白 潔

遼寧大學(xué) 遼寧 沈陽 110036

基于翻轉(zhuǎn)課堂的比例模型教學(xué)設(shè)計(jì)主要從教學(xué)方案、教學(xué)過程和教學(xué)效果與未來展望三個(gè)部分展開。

一、利用比例性建模的教學(xué)方案

采用“以問題為導(dǎo)向,以趣味為動(dòng)力”的教學(xué)理念來組織利用比例性建模的教學(xué)。具體來講：

1.教學(xué)目的。利用比例性進(jìn)行建模的教學(xué)目的是：(1)掌握比例性概念和幾何解釋,理解比例性的關(guān)鍵是直線必須通過原點(diǎn)；(2)建立比例模型,并化簡(jiǎn)求解；(3)將理論結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)；(4)探索模型的應(yīng)用和推廣。

2.教學(xué)方法和模式?；诜D(zhuǎn)課堂教學(xué)方法,采用線上線下混合教學(xué)模式,通過課前準(zhǔn)備、課中講授、課后反饋的教學(xué)過程,達(dá)到“興趣驅(qū)動(dòng)探索”的教學(xué)效果。

3.教學(xué)內(nèi)容。利用雨課堂課件講解比例性概念和比例性的幾何解釋[1]。然后課堂舉例講解比例性模型的建模過程。最后反饋教學(xué)效果并展望未來。

二、利用比例性建模的教學(xué)過程

本節(jié)課教學(xué)過程包括三個(gè)部分：課前預(yù)習(xí),課中講解,課后反饋。具體來講：

1.課前預(yù)習(xí)：在授課時(shí)間前一天將比例性性概念、幾何解釋和四個(gè)模型以課件的形式提交到雨課堂平臺(tái),其中四個(gè)模型包括雨滴的終極速度,“駭鳥”尺寸的建模,劃艇比賽的成績(jī),評(píng)選舉重總冠軍。

2.課中講授：

(1)首先解答學(xué)生的疑問。

(2)然后指出歷史上著名的比例性：虎克定律,牛頓定律,歐姆定律,波義耳定律,愛因斯坦相對(duì)論,開普勒第三定律[1]。

(3)最后以問題為導(dǎo)向,用趣味性帶動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探索,通過七個(gè)模型的講解來拓展學(xué)生建模視野。

利用體積、面積和特征尺寸的比例關(guān)系建模原理：對(duì)事物的任何特征量l都有S∝l2,V∝l3,能夠得到S∝V2/3,其中S,V分別表示事物表面積和體積。因?yàn)橘|(zhì)量m與體積成正比,由比例性的傳遞規(guī)則有S∝m2/3.

模型延伸1啟發(fā)學(xué)生利用雨滴終極速度模型來解釋為什么可以通過雨滴落在身上的感覺來判斷大雨還是小雨。經(jīng)過短暫思考,有學(xué)生回答由動(dòng)量守恒定律：mv=Ft,如果是小雨,則雨滴質(zhì)量m比較小,雨滴終極速度v較小,而雨滴打到人身上的時(shí)間t固定,所以雨滴對(duì)人的作用力F會(huì)比較小,感覺雨滴比較輕。大雨相反。

模型延伸2[1]已知3英尺高20磅重的火烈鳥腿長(zhǎng)2英尺,根據(jù)“駭鳥”尺寸模型,對(duì)100磅的火烈鳥的高度和腿長(zhǎng)進(jìn)行建模。

解答：如果把腿長(zhǎng)作為特征量,由 W=kl3,當(dāng)腿長(zhǎng)為2英尺,k=20/8=2.5,則100磅火烈鳥腿長(zhǎng)英尺；如果把高度作為特征量,由W=kl3,當(dāng)高度為3英尺,k=20/27=0.7407,則100磅火烈鳥腿長(zhǎng)英尺。

模型延伸3[2]建模說明八人艇重量級(jí)組(86kg)比輕量級(jí)組(73kg)成績(jī)大約好5%。

解答：因?yàn)閯潣β蕄與漿手體重w成正比,而n=8不變,則原模型中的v∝(n/S)1/3變?yōu)関∝(w/S)1/3.所以重量級(jí)組速度vz∝(wz/Sz)1/3,輕量級(jí)組速度vq∝(wq/Sq)1/3,且比賽需用時(shí)間tz/tq=vq/vz=(wq/wz)1/3(Sz/Sq)1/3,資料顯示Sz/Sq不超過1.05,代入wz=86,wq=73,可以得到tz/tq≈0.96。

例1[2].超市購物時(shí)選大包裝的合理性。

模型建立 生產(chǎn)成本主要與質(zhì)量w成正比,包裝成本主要與包裝表面積S成正比,則商品價(jià)格P=aw+bw2/3+c,其中c表示價(jià)格中與質(zhì)量和表面積無關(guān)的成分,且a＞0,b＞0,c＞0.單位質(zhì)量?jī)r(jià)格p=P/w=a+bw-1/3+cw-1.

模型解釋 因?yàn)閜'=(-1/3)bw-4/3-cw-2小于0,則p是w的減函數(shù),說明大包裝比小包裝商品便宜；p''=(4/9)bw-7/3+2cw-3大于0,則曲線是向上凹的,說明隨著包裝的變大單價(jià)的減少量是逐漸下降的。所以購買大包裝商品適可而止,不能過度追求。

例2[2].利用魚的長(zhǎng)度估計(jì)魚的質(zhì)量。

模型假設(shè) 同一種魚的整體形狀是相似的,密度大體相同。

模型構(gòu)成 質(zhì)量與身長(zhǎng)的立方成正比,即m=k1l3.

模型改進(jìn) 假定魚的橫截面是相似的,則m=k2d2l,其中d表示魚身最大周長(zhǎng)。

模型檢驗(yàn) 利用實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)k1和k2,將模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)比較,兩個(gè)模型結(jié)果都比較滿意[3]。

例3[4].汽車剎車距離：判斷“2秒準(zhǔn)則”的合理性。

模型假設(shè) (1)剎車距離d=反應(yīng)距離d1+制動(dòng)距離d2；(2)d1=vt1,其中v表示車速,t1表示反應(yīng)時(shí)間；(3)Fd2=mv2/2,F∝m,其中F表示剎車最大制動(dòng)力,m表示汽車質(zhì)量。

模型建立 由牛頓第二定律和假設(shè)(3)可知,d2=kv2,其中k為比例系數(shù),且k=1/2a.由假設(shè)(1)和(2),d=vt1+kv2.對(duì)于t1,利用經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值0.75秒；對(duì)于k,利用數(shù)據(jù)擬合得到k=0.0256,則d=0.75v+0.0256v2.根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)果,與實(shí)際吻合較好[4]。

模型應(yīng)用 通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),車速為0～10英里/小時(shí),t為1秒；車速為10～40英里/小時(shí),t為2秒；車速為40～60英里/小時(shí),t為3秒；車速為60～80英里/小時(shí),t為4秒,其中t表示后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù)t秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志。所以“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)該修正為“t秒準(zhǔn)則”。

例4[1].描述汽車速率和燃油里程之間的關(guān)系。

模型假設(shè) 汽車以常速v行駛；燃油轉(zhuǎn)換成能量的比例K不變；功率轉(zhuǎn)換率不變；限制垂直于汽車運(yùn)動(dòng)方向的汽車橫截面積S相同。

模型構(gòu)成 首先單位時(shí)間燃燒掉的燃油的量記為Cr,由該車可利用功率與燃油轉(zhuǎn)換功率成比例,有F∝CrK/v∝Cr/v,其中F表示汽車推進(jìn)力。在高速公路上,常用的設(shè)計(jì)是阻力f∝Sv2,則f∝v2.由牛頓第二定律,F=f,得到Cr∝v3.定義燃油里程=距離vt/油耗Crt,所以有燃油里程∝v-2.

模型解釋 汽油里程和速度的平方成反比。本模型對(duì)很多變化因素做了不變制約,而且是在限制速率的范圍里的定性解釋,具有很大的局限性。

3.課后反饋：留一個(gè)比例模型作為練習(xí),通過雨課堂平臺(tái)與學(xué)生進(jìn)行交流。

三、利用比例性建模的教學(xué)效果與未來展望

基于翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)方法和線上線下混合教學(xué)模式進(jìn)行的比例模型教學(xué)設(shè)計(jì),能夠?qū)崿F(xiàn)“以學(xué)生為主體”,利用問題的趣味性帶動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探索和建模,達(dá)到了很好的教學(xué)效果。

未來展望是融入更多的利用比例性建模的競(jìng)賽題,進(jìn)一步拓展建模視野。