任佳，陳增強(qiáng),2，孫明瑋，孫青林

（1. 南開大學(xué) 人工智能學(xué)院，天津 300350; 2. 天津市智能機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350）

自抗擾控制(active disturbance rejection con- trol, ADRC)和PI型廣義預(yù)測控制(PI type generalized predictive control, PI-GPC)都是為解決系統(tǒng)所受到干擾問題而引入的算法。

1988年韓京清提出ADRC算法[1-2]，通過對系統(tǒng)受到的總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，ADRC算法具有較強(qiáng)的克服干擾的能力，也因此有著廣泛的應(yīng)用前景。鐘斌等[3]將ADRC算法應(yīng)用于交流感應(yīng)電動(dòng)機(jī)的精確解耦模型，從而改善了交流感應(yīng)電動(dòng)機(jī)的調(diào)速性能并且快速跟蹤了負(fù)載轉(zhuǎn)矩。王東陽等[4]將ADRC算法應(yīng)用于電壓型PWM整流器的功率控制，獲得了很好的控制效果。榮智林等[5]使用滑膜自抗擾算法調(diào)節(jié)永磁同步電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速，改進(jìn)算法具有更好的抗干擾能力。Cao等[6]將自抗擾控制用于并網(wǎng)逆變器的電流控制，并研究了其魯棒性。Ramirez-Neria等[7]將自抗擾控制和微分平滑算法結(jié)合，在欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中進(jìn)行軌跡跟蹤，降低了實(shí)驗(yàn)過程中對測量噪聲的敏感性。Das等[8]在風(fēng)能轉(zhuǎn)換系統(tǒng)中使用自抗擾控制算法，增強(qiáng)了向電網(wǎng)傳輸?shù)挠泄蜔o功功率的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)響應(yīng)，得到了較好的效果。Wang等[9]將自抗擾控制和矢量諧振控制相結(jié)合，用于永磁同步直流電機(jī)的電流諧波抑制。從而建立了線性電動(dòng)機(jī)控制平臺(tái)。Zhou等[10]使用基于偏差控制原理的線性自抗擾控制進(jìn)行并網(wǎng)光伏逆變器的控制，提高了控制的穩(wěn)定性和抗干擾性。

1994年陳增強(qiáng)等[11]提出了 PI-GPC 算法。通過對過程輸出進(jìn)行多步預(yù)測，PI-GPC算法的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性較好，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)。仉寶玉等[12]提出了一種由遺傳算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化的PI-GPC算法，它有效地解決了PI-GPC算法的參數(shù)優(yōu)化問題。為了進(jìn)一步提高非線性系統(tǒng)控制器的性能，朱峰等[13]提出了一種基于U模型的非線性系統(tǒng)的PI-GPC算法。

盡管有著上述優(yōu)點(diǎn)，但是ADRC算法在時(shí)滯較大的系統(tǒng)中具有局限性；PI-GPC算法在線計(jì)算量大，在快速系統(tǒng)中的應(yīng)用受限。因此，結(jié)合兩種算法的優(yōu)勢，我們在先前的研究中設(shè)計(jì)了PI型自抗擾廣義預(yù)測控制(PI-ADRGPC)算法[14]。該算法不依賴于受控對象的具體模型，無需在線辨識(shí)系統(tǒng)參數(shù)，且可以對總擾動(dòng)進(jìn)行在線補(bǔ)償，從而將系統(tǒng)簡化成串聯(lián)積分器形式。該算法可以離線求解Diophantine方程，從而使在線計(jì)算量得以減少，克服了PI-GPC算法在線計(jì)算量大的問題。利用滾動(dòng)優(yōu)化的思想對系統(tǒng)輸出進(jìn)行多步預(yù)測，該算法可以克服ADRC算法在大時(shí)滯系統(tǒng)中的局限性。

1 PI-ADRGPC介紹

本節(jié)將對PI-ADRGPC進(jìn)行詳細(xì)介紹，其算法結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 PI-ADRGPC算法結(jié)構(gòu)Fig. 1 PI-ADRGPC algorithm structure diagram

如圖1所示，將系統(tǒng)所有外部干擾以及內(nèi)部未知信息看作總擾動(dòng)，用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer, ESO)估計(jì)該擾動(dòng)并將其擴(kuò)張為xn+1，然后通過線性狀態(tài)誤差反饋控制律(linear states error feedback control laws, LSEF)補(bǔ)償總擾動(dòng)，虛線框內(nèi)部分被化為積分器串聯(lián)形式。針對該部分設(shè)計(jì)PI-GPC的控制量u，就完成了整個(gè)PIADRGPC的設(shè)計(jì)。和ADRC控制相比，該控制算法將原來PD控制器換成了PI-GPC，從而改善了算法性能。

給出以下形式的離散單輸入單輸出系統(tǒng)，稱為CARIMA模型：

式中：u(k?1)是被控對象輸入；y(k)是被控對象輸出；z?1是后移算子； ζ(t) 是表示擾動(dòng)的隨機(jī)序列； ?=1?z?1為差分算子。A(z?1)、B(z?1)、C(z?1)分別為

為簡單起見，令C(z?1)=1。

在自抗擾算法中，對總擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償后，系統(tǒng)簡化為串聯(lián)積分器形式，一階系統(tǒng)就是單個(gè)積分器。傳遞函數(shù)為

用零階保持器對其離散化得到脈沖傳遞函數(shù)：

忽略擾動(dòng)ζ(k)，則式(1)化為

其脈沖傳遞函數(shù)可以定義為

由式(2)和式(3)對比得：

將丟番圖方程寫為

將式(4)代入式(5)，得到一階系統(tǒng)丟番圖方程的解為

考慮以下PI-GPC算法的性能指標(biāo)函數(shù)：

式中：Kp≥0,Ki>0 是給定常數(shù)，稱為比例因子和積分因子； ?u(k+j?1)=0(j=Nu,Nu+1,···,N)表示當(dāng)j=Nu,Nu+1,···,N時(shí)，系統(tǒng)輸入不變；N是預(yù)測步長；Nu是控制步長；而λ(λ＞0)是控制加權(quán)系數(shù)。

式中j=1,2,···,N。

誤差序列的計(jì)算如式(7)所示：

設(shè)計(jì)以下柔化序列w(k+j)來使輸出平緩達(dá)到給定值：

式中： α(0≤α≤1) 是柔化因子；yr(k)是參考軌跡；

j步后的預(yù)測輸出為

將式(9)寫為向量形式：

其中

根據(jù)式(7)和式(10)，可得：

其中

將式(6)寫為向量形式：

當(dāng)J為最小值時(shí)，

其中， ?u(k) 是的第一個(gè)分量。

其中，

則可以得到基于CARIMA模型的PI-ADRGPC算法控制律。

為了方便計(jì)算，本文把所得控制律進(jìn)行簡化。

先定義：

2 PI-ADRGPC的離散形式

由上述分析可知：

將式(8)代入式(12)得：

已知

式(14)兩邊同乘T?，并代入式(13)得：

PI-GPC算法可以轉(zhuǎn)化為閉環(huán)離散系統(tǒng)的形式，結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 PI-GPC算法控制下的閉環(huán)反饋結(jié)構(gòu)Fig. 2 Closed-loop feedback structure under the control of PI-GPC algorithm

LESO的內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)如圖3所示[15]。

圖3 LESO的內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)Fig. 3 Internal model control structure of LESO

所以PI-ADRGPC下的閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示[16]。

圖4 PI-ADRGPC算法的閉環(huán)反饋結(jié)構(gòu)Fig. 4 Closed-loop feedback structure of PI-ADRGPC

對于一階慣性環(huán)節(jié)

ESO內(nèi)模結(jié)構(gòu)下的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

設(shè)

則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

因此，只需考慮開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)。

3 PI-ADRGPC的穩(wěn)定性檢測

給出以下一階慣性環(huán)節(jié)：

控制過程中采樣時(shí)間T0=0.1，控制增益的估值價(jià)b0=1。

所以，PI-ADRGPC算法主要受參數(shù)N、wo、α、λ、Nu、KP、KI的影響。對參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，并且通過Bode圖來分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。

3.1N改變對系統(tǒng)性能的影響

當(dāng)N分別取5、8、10、17、20、30、40時(shí)，取λ=0.005,α= 0.2,wo= 8,Nu= 1,KP= 0.1,KI= 1開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖如圖5所示。

圖5 當(dāng)Nu = 1，N改變時(shí)的Bode圖Fig. 5 Bode diagram when N changes (Nu = 1)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，當(dāng)Nu= 1時(shí)，N取值較大，系統(tǒng)截止頻率小，響應(yīng)速度慢，但是相角裕度較大，穩(wěn)定性較好。

當(dāng)Nu= 2時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖如圖6所示。對應(yīng)的相角裕度和截止頻率如表1所示。

圖6 當(dāng)Nu = 2，N改變時(shí)的Bode圖Fig. 6 Bode diagram when N changes (Nu = 2)

表1 當(dāng)Nu = 2，N變化時(shí)的相角裕度和截止頻率Table 1 Crossover frequency and phase marginunder different N (Nu = 2)

從圖6和表1可得，預(yù)測時(shí)域的改變會(huì)同時(shí)影響系統(tǒng)的相角裕度和截止頻率。Nu= 2時(shí)，N取值較小，系統(tǒng)截止頻率小，響應(yīng)速度慢，但是相角裕度較大，穩(wěn)定性較好。

當(dāng)Nu= 3時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖如圖7所示。

圖7 當(dāng)Nu = 3，N改變時(shí)的Bode圖Fig. 7 Bode diagram when N changes (Nu = 3)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，當(dāng)Nu= 3時(shí)，隨著N的改變，系統(tǒng)性能幾乎不發(fā)生變化。因此Nu取值越大，N的改變對系統(tǒng)性能的影響越不明顯。

N改變對系統(tǒng)性能的影響也和Nu的取值相關(guān)。應(yīng)選擇合適的預(yù)測時(shí)域，使控制過程既能得到較快的響應(yīng)速度，又具有較好的穩(wěn)定性。

3.2wo改變對系統(tǒng)性能的影響

當(dāng)wo分別取4、5、8、12、18、25、40、60時(shí)，取N=17,λ= 0.005,α= 0.2,Nu= 2,KP= 0.1,KI= 1，開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖如圖8所示。

隨著wo增加，系統(tǒng)的截止頻率和相角裕度幾乎不變，但是ESO的精度提高了。即wo起濾波作用，wo越大，系統(tǒng)的輸入輸出對噪聲就越敏感。因此wo應(yīng)該限制在一定范圍內(nèi)以獲得較好的控制效果。

圖8wo改變時(shí)的Bode圖Fig. 8 Bode diagram when wo changes

3.3α改變對系統(tǒng)性能的影響

當(dāng)α分別取0、0.1、0.2、 0.4、0.5、0.6、0.7、0.9時(shí)，取N= 17,λ= 0.005,wo= 8,Nu= 2,KP= 0.1,KI= 1，開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖如圖9所示。

圖9α改變時(shí)的Bode圖Fig. 9 Bode diagram when α changes

由圖9可得，α取較大值時(shí)，系統(tǒng)的截止頻率較低，響應(yīng)速度慢，影響了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但是系統(tǒng)穩(wěn)定性較好。因此在確定了預(yù)測時(shí)域值N的基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)調(diào)節(jié)，α應(yīng)在1附近取值，才能獲得較好的控制效果。

3.4λ改變對系統(tǒng)性能的影響

當(dāng)λ分別取1、0.5、0.1、0.05、0.01、0.005、0.001、0時(shí)，取N= 17,α= 0.2,wo= 8,Nu= 2,KP= 0.1,KI=1,開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖如圖10所示。

由圖10可得，隨著λ減小，系統(tǒng)的截止頻率升高，響應(yīng)速度變快。但同時(shí)系統(tǒng)的相角裕度減小，穩(wěn)定性降低，而且也出現(xiàn)了超調(diào)。相反，如果λ增大，則相角裕度增加，超調(diào)消失，但響應(yīng)速度減慢。所以實(shí)際會(huì)選擇較小的λ。

圖10λ改變時(shí)的Bode圖Fig. 10 Bode diagram when λ changes

3.5Nu改變對系統(tǒng)性能的影響

當(dāng)Nu分別取1、2、3、4、5、7、9時(shí)，取N= 17,λ= 0.005,α= 0.2,wo= 8,KP= 0.1,KI= 1。開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖如圖11所示。對應(yīng)的相角裕度和幅值裕度如表2所示。

圖11Nu改變時(shí)的Bode圖Fig. 11 Bode diagram when Nu changes

表2Nu變化時(shí)的相角裕度和截止頻率Table 2 Crossover frequency and phase marginunder different Nu

在PI-GPC中應(yīng)滿足Nu≤N。圖11和表2顯示，當(dāng)Nu= 1時(shí)，截止頻率最小，系統(tǒng)響應(yīng)速度最慢。但是相角裕度最大，穩(wěn)定性強(qiáng)。當(dāng)Nu＞1時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度比Nu= 1時(shí)快。但相角裕度與Nu=1時(shí)相比下降，系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低。當(dāng)Nu= 2時(shí)，截止頻率最大，系統(tǒng)響應(yīng)速度最快。但是相角裕度最小，穩(wěn)定性差。因此，要根據(jù)對控制效果的要求選擇合適的Nu值。

3.6KP改變對系統(tǒng)性能的影響

當(dāng)KP分別取0.001、0.01、0.1、0.5、1、10、50、100時(shí)，取N= 17,λ= 0.005,α= 0.2,wo= 8,Nu= 2,KI= 1開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖如圖12所示。

圖12KP改變時(shí)的Bode圖Fig. 12 Bode diagram when KP changes

從圖12中可以看出，隨著KP的變化，系統(tǒng)的截止頻率和相角裕度變化不明顯。當(dāng)KP取值較小時(shí)，系統(tǒng)截止頻率小，響應(yīng)速度慢，但相角裕度較大，穩(wěn)定性較好。應(yīng)該選擇合適的KP，使控制過程既能得到較快的響應(yīng)速度，又具有較好的穩(wěn)定性。

3.7KI改變對系統(tǒng)性能的影響

當(dāng)KI分別取0.01、0.1、1、5、10、50、100、500時(shí)，取N= 17,λ= 0.005,α= 0.2,wo= 8,Nu= 2,KP= 0.1開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖如圖13所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，KI的改變會(huì)同時(shí)影響系統(tǒng)的相角裕度和截止頻率。當(dāng)KI取值較小時(shí)，系統(tǒng)截止頻率小，響應(yīng)速度慢，但是相角裕度較大，穩(wěn)定性較好。但當(dāng)KI≥ 5時(shí)，系統(tǒng)的截止頻率和相角裕度幾乎不隨著KI變化，所以KI的選擇不需要過大。應(yīng)該選擇合適的KI，使控制過程既能得到較快的響應(yīng)速度，又具有較好的穩(wěn)定性。

圖13Ki改變時(shí)的Bode圖Fig. 13 Bode diagram when Ki changes

3.8 實(shí)驗(yàn)例證

3.8.1 一階線性系統(tǒng)驗(yàn)證

對于上述系統(tǒng)，當(dāng)控制器參數(shù)為N= 17,wo=8, λ = 0.005,α= 0.2,Nu= 2,KP= 0.1,KI= 1時(shí)，其離散系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

可以得出離散系統(tǒng)的奈奎斯特圖，如圖14所示。從圖14可以看出，系統(tǒng)的奈氏曲線逆時(shí)針繞(?1，j0)點(diǎn)0圈，它的開環(huán)傳遞函數(shù)在單位圓外沒有特征根，因此離散系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖14 離散系統(tǒng)的奈奎斯特圖Fig. 14 Nyquist diagrams of discrete systems

將PI-ADRGPC算法的控制效果和ADRCGPC算法進(jìn)行對比，兩種算法的參數(shù)如表3所示，其輸出響應(yīng)對比如圖15所示。

由圖15和表4可知，對于一階線性系統(tǒng)，由PI-ADRGPC算法控制的系統(tǒng)輸出上升時(shí)間短、調(diào)節(jié)時(shí)間短，控制過程響應(yīng)速度更快。ITAE性能指標(biāo)小，PI-ADRGPC具有更好的控制效果。

表3 兩種控制器的參數(shù)Table 3 Parameters of the two controllers

圖15 輸出響應(yīng)對比Fig. 15 Comparison graph of output response

表4 控制過程的性能指標(biāo)Table 4 Performance indexes of the control processes

控制過程中，系統(tǒng)的性能指標(biāo)如表4所示。表4中數(shù)據(jù)的計(jì)算閾值為±0.5%，即控制量達(dá)到100%±0.5%時(shí)計(jì)算上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量和靜差。其中ITAE為時(shí)間與絕對誤差乘積積分。

3.8.2 船舶航向控制驗(yàn)證

為檢驗(yàn)算法在實(shí)際系統(tǒng)中的性能，本文使用PI-ADRGPC控制船舶航向，并將其與使用ADRCGPC算法的控制效果進(jìn)行比較。

船舶的非線性響應(yīng)模型可以表示為

式中： ψ 表示船舶的實(shí)時(shí)航向；δ 為舵機(jī)輸出的實(shí)際舵角； δr為舵機(jī)輸出舵角的期望值；r為航向角速度；K、T為船舶操縱性指數(shù)；α 為非線性系數(shù)，KE為舵機(jī)控制增益；TE為舵機(jī)時(shí)間常數(shù)[17]。

本文選擇“育龍輪”為實(shí)驗(yàn)對象。當(dāng)航速為7.2 m/s時(shí)，其操縱性指數(shù)為K=0.478s?1，T=216s，α=30 ；舵機(jī)特性參數(shù)KE=1，TE=2.5s，舵機(jī)的最大舵角[18]為 35°。

一般情況下，船舶航行過程中會(huì)受到二階波浪力干擾，在200 s之后給船施加一個(gè)頻率為0.1rad/s，幅值為 4?的等效正弦干擾，如式(15)所示：

船舶航向控制器參數(shù)如表5所示。船舶航向輸出曲線如圖16所示。

表5 船舶航向控制器的參數(shù)Table 5 Parameters of the ship heading controllers

圖16 船舶航向輸出響應(yīng)對比Fig. 16 Ship heading output response comparison graph

由圖16得，PI-ADRGPC控制器對船舶航向的跟蹤偏差比ADRC-GPC控制器小。經(jīng)計(jì)算PIADRGPC控制器控制船舶航向平均誤差(每個(gè)采樣點(diǎn)誤差的絕對值除以采樣點(diǎn)個(gè)數(shù))為0.121 9。ADRC-GPC控制器控制平均誤差為1.904 8。所以PI-ADRGPC控制器對船舶航向的控制效果優(yōu)于ADRC-GPC控制器。

4 結(jié)束語

為克服ADRC算法在大時(shí)滯系統(tǒng)中具有局限性、PI-GPC算法在線計(jì)算量大的缺點(diǎn)，我們提出了PI-ADRGPC算法。本文利用頻域法對該算法進(jìn)行了分析。針對一階線性系統(tǒng)，推導(dǎo)了PI-ADRGPC算法的閉環(huán)反饋結(jié)構(gòu)，證明了算法的穩(wěn)定性；利用開環(huán)傳遞函數(shù)的頻域特性，分析了參數(shù)變化對PI-ADRGPC性能的影響；將所提出的算法應(yīng)用于一階線性系統(tǒng)和船舶航向控制系統(tǒng)，驗(yàn)證了算法的性能。仿真結(jié)果顯示，所提出的算法和傳統(tǒng)ADRC和ADRC-GPC算法相比具有更快的響應(yīng)速度和更短的調(diào)節(jié)時(shí)間。在未來，我們將繼續(xù)提高算法的性能并加以推廣。