謝昊青，秦 琨，孟凡利，付 康，白曉坤

(1.上海航天電子技術(shù)研究所，上海 202012; 2.空軍駐上海地區(qū)第一軍代表室，上海 202012)

0 引言

在低空環(huán)境下，對于目標(biāo)波達方向(Direction of Arrical,DOA)估計來說最大的問題是雜波和干擾強、地形地物的遮擋以及多徑效應(yīng)嚴(yán)重。本文主要研究多徑效應(yīng)對于DOA估計的影響，此時雷達接收到的信號其實是直達波和反射波2個信號的合成信號，而這2個信號又存在相干關(guān)系。在雷達的各種測角方法中，單脈沖測角法因?qū)崿F(xiàn)簡單、穩(wěn)健性好等優(yōu)點在實際中得到廣泛應(yīng)用[1]。但是在天線方向圖上合成的信號，幅值會影響目標(biāo)探測，相位會影響目標(biāo)的測角性能。

學(xué)者們對于建立多徑信號模型，計算多徑反射波的精確表達式展開了深入研究。文獻[2]推導(dǎo)出未知參量與目標(biāo)直達角之間的函數(shù)關(guān)系，將多徑信號模型和最大似然算法進行匹配，用于低仰角跟蹤問題；文獻[3]考慮了地球曲率的影響，推導(dǎo)出來乘積因子的表達式，應(yīng)用于米波雷達測高的多徑信號模型；文獻[4]考慮了地形參數(shù)對多徑反射波幅值和相位的影響，應(yīng)用于米波雷達超分辨和測高問題；文獻[5]建立了米波雷達多徑反射的幾何模型，利用最大似然算法進行超分辨測高。

多徑環(huán)境下，直達波和反射波屬于相干信號，陣列接收到的數(shù)據(jù)得到的協(xié)方差矩陣不滿秩，利用基于信號子空間的特征值分解類算法進行DOA估計，性能會惡化[6-7]；文獻[8-9]中采用前后向空間差分平滑算法來解相干，該算法將陣列劃分子陣，計算子陣的協(xié)方差矩陣，再求平均。由此會損失陣列孔徑，降低自由度，同時也會增加計算量；文獻[10-11]利用傾斜投影算法來解相干，計算機仿真試驗表明，該算法的信噪比要求比起前后向空間差分算法更高；文獻[12-14]中采用空間差分算法來解相干源，該方法在低信噪比條件下進行DOA估計會失效。

本文旨在針對低空目標(biāo)DOA估計問題展開研究，建立了低空多徑環(huán)境下的陣列接收信號模型，提出了一種改進的ML算法用于DOA估計，判斷是否多徑，并降低ML算法多維搜索的運算量。通過仿真分析，驗證了算法具有良好的估計性能。

1 陣列接收模型

1.1 窄帶信號模型

空域有一個線性陣列用來接收不同來波方向得到窄帶的信號，遠場假設(shè)下，信號是一組平行的電磁波，假設(shè)線性陣列里有M個陣元，同時有N個遠場窄帶信號，則在t時刻，陣列接收信號可以表示為：

(1)

按照矢量形式表示為：

X(t)=AS(t)+N(t),

(2)

式中，X(t)為采集到的快拍數(shù)據(jù)矢量，為M×1維；N(t)為陣列當(dāng)中混進去的噪聲矢量，與X(t)同維；S(t)為入射信號矢量，為N×1維；A為連接空間陣列和接收數(shù)據(jù)的導(dǎo)向矢量，當(dāng)它組成矩陣叫作陣列流型，為M×N維，可以表示為：

(3)

每個導(dǎo)向矢量an(ω0)可以表示為：

(4)

1.2 多徑信號模型

早期研究低空目標(biāo)的多徑傳播，大多采用雷達、目標(biāo)和反射面幾何模型，多認為反射面是平面，而忽略地球曲率對低空目標(biāo)檢測的影響。在本文中，為了使研究更貼近實際應(yīng)用，考慮了大氣折射以及地球曲率。

在多徑條件下，雷達接收的信號由兩部分組成：直達波和反射波，二者屬于相干信號。直達波可表示為：

Xd(t)=AS(t)+N(t)。

(5)

反射波可表示為：

Xi(t)=ΓXd(t)，

(6)

Γ=ρejφ,

(7)

式中，Γ為總反射系數(shù)。陣列接收到的是直達波和反射波的合成信號，表示為：

Xr(t)=Xd(t)+Xi(t)+N(t)=Ars(t)+N(t)，

(8)

Ar=A(θd)+ΓA(θi),

(9)

式中，θd為直達角；θi為反射角。

陣列的協(xié)方差矩陣為：

(10)

信號在大氣中傳播會受到大氣折射的影響，因此，對于低空目標(biāo)檢測問題的研究，大氣折射和地球曲率必須給予考慮?？紤]地球曲率的低空多徑幾何模型如圖1所示。

圖1 低空多徑幾何模型Fig.1 Low-altitude multipath geometry model

角度φ可以通過反余弦函數(shù)求解得到：

(11)

式中，ht和hr分別表示目標(biāo)和雷達的高度；Re為地球的有效半徑，可表示為：

Re=kR0,

(12)

式中，k為常數(shù)，R0為地球半徑。

弧線長度G可以通過G=Reφ計算得到，弧線長度G1由以下公式計算得到：

(13)

弧線長度G1表示為：

(14)

式中，

(15)

(16)

通過G1可以計算得到φ1和φ2：

φ1=G1/Re,

(17)

φ2=(G-G1)/Re。

(18)

反射路徑長度R1,R2和雷達到目標(biāo)的距離Rd可以通過下面公式得到：

(19)

(20)

(21)

掠射角ψ可表示為：

(22)

直達角θd和反射角θi分別為：

(23)

(24)

在式(7)中，Γ=ρejφ為總反射系數(shù)，總反射系數(shù)的幅值表達式為：

ρ=ρ0Dρs，

(25)

式中，ρ0為菲涅爾反射系數(shù)的幅值；D為發(fā)散因子；ρs為鏡面反射系數(shù)。

而相位表達式為：

φ=φ1+φ2,

(26)

式中，φ1為波程差產(chǎn)生的相位影響；φ2為菲涅爾反射系數(shù)的相位。

總反射系數(shù)的幅值影響目標(biāo)檢測，總反射系數(shù)的相位影響測角的精度，下面分別介紹各部分的影響。

(1) 菲涅爾反射系數(shù)

菲涅爾反射系數(shù)Γ1描述了從光滑表面反射的場與入射在其上的場之比,表示為：

(27)

式中，b取值為垂直極化是1，水平極化是0；ψ為掠射角；ε=εr+jεi為表面材料的復(fù)介電常數(shù)；εi=-60λσe；σe為電導(dǎo)率，西門子/米。

典型表面的電學(xué)性質(zhì)如表1所示。

表1 典型表面的電學(xué)性質(zhì)Tab.1 Electrical properties of a typical surface

菲涅爾反射系數(shù)幅值ρ0的計算公式為：

ρ0=|Γ1|。

(28)

菲涅爾反射系數(shù)的幅值隨著目標(biāo)仰角的影響如圖2所示。

圖2 菲涅爾系數(shù)的幅值Fig.2 Amplitude of the Finel coefficient

(2) 發(fā)散因子

影響反射信號的另外一個因素是發(fā)散因子D，它是由圍繞鏡面反射點的第一個菲涅爾區(qū)內(nèi)的地球曲率產(chǎn)生的，近似表示為：

(29)

式中，ke為有效地球半徑常數(shù)，值為1.333；Re是地球半徑，值為6 378 288 m；ψ為掠射角。

發(fā)散因子的幅值隨著目標(biāo)仰角的變化情況，如圖3所示。

圖3 發(fā)散因子Fig.3 Dispersion factor

(3) 鏡面散射系數(shù)

表面反射系數(shù)的幅值等于光滑表面的菲涅爾系數(shù)，但對于粗糙表面，通過鏡面散射系數(shù)減小:

(30)

式中，σh為表面相對于其平均值的均方根高度偏差。

鏡面反射系數(shù)隨目標(biāo)仰角的變化情況，如圖4所示。

圖4 鏡面散射系數(shù)Fig.4 Mirror scattering coefficient

(4) 總反射系數(shù)的幅值表達式

將菲涅爾反射系數(shù)的幅值、發(fā)散因子和鏡面散射系數(shù)三部分的影響疊加起來，可表示為：

ρ=ρ0Dρs。

(31)

總反射系數(shù)的幅值隨著目標(biāo)仰角的變化情況，如圖5所示。

(5) 波程差引起的相位差

根據(jù)波程差(直達波和反射波的距離差)可得相位差，表示為：

(32)

設(shè)定一個從40 km的方向向著雷達以100 m/s的速度運動的目標(biāo)，目標(biāo)高度為85 m，天線高度為10 m，天線陣元為48，信噪比為5 dB，波長為0.02 m。多徑情況下在天線方向圖上合成信號的相位和幅值的變化曲線如圖6和圖7所示。

圖5 總反射系數(shù)的幅值Fig.5 Amplitude of the total reflection factor

圖6 多徑情況下合成信號的相位變化Fig.6 Phase variation of synthetic signals in multipath situations

圖7 多徑情況下合成信號的幅值變化Fig.7 Amplitude variation of the synthetic signal in multipath conditions

(6) 菲涅爾反射系數(shù)的相位

相位可以由菲涅爾反射系數(shù)復(fù)值的相位部分計算得出，表示為：

φ2=angle(Γ1)。

(33)

菲涅爾反射系數(shù)的相位隨著目標(biāo)距離變化的曲線，如圖8所示。

圖8 菲涅爾反射系數(shù)相位的變化曲線Fig.8 Variation curve of the phase of Finel reflection coefficient

(7) 總反射系數(shù)的相位

總反射系數(shù)的相位表示為：

φ=φ1+φ2。

(34)

總反射系數(shù)相位隨目標(biāo)距離變化的曲線，如圖9所示。

圖9 總反射系數(shù)相位的變化曲線Fig.9 Variation curve of the phase of total reflection coefficient

2 改進最大似然算法

2.1 確定性最大似然

針對L個雷達目標(biāo)方位角θ1,θ2,θ3,…,θL的最大似然估計，假設(shè)噪聲服從N(0,σ2I)正態(tài)分布，且統(tǒng)計獨立。假設(shè)雷達方位回波數(shù)據(jù)是未知確定序列的抽樣樣本，此時根據(jù)式(6)得到的雷達方位回波數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

(35)

式中，det()表示對行列式進行求值，忽略常數(shù)項，對上式取對數(shù)可得：

(36)

式中，J為取得最大似然統(tǒng)計量，在式(36)中對未知參數(shù)取最大值，由于對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，式(36)的數(shù)值最大化與式(37)的最小化問題等價，即：

(37)

此時，當(dāng)θ取一定值時，可求得x的最小二乘解為：

(38)

將式(38)代入式(37)，得：

(39)

式中，PA(θ)為投影算子，即：

PA(θ)=A(θ)[AH(θ)A(θ)]-1AH(θ)。

(40)

(41)

令：

(42)

對上式進行分解，結(jié)合PA(θ)的性質(zhì)，可以證明：

J(θ)=trace(PA(θ)Ryy),

(43)

式中，

(44)

對式(43)最大值的求解，是多維非線性問題。

陣列接收的信號矢量中包括直達導(dǎo)向矢量和多徑導(dǎo)向矢量，因此考慮將基于譜搜索的超分辨算法的導(dǎo)向矢量寫成直達波和反射波2條路徑的合成導(dǎo)向矢量形式，并將反射系數(shù)加入導(dǎo)向矢量，得到的合成導(dǎo)向矢量：

A(θ)=Ad+ΓAi(θ)。

(45)

得到直達角的最大似然估計為：

(46)

2.2 搜索優(yōu)化的最大似然算法

2.2.1 搜索角度域的改進

沒有多徑時，陣列接收的信號只有入射波一個信號，也就不存在什么反射波，假設(shè)入射角θd的搜索角度域為[-a,a]，那么DML算法只需要進行一維搜索，搜索的角度域就為[-a,a]；存在多徑時，陣列接收到信號就有入射波和反射波2個信號，DML算法需要進行二維搜索，入射角θd和反射角θi搜索角度域都為[-a,a]，而改進ML算法的入射角θd正角度域搜索，反射角θi在負角度域搜索，根據(jù)這個先驗知識，那么入射角θd的搜索范圍為[0,a]，反射角θi的搜索范圍為[-a,0]，根據(jù)1.2節(jié)的多徑幾何模型可知，反射角θi的絕對值又比入射角θd要大，那么搜索的角度域范圍可以進一步縮小。

假設(shè)搜索角度域[-a,a]的角度索引為b，搜索的步進為cc，那么a，b，cc之間的關(guān)系可以表示為：

(47)

改進ML算法的入射角θd的搜索范圍可以表示為[(b+1)/2+1,b]，反射角θi的搜索范圍從[1,(b+1)/2]進一步縮小為[1,(b+1)-θd]。其計算量在一維搜索的時候降低到了DML算法的1/4以下，二維搜索降低到了DML算法的1/16以下，節(jié)約了迭代的時間。

2.2.2 搜索方式的改進

在信號源未知的情況下，不存在多徑時，陣列接收到的只有入射波一個信號，而存在多徑時，陣列接收到的有入射波和反射波2個信號，而改進ML算法可以同時進行一維和二維搜索，根據(jù)搜索結(jié)果來判斷目標(biāo)角度和是否有多徑。

(1) 在沒有多徑時，陣列接收到的信號只有一個直達波，改進ML算法首先進行一維搜索，得到一條測角曲線；接下來進行二維搜索會得到2條測角曲線，這時A(θ)=Ad+ΓAi(θ)，設(shè)定一個從40 km的方向向著雷達以100 m/s的速度運動的目標(biāo)，目標(biāo)高度為85 m，天線高度為10 m，天線陣元為48，信噪比為5 dB，波長為0.02 m，快拍數(shù)為100。搜索的角度域為[-1，1]，搜索步進為0.05，一維和二維的搜索結(jié)果如圖10所示。

圖10 沒有多徑時改進ML算法的測角結(jié)果Fig.10 Angle measurement results of the ML algorithm without multipath effect

從圖10可以看出，一維搜索曲線就是正確的測角結(jié)果，此時沒有多徑效應(yīng)，而二維搜索的入射角和反射角也可以是正確的測角結(jié)果。

如果對入射角和反射角的結(jié)果進一步分析，做個差值的結(jié)果如圖11所示。

從圖11可知，二維搜索時入射角和反射角的測角曲線其實是平行的，而且其差值正好是設(shè)置的搜索步進c=0.05，說明在沒有多徑時，進行二維搜索相當(dāng)于把這一個入射波進行了分裂，如果搜索步進c無限小，當(dāng)趨近于0時，2條測角曲線就會無限接近，最后重合，成為一條測角曲線。

圖11 二維搜索入射角和反射角結(jié)果的差Fig.11 Difference between the results of 2D search for incidence angle and reflection angle

(2) 當(dāng)存在多徑時，陣列接收到的信號是直達波和反射波的合成信號，由式(46)可定義譜函數(shù)的極值d=maxtr[PA(θ)Ryy]，進行二維搜索時會得到一個d1值，這時A(θ)=Ad；進行一維搜索會得到另外一個d2值，這時A(θ)=Ad+ΓAi(θ)，取二者較大的值對應(yīng)的測角曲線就是正確的測角結(jié)果，一維搜索和二維搜索的譜函數(shù)極值如圖12所示。

圖12 多徑情況下一維和二維搜索的譜函數(shù)極值Fig.12 Spectral function extremes for 1D and 2D searches in multipath situations

由圖12可知，二維搜索和一維搜索的譜函數(shù)極值存在d2>d1,所以二維搜索得到的測角曲線是正確的測角結(jié)果，此時存在多徑效應(yīng)。

3 仿真試驗和結(jié)果分析

仿真1：

為了說明多徑的影響。設(shè)定一個從40 km的方向向著雷達以100 m/s的速度運動的目標(biāo)，目標(biāo)高度為85 m，天線高度為10 m，天線陣元為48，信噪比為5 dB，波長為0.02 m，快拍數(shù)為100。

單脈沖測角的過程是利用信號產(chǎn)生的和差方向圖來計算差和比，進而得到誤差曲線，通過查表來得到信號源的角度值。和差方向圖的幅值、相位和誤差曲線如圖13、圖14和圖15所示。

圖13 方向圖的幅值Fig.13 Amplitude of the pattern

圖14 方向圖的相位Fig.14 Phase of the pattern

圖15 誤差曲線Fig.15 Error curve

將陣列接收信號加窗來計算方向圖，和信號的方向圖S加泰勒窗，差信號的方向圖D加Bayliss窗，差和比S_D可以表示為：

(48)

Scurve誤差曲線可以表示為：

Scurve=sign(real(S)·real(D)+imag(S)·imag(D))·S_D。

(49)

為了說明多徑的影響,設(shè)定一個從40 km的方向向著雷達以100 m/s的速度運動的目標(biāo)，目標(biāo)高度為100 m，天線高度為10 m，天線陣元為48，信噪比為5 dB，波長為0.02 m，快拍數(shù)為100，沒有多徑時使用單脈沖測角的測角結(jié)果如圖16所示。

圖16 沒有多徑時的單脈沖測角結(jié)果Fig.16 Monopulse angle measurement result without multipath effect

由圖16可知，當(dāng)沒有多徑的時候，用單脈沖測角可以得到很好的測角結(jié)果。而在有多徑時，單脈沖測角對于天線方向圖上合成信號的測角結(jié)果如圖17所示。

圖17 多徑時的單脈沖測角結(jié)果Fig.17 Monopulse angle measurement result with multipath effect

由圖17可知，多徑情況下，因為疊加了幅值和相位影響，幅值影響目標(biāo)探測，而相位會導(dǎo)致測角的結(jié)果會產(chǎn)生起伏，利用單脈沖測角的測角精度會變得很差。

仿真2：

其他條件不變，采用改進的ML算法進行測角，在沒有多徑時改進ML算法的測角結(jié)果如圖18所示。

圖18 沒有多徑時改進ML算法的測角結(jié)果Fig.18 Angle measurement results of the improved ML algorithm without multipath effect

由圖18可以看出，在沒有多徑時，改進ML算法對于直達波可以得到很好的測角結(jié)果。在有多徑時，利用改進ML算法的測角結(jié)果如圖19所示。

圖19 多徑時改進ML算法測角的結(jié)果Fig.19 Angle measurement results of the improved ML algorithm with multipath effect

由圖19可以看出，當(dāng)有多徑時，改進的ML算法對于直達波和反射波都可以得到很好的測角結(jié)果。最后在同樣仿真條件下，將改進的ML算法和單脈沖測角算法的結(jié)果進行對比如圖20所示。

圖20 多徑時改進ML算法與單脈沖測角結(jié)果對比Fig.20 Results comparison between improved ML algorithm and monopulse angle measurement with multipath effect

由圖20可以看出,在多徑情況下，改進ML算法可以有效克服多徑效應(yīng)，并應(yīng)用于低空目標(biāo)的DOA估計當(dāng)中。

4 結(jié)束語

針對低空目標(biāo)的DOA估計問題，提出了一種搜索方式和搜索角度域改進的ML算法，通過建立低空目標(biāo)的多徑信號模型，對低空目標(biāo)進行DOA估計，能夠判斷是否多徑，降低了ML算法的多維搜索，從而實現(xiàn)了對多徑效應(yīng)的抑制，仿真試驗表明，提出的算法相比于傳統(tǒng)的單脈沖測角有很好的DOA估計性能。如果考慮更加復(fù)雜的環(huán)境，可以將雜波的影響也加入信號模型當(dāng)中，建立低空目標(biāo)的改善雜波模型，通過設(shè)計雜波抑制濾波器來進行雜波抑制。