張 肅，丁秀麗，黃書嶺

(長江科學院 水利部巖土力學與工程重點實驗室，武漢 430010)

1 研究背景

近年來，為了解決我國水資源時空分布嚴重不均的問題，一批以長距離輸水隧洞為主要輸水建筑物的隧洞工程紛紛興建，大埋深、復雜地質(zhì)條件下的隧洞工程設計與施工成為工程建設中的難點，特別是穿越高地應力區(qū)的軟巖隧洞工程，極低強度應力比導致的圍巖大變形給隧洞襯砌設計帶來了極大的挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)安全設計方法在面臨隨機變量復雜、函數(shù)不能顯式表達的問題時具有較大的局限性，基于數(shù)理統(tǒng)計理論的可靠度計算方法可以更全面地評價隧洞工程中的安全性，為工程的前期決策、施工過程、后期維護提供有力的科學依據(jù)。

20世紀80年代末期，國內(nèi)學者就對可靠度理論在隧洞工程的應用展開了研究，例如景詩庭[1]在穩(wěn)定性分析的基礎上，提出了利用模糊概率計算地下坑道的可靠度；謝錦昌[2]結(jié)合“荷載-結(jié)構(gòu)”模型對鐵路隧洞襯砌的可靠性進行了研究；在近幾年的研究中，周澤林等[3]對深埋軟巖隧洞的軟弱圍巖的支護結(jié)構(gòu)進行了受力分析和安全性評價；湖南大學的梁斌[4]在圍巖與支護協(xié)同承載理論的基礎上建立了運用一維直接積分求解可靠度的方法；浙江大學的肖志鵬[5]根據(jù)支護-圍巖相互作用的機理提出了隧洞開挖的可靠度計算優(yōu)化方法等等。不同的隧洞結(jié)構(gòu)可靠度計算方法陸續(xù)提出，意味著可靠度理論在隧洞工程領域的應用進一步深化。

對于修建在IV、V類巖體中的隧洞，特別是軟巖隧洞，通常需要圍巖和支護系統(tǒng)形成一個整體共同承受開挖釋放的荷載[6]，以此維護隧洞的穩(wěn)定性。因此，如何合理評價軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠性以保障支護結(jié)構(gòu)的安全成為一項重要工作?，F(xiàn)有的基于蒙特卡洛原理的隨機有限元是結(jié)構(gòu)可靠性分析常用方法，但該方法計算量大，計算效率低；以當量正態(tài)化(JC)法為代表的傳統(tǒng)可靠度計算方法則依賴于功能函數(shù)的顯式表達，而地下工程隨機變量的復雜性和模糊性，難以像地面結(jié)構(gòu)一樣從理論上構(gòu)建功能函數(shù)的顯式表達，成為在隧洞工程應用中的制約因素。為此，在可靠度計算理論基礎上，本文將均勻設計方法、響應面法和有限元數(shù)值模擬方法相結(jié)合，利用《水工隧洞設計規(guī)范》(SL 279—2016)[7]中襯砌結(jié)構(gòu)的承載力極限狀態(tài)函數(shù)，建立圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的荷載效應響應面顯式表達式，提出一種軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載可靠性評價方法，以達到滿足計算精度且提高計算效率的目的，有助于解決軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)聯(lián)合承載時可靠性評價的問題。

2 軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠性評價方法

2.1 試驗方案的均勻設計方法

作為一種統(tǒng)計設計方法，均勻設計法考慮的是試驗點在整體數(shù)據(jù)樣本內(nèi)“均勻分散”的情況。這些試驗點因其代表性而可以減少設計試驗所需的次數(shù)[8]。

能否在整體數(shù)據(jù)樣本內(nèi)確定有效的試驗點是試驗設計決定性因素，進行試驗設計的最終目標就是利用盡可能少的試驗得到系統(tǒng)內(nèi)最為充分和具代表性的信息。均勻設計法利用了試驗點在樣本范圍內(nèi)均勻分散的特點，能夠較好地實現(xiàn)上述目標，尤其適用于多因素水平的試驗設計。通過對隨機變量在其取值范圍內(nèi)等間隔均勻取值，依照對應因素與水平數(shù)的均勻試驗表獲取試驗點的數(shù)據(jù)組合，便可獲得合理高效的數(shù)值試驗方案。尤其是對于多元非線性的數(shù)據(jù)樣本，均勻設計法在使用上有明顯的優(yōu)勢。

例如當試驗中有n個因素，每個因素有m個水平，全面設計和正交設計都需要大量的試驗次數(shù)，而均勻設計只需要m次試驗，大大降低了計算成本。均勻設計法的使用需要配合對應因素和水平數(shù)的均勻設計表，表中的均勻設計符號Un(qs) 的示意見圖1。

圖1 均勻設計符號 示意圖Fig.1 Schematic diagram of uniform design symbols

值得注意的是，均勻設計體現(xiàn)的是試驗點的分散而非整齊分布，方差分析法因此并不適用，而應采用回歸分析的方法。

均勻設計-響應面-有限元響應面法進行數(shù)值試驗之前首先需要科學合理地設計試驗方法，而隧洞圍巖與襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠度問題本身就是一個多因子影響下的高度非線性問題，其功能函數(shù)從理論上無法顯式表達。因此可以通過均勻試驗法合理高效地設計數(shù)值試驗方案，進而擬合出函數(shù)模型。

2.2 可靠度計算的響應面方法

作為一種可靠度計算方法，響應面法的核心思想是通過響應面函數(shù)擬合出明確的函數(shù)關(guān)系[9]，從而將結(jié)構(gòu)中難以求得的真實功能函數(shù)進行顯示表達。

假設結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)中含有相互獨立的隨機變量Xi(i=1,2,…,n)，結(jié)構(gòu)中真實的功能函數(shù)可用Z=G(Xi)表示,但該功能函數(shù)難以從理論上求出準確的表達式。設響應面函數(shù)Z=g(Xi)，同樣含有隨機變量Xi(i=1,2,…,n)。原功能函數(shù)與響應面函數(shù)曲面的關(guān)系可用圖2表示。

圖2 響應面函數(shù)與原功能函數(shù)曲面的關(guān)系Fig.2 Relationship between response surface and real function surface

在擬合響應面的各種方法中，響應面法的二次響應函數(shù)運用已十分廣泛[10]，該方法用純二次函數(shù)的形式擬合結(jié)構(gòu)中的真實功能函數(shù)Z,即

(1)

(2)

式中:mXi為Xi的平均值;σXi為Xi的標準差。則極限狀態(tài)方程可以通過標準正態(tài)化之后的變量表示為

(3)

(4)

坐標系變換時其方向余弦相同，可以代入式(2)得到設計驗算點P*在原坐標下的表達式,即

(5)

鑒于點P*位于極限狀態(tài)曲面上，故滿足

(6)

(7)

(8)

式中:F(x)為概應分布函數(shù)；f(x)為概率密度函數(shù)。

從而可以將非正態(tài)分布的隨機變量當量正態(tài)，再代入式(2)—式(6)即可求解可靠度指標。

2.3 圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠性評價方法及流程

軟巖隧洞的圍巖和支護系統(tǒng)協(xié)同承載理論有機地將支護結(jié)構(gòu)與圍巖聯(lián)系起來，將二者視為一個整體。在系統(tǒng)中，圍巖單元既承接變形，同時也施加荷載，作用在圍巖上的支護系統(tǒng)約束和限制了圍巖向隧洞內(nèi)變形，承受了形變壓力，相應分擔了部分荷載；同時，支護系統(tǒng)的加固作用也使圍巖自承載的能力得以充分發(fā)揮，這充分體現(xiàn)了圍巖和支護系統(tǒng)相互作用的原理。

軟巖隧洞的圍巖和支護系統(tǒng)協(xié)同承載維護了圍巖的穩(wěn)定以及襯砌結(jié)構(gòu)的安全，是當今地下工程主流的設計理念[12]。因此，對軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠性進行評價是一項重要課題。基于蒙特卡洛原理的隨機有限元是結(jié)構(gòu)可靠度計算的常用方法，但其計算效率不高的缺陷制約了發(fā)展。

由于隧洞工程賦存地質(zhì)環(huán)境的隱蔽性和復雜性以及支護系統(tǒng)的多樣性，由圍巖和支護系統(tǒng)構(gòu)成的地下結(jié)構(gòu)真實的功能函數(shù)難以從理論上顯式表達，近年來發(fā)展起來的響應面法由于能夠通過顯式表達式給出結(jié)構(gòu)體的真實極限狀態(tài)，具有廣泛的應用前景。響應面法的運用需要足夠多的數(shù)據(jù)試驗樣本，才能擬合出結(jié)構(gòu)的真實極限狀態(tài)的功能函數(shù)[13]。為減少試驗所需的次數(shù)，提高計算效率并保證計算精度，將均勻設計方法和響應面法相結(jié)合，通過建立圍巖與襯砌協(xié)同承載下的數(shù)值仿真模型，利用《水工隧洞設計規(guī)范》(SL 279—2016)(以下簡稱《規(guī)范》)中的相關(guān)函數(shù)和推薦取值，實現(xiàn)在有限的數(shù)據(jù)條件下擬合出真實極限狀態(tài)的功能函數(shù)，由此建立圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的荷載效應響應面顯式表達式。

在可靠度理論中，極限狀態(tài)方程可以表達為

Z=R-S。

(9)

式中:Z為結(jié)構(gòu)功能函數(shù);S為荷載效應函數(shù);R為結(jié)構(gòu)抗力函數(shù)。結(jié)合式(9)，并根據(jù)《規(guī)范》中襯砌結(jié)構(gòu)的承載力極限狀態(tài)函數(shù)，可表達出依照響應面法的圍巖與襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載功能函數(shù)(極限狀態(tài)方程)的表達式，即

Z=R(fd,αk)-γdγ0ψS(·)。

(10)

式中:γ0指結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)，Ⅰ級結(jié)構(gòu)、Ⅱ級結(jié)構(gòu)、Ⅲ級結(jié)構(gòu)分別按照對應的安全等級取1.1、1.0、0.9；ψ為狀況設計系數(shù)，按照對應工況分別取值1.0、0.95、0.85；R為支護的抗力函數(shù);γd為結(jié)構(gòu)系數(shù)，按支護類型選用；fd為材料抗壓強度；αk為幾何參數(shù);S(·)為荷載效應函數(shù)。

通過均勻設計響應面法對S(·)的表達式進行擬合，進而求出可靠度指標以及失效概率，評價圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的可靠性。下面給出圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載可靠性評價的具體實施流程，如圖3所示。

圖3 圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載可靠性評價方法和流程Fig.3 Flowchart of reliability evaluation of the collabora- tive bearing of surrounding rock and lining structure

(1)建立基于圍巖與襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載理論的有限元數(shù)值模型，計算和分析在單一變量影響下結(jié)構(gòu)中應力分布的變化規(guī)律，從而確定擬合響應面函數(shù)所需要的隨機變量。

(2)設計一個多元響應面函數(shù)，自變量為與結(jié)構(gòu)荷載有關(guān)的相互獨立的隨機變量(X1，X2，X3，…)，因變量為響應值S，要求設計函數(shù)與真實函數(shù)盡可能接近且形式盡可能簡單。

(3)依照均勻設計法進行試驗組合方案設計，各變量在取值范圍內(nèi)均勻間隔取值后依照相對應因素和水平數(shù)的均勻設計表組合成一個試驗點矩陣如[X11，X21，X31，…]，根據(jù)試驗設計方法規(guī)則確定一系列的試驗點稱設計矩陣[D]=[Xmn]，后進行數(shù)值試驗對應得出一系列響應值[S]。

(4)根據(jù)上述步驟得到的結(jié)果進行回歸分析，確定擬合函數(shù)中各項待定系數(shù)，給出響應面函數(shù)的顯式表達，代入功能函數(shù)Z得到極限狀態(tài)函數(shù)的顯式表達式。

(5)采用概率論和JC法，得到可靠度指標和失效概率。具體為：假設一個驗算點P*取其坐標值xi*(一般均值mxi*)，將其當量正態(tài)化，代入式(3)—式(6)求出β；按β值與式(5)反解驗算點坐標，根據(jù)新的驗算點重復以上步驟，直到兩次β值的誤差不大于允許誤差，既求出了可靠度指標β，相應地得到失效概率Pf。根據(jù)獲得的可靠度，對圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載可靠性進行評價。

3 圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)聯(lián)合承載可靠性的單因素隨機變量分析

為了確定響應面函數(shù)中所包含的單因素隨機變量，以某深埋軟巖圓形隧洞為例，建立考慮圍巖與襯砌協(xié)同承載的有限元計算模型進行數(shù)值模擬計算[14],同時選取各材料的本構(gòu)模型和單元類型。

隧洞開挖以及復合襯砌施作的相對流程可通過有限元計算程序中的生死單元進行控制?？紤]圍巖的自重應力場與構(gòu)造應力場，其中水平側(cè)壓系數(shù)取1.1。計算模型對兩側(cè)面的約束方向為法向，底面約束方向為法向與切向。計算模型的網(wǎng)格劃分與邊界條件如圖4所示。計算模型在x和y方向的邊界為100 m，開挖洞徑10.8 m，初襯厚度0.2 m，二次襯砌厚度0.5 m，襯后內(nèi)徑9.4 m，其余材料參數(shù)如表1所示。

圖4 計算模型網(wǎng)格與邊界條件Fig.4 Computational meshes and boundary conditions

表1 各材料本構(gòu)模型和單元類型Table 1 Constitutive model and element type of each material

在600 m埋深90%荷載釋放率的工況下，按照控制其余因變量不變保持單一影響因子的原則，分別計算圍巖與襯砌有關(guān)參數(shù)對二次襯砌環(huán)向軸應力的影響(見圖5、圖6)。在襯砌與圍巖協(xié)同承載的前提下，圍巖參數(shù)和襯砌參數(shù)的變化會共同影響結(jié)構(gòu)的受力特征?？煽慷扔嬎銘趯σr砌應力狀態(tài)分析的基礎上從影響因子中選取擬合響應面函數(shù)所需要的基本隨機變量。

圖5 襯砌截面軸應力隨圍巖變形參數(shù)和強度參數(shù)的 變化規(guī)律Fig.5 Variation of axial stress of lining section with deformation and strength parameters of surrounding rock

圖6 襯砌截面軸應力隨混凝土襯砌彈性模量和 厚度的變化規(guī)律Fig.6 Variation of axial stress of lining section with elastic modulus and thickness of concrete lining

由于對某個確定的隧洞結(jié)構(gòu)斷面進行結(jié)構(gòu)計算時，其埋深、施工荷載釋放率以及水荷載等外環(huán)境均已經(jīng)確定；圍巖參數(shù)E1、φ、c與襯砌參數(shù)E2、D作為計算模型內(nèi)部“影響因子”客觀上存在著顯著的隨機性，主要由于實際工程中監(jiān)測技術(shù)、參數(shù)反演方法中存在的差異性。襯砌厚度D雖然具備以上特征，但實際中其變化幅度的數(shù)量級遠小于其他參數(shù)，故忽略其隨機性帶來的影響。因此，確定襯砌可靠度計算所需的隨機變量，可從E1、φ、c、E2四個參數(shù)作為主要影響因子中選取，具體還需依據(jù)實際工程特點作取舍。

4 工程應用

陽江核電站冷卻水排水隧洞中風化花崗巖斑巖洞段為IV類巖體，通過基于均勻設計-響應面-有限元法的可靠度計算方法，獲得可靠度指標β以及失效概率Pf，對排水隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的結(jié)構(gòu)可靠性進行評價。

該洞段外壓水頭19.246 m，影響較小，實際計算時可不予考慮。模型建立過程如上文所述，側(cè)壓系數(shù)取0.9，荷載釋放率取90%，模型范圍80 m×80 m，二襯混凝土內(nèi)徑6.7 m，厚度為0.4 m。按照上文選定的圍巖的變形模量E1、內(nèi)摩擦角φ、黏聚力c以及襯砌彈性模量E2這4個因變量為影響結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的隨機變量。材料各參數(shù)值參考實測結(jié)果取值，如表2和表3所示，混凝土力學參數(shù)見表4。

表2 材料參數(shù)Table 2 Material parameters

表3 陽江核電站冷卻排水隧洞Ⅳ類圍巖參數(shù)Table 3 Parameters of class Ⅳ surrounding rock of cooling and drainage tunnel of Yangjiang Nuclear Power Station

表4 混凝土力學參數(shù)Table 4 Mechanical parameters of concrete

依據(jù)均勻設計法“均勻分散”的原則在上述取值范圍內(nèi)等間隔取值，參照4因素9水平均勻設計表設計試驗點的數(shù)據(jù)組合，見表5。

表5 4因素9水平均勻設計表Table 5 Uniform design table with four factors and nine levels

在考慮單一影響因子的計算中，發(fā)現(xiàn)各隨機變量與襯砌軸應力呈線性或二次曲線的相關(guān)關(guān)系，故選用純二次多項式(Pure Quadratic)以及線性多項式(Liner)來擬合其真實函數(shù)(式(11))，對比兩種影響面函數(shù)模型的顯著性。

(11)

本工況下襯砌的主要破壞模式為受壓破壞，本文認為當襯砌內(nèi)某一點發(fā)生破壞時結(jié)構(gòu)即面臨失效，故選取襯砌典型截面最大軸應力σ為響應面函數(shù)的響應值。依照均勻設計方法設計試驗并通過有限元計算程序模擬，計算結(jié)果見表6。

表6 各試驗點在最危險截面軸應力計算結(jié)果Table 6 Calculation results of axial stress at the most dangerous section of each test point

采用擬合的方法，得到二次多項式中的各項系數(shù)，并代入式(11)中得到

σ=-59 485.6-25.925 1E1-61.495 3E2-37 512c+

62 632.33c2-66.664 2φ2。

(12)

擬合模型的剩余標準差值越接近于0，顯著性越好。該計算模型的剩余標準差RMSE=1.177 3，表明該模型顯著性良好。

對于Liner函數(shù)擬合的線性多項式，得到其擬合函數(shù)為

σ=-20.578 9+0.733 0E1-0.426 1E2+

17.058 1c+0.142 6φ。

(13)

線性多項式的剩余標準差RMSE=2.553 3，大于純二次多項式擬合得到的剩余標準差RMSE=1.177 3，后者的顯著性更好?？紤]到當待定系數(shù)增加時，試驗的計算量會增加。純二次多項式的擬合模型顯著性良好，且試驗次數(shù)相對較少，具有可行性。

根據(jù)承載力極限狀態(tài)函數(shù)，并賦予αk相應的幾何參數(shù)，襯砌厚度D與寬度h分別取值0.4 m與1 m，根據(jù)工程經(jīng)驗，γ0、ψ、γd分別取值1.0、1.0、0.9。參考C35混凝土與Ⅳ級圍巖的相關(guān)規(guī)定參數(shù)，得到相關(guān)隨機變量的統(tǒng)計學特征，見表7。

表7 各隨機變量統(tǒng)計特征Table 7 Statistical characteristics of each random variable

將以上參數(shù)值代入前文擬合出的響應面函數(shù)，得到荷載效應S(襯砌典型截面環(huán)向軸應力σ最大值)的統(tǒng)計分布，見表8。

表8 均勻試驗下荷載統(tǒng)計特征參數(shù)Table 8 Statistical characteristic parameters of load under uniform test

最后按照JC法在MatLab中編制相應的計算程序，將有關(guān)參數(shù)代入，得到按襯砌承載力抗壓極限狀態(tài)計算的可靠度指標β=3.684以及失效概率Pf=0.000 16，與基于蒙特卡洛的隨機有限元可靠度計算結(jié)果β=3.8、Pf=0.000 4相比較[15]，兩者可靠度指標相差在3%左右，失效概率相差較大。本文認為其主要與不同計算模式下可靠度指標與失效概率的對應關(guān)系有關(guān)，且可靠度指標較高時，較小的可靠度指標差異會使得失效概率發(fā)生較大的變化?？傮w而言，對于相應《規(guī)范》的要求，本工程獲得的可靠度指標β為3.684，表明隧洞襯砌結(jié)構(gòu)安全性是可靠有保障的。

5 結(jié) 論

本文在可靠度計算理論的基礎上，將均勻設計方法、響應面法和有限元數(shù)值模擬方法相結(jié)合，利用《水工隧洞設計規(guī)范》(SL 279—2016)中襯砌結(jié)構(gòu)的承載力極限狀態(tài)函數(shù)，構(gòu)建了圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載的荷載效應響應面顯式表達式，提出一種軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同承載可靠度計算方法。在此基礎上，建立了圍巖與襯砌協(xié)同承載數(shù)值計算模型，分析了影響圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)聯(lián)合承載特性的單因素隨機變量，辨識了影響圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)聯(lián)合承載可靠性的主要因素，包括圍巖的變形模量、黏聚力和內(nèi)摩擦角以及襯砌的彈性模量等。

將上述方法應用到具體工程中，檢驗了該方法的可靠性，同時與傳統(tǒng)可靠度計算方法進行了對比，結(jié)果表明所提出的方法具有很好的適應性和可行性，且在保證計算精度的前提下，簡化了計算流程，使計算更為高效，有助于解決水工軟巖隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)聯(lián)合承載時的可靠性評價和應用的問題。