR串聯(lián)諧振電路可以通過調(diào)節(jié)電容的大小來降低電路無源阻抗，從而降低無功功率。相比較之下LCR分流電路能獲得更好的控制效果。電磁分流阻尼技術(shù)可以應(yīng)用于多種結(jié)構(gòu)，單自由度的LCR電磁分流電路優(yōu)化是其理論基礎(chǔ)，因此將電磁分流阻尼用于控制單自由度系統(tǒng)振動的研究值得重視。

利用定點理論求解隔振器或者動力吸振器的最優(yōu)化問題也稱H∞優(yōu)化[6-16]，不但可以推導(dǎo)出動力吸振器的最優(yōu)設(shè)計，而且還可以用來推導(dǎo)出電磁分流阻尼的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。定點理論的缺點在于只能針對主系統(tǒng)無阻尼的情況來進行優(yōu)化，而主系統(tǒng)阻尼比不為零，則位移放大因子的曲線將不會相交于兩個定點[7]。對于含有電磁分流阻尼的隔振器或者調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)，應(yīng)用定點理論設(shè)計最優(yōu)參數(shù)，若考慮主系統(tǒng)阻尼,使用定點理論同樣不具有可行性。當主系統(tǒng)被作用于電磁分流阻尼時，位移放大因子隨頻率比變化的曲線存在多個極值點，因此需要使用一種不容易陷入局部優(yōu)化的算法，而遺傳算法作為一種內(nèi)在啟發(fā)式隨機搜索算法，在搜索的最優(yōu)解的過程中不容易陷入局部最優(yōu)[8-16]。因此本文使用遺傳算法求解考慮主系統(tǒng)阻尼比時電磁分流阻尼的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。Nariman等[8]使用多目標遺傳算法優(yōu)化了5自由度車輛振動模型，并得到了pareto解；Esen等[9]使用遺傳算法優(yōu)化了針對的槍管筒體式動力吸振器的參數(shù)；Lee等[10]使用遺傳算法優(yōu)化了多重動力吸振器的設(shè)計參數(shù)。國內(nèi)的付江華等[11]基于H∞優(yōu)化的目標函數(shù)，使用了包括遺傳算法在內(nèi)的多種進化學習算法，求得了當位移放大因子含有主系統(tǒng)阻尼比時的傳統(tǒng)動力吸振器的最優(yōu)阻尼比、最優(yōu)調(diào)諧比。李學斌[12]利用多目標遺傳算法求出了動力吸振器(DVA)的最優(yōu)參數(shù)的pareto解。Xu等[13]使用遺傳算法對精密平臺隔振系統(tǒng)參數(shù)進行了優(yōu)化。故考慮主系統(tǒng)阻尼比時，在求解電磁分流阻尼的優(yōu)化問題時，本文嘗試使用遺傳算法。

1 電磁分流阻尼模型

1.1 無量綱位移放大因子

本文以LCR串聯(lián)分流電路為例，如圖1所示。該系統(tǒng)由主系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度，以及電磁分流阻尼器構(gòu)成，可以將音圈電機作為電磁分流阻尼器[15]。

作用于線圈的洛倫茲力為f=φi，該力的方向與音圈電機線圈運動方向相反，并作為一個抑制主系統(tǒng)振動的力與系統(tǒng)的慣性力方向相反，且與電流i的大小成正比。

電磁分流阻尼的力-電耦合方程方程由LCR振蕩電路方程以及主系統(tǒng)運動微分方程所組成。該系統(tǒng)的力-電耦合方程如下：

式中：m為主系統(tǒng)質(zhì)量，c為主系統(tǒng)阻尼，k為主系統(tǒng)剛度，em為感應(yīng)電動勢，L為線圈電感，R為電磁分流阻尼線路的電阻，Cs為諧振電容；φ為電磁系數(shù)，與線圈的匝數(shù)、永磁鐵磁場強度、線圈長度有關(guān)[5]。

對作復(fù)展開，求得幅值為

因此位移放大因子的平方根隨激勵力頻率變化表達式為

主系統(tǒng)阻尼比為Z=C/2mω0，對式(4)上下同時除以k4L2并再乘以m2，得到無量綱形式的位移放大因子的表達式如下：

1.2 基于定點理論的最優(yōu)同調(diào)以及最優(yōu)阻尼條件

令式(5)中主系統(tǒng)阻尼比Z=0得到無阻尼時的位移放大因子表達式如下：

取最優(yōu)阻尼比ζopt=(ζP+ζQ)/2；將γopt代入γ2=可得到最優(yōu)電容Copt=由ζopt=可得Ropt=。

2 遺傳算法優(yōu)化電磁分流阻尼

通過分析PQ定點優(yōu)化的位移放大因子曲線可知，參數(shù)為最優(yōu)時，曲線上會有兩個極大值點，且兩個極大值點處的高度相同，而當參數(shù)不為最優(yōu)時，兩個峰值一大一小，根據(jù)H∞優(yōu)化的原理，即使得位移放大因子的最大值最小[14]，故設(shè)計目標函數(shù)以獲取第k次迭代的最大值點，并在種群迭代歷史中搜索最小的那個最大值，對應(yīng)的調(diào)諧比γ，阻尼比ζ即是最優(yōu)同調(diào)條件以及最優(yōu)阻尼比，因此，可以把目標函數(shù)設(shè)計為

優(yōu)化變量的范圍為0≤ζ≤1,0≤γ≤1，用MATLAB編寫優(yōu)化程序時，首先將頻率比λ在區(qū)間0.2＜λ＜1.7離散為數(shù)組{λ1λ2,…,λm}，其中離散步長取0.000 5。由于最終是要尋找最小值，因此適應(yīng)度函數(shù)是在數(shù)組{γ,ζ,{λ1λ2,…λm}}取的最大值的負數(shù)，即適應(yīng)度函數(shù)為

用MATLAB結(jié)合遺傳算法優(yōu)化電磁分流阻尼的步驟為

(1)設(shè)定精度為0.000 001，生成0～1隨機數(shù)，對調(diào)諧比γ、阻尼比ζ的染色體進行隨機編碼，長度為20，初始種群大小設(shè)置為500。

(2)對染色體進行解碼，根據(jù)式(10)計算適應(yīng)度值。

圖1 電磁分流阻尼用于控制單自由度振動

(3)對各個染色體的適應(yīng)度值進行輪盤賭操作，得到個體被選定的概率，并計算累計概率，然后產(chǎn)生一個[0，1]的隨機數(shù)來決定哪個染色體可以參與后續(xù)的交配[16]，將選中的染色體復(fù)制，重復(fù)這樣的操作500次，組成新的種群S1。

(4)按交叉率Pc所決定的參加交叉的染色體數(shù)c，從種群S1中隨機選定c個染色體，配對并進行交叉，然后將得到的染色體代替原染色體，得種群S2。

(5)根據(jù)變異概率Pm確定變異次數(shù)m，從S2中隨機選定m個染色體，做變異操作，并用產(chǎn)生的染色體代替原染色體，得到種群S3。

至此，遺傳算法完成了第一代操作流程得到了新的種群，將新的種群作以上同樣的操作，不斷將產(chǎn)生的新種群循環(huán)地不斷進行迭代，直到達到預(yù)先設(shè)定的迭代次數(shù)為止，然后輸出最優(yōu)解以及最優(yōu)參數(shù)如下圖所示。利用遺傳算法優(yōu)化電磁分流阻尼的流程圖如2圖所示。

圖2 遺傳算法優(yōu)化電磁分流阻尼電路的流程圖

3 數(shù)值計算

3.1 PQ定點優(yōu)化電磁分流阻尼

根據(jù)參考文獻[5]的數(shù)據(jù)，對電磁分流阻尼優(yōu)化所用到的參數(shù)的物理意義以及具體數(shù)值，如表1所示。

表1 電磁分流阻尼參數(shù)

表1中，等效電阻R，與電路電容Cs為待優(yōu)化變量。根據(jù)表1并結(jié)合1.2節(jié)的結(jié)論可以計算出基于定點理論優(yōu)化最優(yōu)電容Cs以及最優(yōu)電阻R分別為Copt=0.020 9 F，Ropt=0.998 54 Ω。

3.2 遺傳算法優(yōu)化電磁分流阻尼

首先分析遺傳算法優(yōu)化主系統(tǒng)阻尼比為零時的電磁分流阻尼，再與定點理論優(yōu)化的電磁分流阻尼進行比較。當主系統(tǒng)阻尼比Z=0，用MATLAB編寫遺傳算法程序計算出,最優(yōu)阻尼比以及最優(yōu)調(diào)諧比分別為ζGA=0.635 65，γGA=0.816 32；進一步得到遺傳算法優(yōu)化后的電容Cga=0.020 9 F，Rga=1.058 4 Ω。運行程序可以得到最優(yōu)個體的適應(yīng)值隨種群迭代次數(shù)變化曲線如圖3所示。

圖3 最優(yōu)個體適應(yīng)值隨種群迭代次數(shù)的變化趨勢

用MATLAB繪制Xn的響應(yīng)曲線，并與3.1節(jié)計算的PQ定點優(yōu)化的Xn曲線對比，如圖4所示。

圖4 主系統(tǒng)無阻尼時Rga對應(yīng)的位移放大因子曲線

分析可知：當主系統(tǒng)阻尼比Z取0時，經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化后的位移放大因子Xn的曲線與PQ定點優(yōu)化的曲線存在微弱的差距，這是由于ζopt是取PQ兩點處的阻尼比的平均值，其位移放大因子Xn的兩個極值點并不與PQ定點重合，但是非?？拷?，而針對遺傳算法所設(shè)計的目標函數(shù)是搜索關(guān)于位移放大因子Xn的平方根的最大值集合中的最小的最大值，因此才造成這樣的差距。

由于定點理論的缺點是無法針對主系統(tǒng)存在阻尼時對位移放大因子Xn進行優(yōu)化，因此嘗試使用遺傳算法優(yōu)化Xn曲線。當主系統(tǒng)阻尼比Z分別為0.01、0.02、0.03時，通過對目標函數(shù)的Z值分別進行賦值，運行程序，得到各自的主系統(tǒng)阻尼比所對應(yīng)的最優(yōu)調(diào)諧比以及最優(yōu)阻尼比，根據(jù)這些參數(shù)結(jié)合1.2節(jié)以及表1的數(shù)據(jù)，可分別得到主系統(tǒng)阻尼比不同時位移放大因子曲線，如圖5所示。

結(jié)合圖5以及表1數(shù)據(jù)可以得到遺傳算法優(yōu)化的最優(yōu)電容Cga以及最優(yōu)電阻Rga，如表2所示：

圖5 遺傳算法優(yōu)化阻尼比不同時的位移放大因子

表2 遺傳算法優(yōu)化后的電容與電阻大小

考慮主系統(tǒng)阻尼后，最優(yōu)電容Cga幾乎不發(fā)生變化即最優(yōu)調(diào)諧比不變，而最優(yōu)電阻會略微增加，因此相對應(yīng)的最優(yōu)阻尼比會增加。

綜合圖4與圖5可知，遺傳算法以編碼方式進行數(shù)值計算，不對參數(shù)本身進行操作，而定點理論的計算首先要通過解方程的方式求得最優(yōu)同調(diào)條件(即定點等高)，求解最優(yōu)阻尼比的理論推導(dǎo)過于復(fù)雜，因此遺傳算法相對于定點理論具有良好的操作性；而且能考慮主系統(tǒng)的阻尼比，相對于定點理論更能接近實際情況。

為了對比阻尼比取不同值時，遺傳算法的控制效果，令電阻R=109歐姆，則分流電路即可視為斷路，即為控制前的效果。控制效果如圖6所示。

分析圖6可知：未用電磁分流阻尼控制前，位移放大因子Xn的幅值會隨著主系統(tǒng)阻尼比增加而降低；基于遺傳算法優(yōu)化的電磁分流阻尼設(shè)計對降低主系統(tǒng)振動具有良好效果；遺傳算法能解決考慮主系統(tǒng)存在阻尼時，電磁分流阻尼的最優(yōu)電路參數(shù)，目標函數(shù)與適應(yīng)度函數(shù)都不用改變，其可操作性更強，并且其控制效果更接近實際情況，因此相比于定點理論具有優(yōu)越性。

圖6 主系統(tǒng)阻尼比取不同值時，遺傳算法的控制效果

4 結(jié)語

本文針對電磁分流阻尼，使用遺傳算法優(yōu)化所得到的結(jié)果基本理想，與定點理論優(yōu)化的位移放大因子曲線基本吻合，并通過使用遺傳算法解決了定點理論不能優(yōu)化主系統(tǒng)有阻尼時的電磁分流阻尼電路參數(shù)的問題。在應(yīng)用遺傳算法搜索位移放大因子的最大值時，沒有陷入局部最優(yōu)，這說明了遺傳算法用于對電磁分流阻尼以及其他含有電磁阻尼的有阻尼動力吸振器的最優(yōu)設(shè)計具有很高的可靠性，且遺傳算法的目標函數(shù)以及適應(yīng)度函數(shù)仍然不用改變，這是其便利所在。