張贛波， 趙耀， 張曉東

(1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074； 2.海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，湖北 武漢 430033)

在機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中，質(zhì)量(或慣量)元件是一個(gè)單端點(diǎn)元件，而彈簧和阻尼都是雙端點(diǎn)元件。在“力-電流”第二類機(jī)電相似理論的統(tǒng)一框架下，機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)也必然存在一種具有2個(gè)獨(dú)立、自由端點(diǎn)的，與電氣系統(tǒng)的電容嚴(yán)格相似的元件。具有這一性質(zhì)的元件被定義為“慣容”[1]。目前已經(jīng)探索出機(jī)械、液壓、液力、機(jī)電等類型的慣容結(jié)構(gòu)[2-4]。

慣容結(jié)構(gòu)的實(shí)現(xiàn)為超越傳統(tǒng)的質(zhì)量、彈簧和阻尼3大振動(dòng)元件的串并聯(lián)組合約束關(guān)系創(chuàng)造可行性?；凇皬椈?阻尼”并聯(lián)結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)隔振器存在低頻和線譜隔振的技術(shù)瓶頸，這是彈簧元件“通低頻、阻高頻”的動(dòng)力特性所決定的[5]。而慣容具有“通高頻、阻低頻”的特性，與彈簧元件并聯(lián)組合可以構(gòu)建具有反共振特性的反共振隔振器[6-8]。以往關(guān)于慣容與彈簧的組合關(guān)系研究主要集中在這一并聯(lián)結(jié)構(gòu)上。文獻(xiàn)[9]分析慣容對振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率的影響，理論推導(dǎo)證明在隔振器結(jié)構(gòu)中并聯(lián)慣容降低原振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。文獻(xiàn)[10]針對“慣容-彈簧”單級并聯(lián)結(jié)構(gòu)反共振隔振器的隔振特性進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[11]在“慣容-彈簧”單級并聯(lián)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上串聯(lián)第二級彈簧，可以改善原隔振器的隔振性能。

在“慣容-彈簧-阻尼”體系下構(gòu)建反共振隔振器結(jié)構(gòu)，應(yīng)關(guān)注解決兩方面的問題：1)反共振隔振器結(jié)構(gòu)的完備性，除“慣容-彈簧”并聯(lián)結(jié)構(gòu)外，還存在串聯(lián)或混聯(lián)結(jié)構(gòu)；2)線譜和寬帶隔振相統(tǒng)一，應(yīng)在保持傳統(tǒng)隔振器寬帶隔振性能基礎(chǔ)上融合線譜隔振，而不是顧此失彼。本文基于“力-電流”第二類機(jī)電相似關(guān)系，類比電氣系統(tǒng)中“電感-電容”諧振發(fā)生條件，完備地構(gòu)建出3型“慣容-彈簧”反共振隔振器基本型結(jié)構(gòu)，包括1型二元件“慣容-彈簧”并聯(lián)結(jié)構(gòu)和2型三元件“慣容-彈簧”混聯(lián)結(jié)構(gòu)。重點(diǎn)針對三元件“慣容-彈簧”反共振隔振器，從固有頻率、反共振、阻尼影響等方面分析其振動(dòng)特性和隔振性能。根據(jù)力傳遞函數(shù)存在固定點(diǎn)的特征，采用動(dòng)力調(diào)諧優(yōu)化方法進(jìn)行隔振器動(dòng)力參數(shù)匹配，推導(dǎo)出優(yōu)化動(dòng)力參數(shù)計(jì)算式，并在最優(yōu)狀態(tài)下討論動(dòng)力參數(shù)對隔振性能的影響規(guī)律，以指導(dǎo)實(shí)際設(shè)計(jì)。所構(gòu)建的2型三元件“慣容-彈簧”反共振隔振器結(jié)構(gòu)，為尋求在被動(dòng)系統(tǒng)上進(jìn)行線譜和寬帶一體化隔振提供一種有效技術(shù)途徑。

1 “慣容-彈簧”反共振隔振器結(jié)構(gòu)

將兩端點(diǎn)的慣容代替單端點(diǎn)的質(zhì)量，機(jī)械系統(tǒng)與電氣系統(tǒng)完全嚴(yán)格相似。根據(jù)“力-電流”機(jī)電相似理論，機(jī)械系統(tǒng)的慣容、彈簧、阻尼分別與電氣系統(tǒng)的電容、電感、電阻相對應(yīng)。在電氣系統(tǒng)中，電容和電感有串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振兩種類型。由此推知，機(jī)械系統(tǒng)的慣容和彈簧也必然存在串聯(lián)和并聯(lián)兩種諧振類型，如圖1中Ⅰ、Ⅱ所示“b1//k1”、“b1-k1”，這里以“//”、“-”分別表示并聯(lián)和串聯(lián)關(guān)系(下同)。但慣容不具有彈簧的承載能力，一旦超過工作行程將發(fā)生類似電容的“擊穿”現(xiàn)象[3]，故在“慣容-彈簧”串聯(lián)結(jié)構(gòu)中必須再并聯(lián)-保護(hù)彈簧，保護(hù)彈簧的位置有2種選擇，一是單獨(dú)與慣容并聯(lián)，二是與慣容和彈簧整體并聯(lián)，共2種排列方式，見圖1中Ⅱ1、Ⅱ2。因此，單慣容反共振隔振器共有3型結(jié)構(gòu)。

圖1 反共振隔振器結(jié)構(gòu)Fig.1 Architecture of anti-resonant isolator

上述3型反共振隔振器的固有頻率分別是：

(1)

(2)

(3)

隔振器Ⅱ1的固有頻率與彈簧k1無關(guān)，隔振器Ⅱ2的固有頻率決定于彈簧k1、k3的合成剛度。

以反共振隔振器進(jìn)行隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)，力傳遞率以阻抗表示為：

(4)

式中Zm、Zi、Zf分別為振源、隔振器和基礎(chǔ)的阻抗。

式(4)表明，隔振系統(tǒng)的反共振特性決定于隔振器阻抗。由于隔振器的固有頻率是阻抗特征方程的根，故隔振器的固有頻率對應(yīng)于隔振系統(tǒng)的反共振頻率。

2 反共振隔振系統(tǒng)固有頻率

在隔振器結(jié)構(gòu)中引入慣容，使得隔振系統(tǒng)發(fā)生慣性耦合。隔振器Ⅰ中只有1個(gè)彈簧，而隔振器Ⅱ1、Ⅱ2中都有2個(gè)彈簧，但前者串聯(lián)，后者并聯(lián)，不同彈簧數(shù)量和組合關(guān)系也就決定隔振系統(tǒng)具有不同的固有振動(dòng)特性。在剛性基礎(chǔ)條件下，將振源看作剛體，其質(zhì)量為m，記隔振器Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2對應(yīng)的隔振系統(tǒng)分別為隔振系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2。

2.1 隔振系統(tǒng)Ⅰ

隔振系統(tǒng)Ⅰ的特征方程為：

-mω2-b1ω2+k1=0

(5)

令u=b1/m，γ=ω/ωr，求解得隔振系統(tǒng)Ⅰ的無量綱固有頻率為：

(6)

顯然，隔振系統(tǒng)Ⅰ的固有頻率小于隔振器Ⅰ的固有頻率。質(zhì)量比u越大，兩固有頻率越接近。

2.2 隔振系統(tǒng)Ⅱ1

令λ=k2/k1，代入前述定義無量綱量，整理得無量綱特征方程為：

(7)

(8)

式(8)表明，第1階固有頻率的上限值決定于質(zhì)量比u，并且第1階固有頻率小于反共振頻率，即第1階共振峰出現(xiàn)在反共振峰之前。

(9)

(10)

式(9)、(10)表明，第2階固有頻率的下限值主要決定于剛度比λ。顯然，第2階固有頻率大于反共振頻率，即第2階共振峰出現(xiàn)在反共振峰之后。

2.3 隔振系統(tǒng)Ⅱ2

令λ=k3/k1，代入前述定義無量綱量，整理得無量綱特征方程：

(11)

觀察式(11)和式(7)，2方程形式相同，僅質(zhì)量比系數(shù)有所區(qū)別。在隔振器Ⅱ1、Ⅱ2三元件相同的條件下，隔振系統(tǒng)Ⅱ2相對于隔振系統(tǒng)Ⅱ1的等效質(zhì)量比是u(λ+1)2。由此推知，隔振系統(tǒng)Ⅱ2的第1、2階固有頻率也是關(guān)于質(zhì)量比u的增函數(shù)，并且大于隔振系統(tǒng) Ⅱ1的同階固有頻率。由于質(zhì)量比u和剛度比λ存在耦合，隔振系統(tǒng) Ⅱ2的第1、2階固有頻率關(guān)于剛度比λ的變化規(guī)律不同于隔振系統(tǒng) Ⅱ1。

(12)

式(12)顯示，隔振系統(tǒng)Ⅱ2的第1階固有頻率是關(guān)于剛度比λ的增函數(shù)，不同于隔振系統(tǒng)Ⅱ1的減函數(shù)。

(13)

(14)

圖關(guān)于剛度比λ的變化曲線Fig.2 Curves of with respect to λ

3 反共振隔振系統(tǒng)隔振特性

3.1 反共振隔振特性

以力傳遞率作為表征隔振特性的特征量，隔振系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2的無量綱力傳遞曲線如圖3所示。為與傳統(tǒng)隔振器比較，一并繪制出無慣容的傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)的力傳遞曲線。

從圖3看出，隔振系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2都存在傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)不具有的反共振現(xiàn)象，在反共振頻率處，隔振系統(tǒng)具有極低的力傳遞率。當(dāng)激勵(lì)頻率等于隔振器固有頻率時(shí)，隔振系統(tǒng)將發(fā)生反共振，激振力被大幅度隔離。這一反共振特性適用于線譜隔振。在反共振頻率之后，隔振器結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞特性表現(xiàn)出較明顯的差異性。隔振器Ⅰ在反共振頻率之后的力傳遞曲線上揚(yáng)，逐漸接近一漸近值，而隔振器Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞曲線在第2階共振峰后以一定速率衰減，衰減速率與傳統(tǒng)隔振器相當(dāng)，具有寬帶隔振特性。

圖3 隔振系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞曲線(u=0.3,λ=1)Fig.3 Force transmissibility curves of vibration isolation system Ⅰ,Ⅱ1,Ⅱ2(u=0.3,λ=1)

隔振器Ⅰ的反共振特性僅適用于線譜隔振，如同傳統(tǒng)隔振器，隔振性能都僅有單一性。而隔振器Ⅱ1、Ⅱ2的反共振特性表現(xiàn)出的隔振性能具有雙重性，在保有傳統(tǒng)隔振器寬帶隔振性能的同時(shí)，集成線譜隔振性能，實(shí)現(xiàn)線譜和寬帶一體化隔振。工程上純線譜激勵(lì)的激振源較少，在性質(zhì)上大都是離散和連續(xù)的混合激勵(lì)，隔振器 Ⅱ1、Ⅱ2滿足工程應(yīng)用要求。

3.2 阻尼影響

因未考慮阻尼，上述力傳遞率曲線共振峰和反共振峰都呈現(xiàn)尖銳、狹窄的特征。在隔振器Ⅱ1、Ⅱ2三元件基本型結(jié)構(gòu)中增加阻尼元件，其位置有3種選擇，如圖4所示，包括c1、c2、c3、c1c2、c1c3、c2c3、c1c2c3共7種排列方式。因此，反共振隔振器Ⅱ1、Ⅱ2共有14種工程可行的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

圖4 阻尼排列方式Fig.4 Arrangement of damping

圖5 隔振器Ⅱ1不同阻尼排列方式對應(yīng)的力傳遞曲線(u=0.3,λ=1,ζi=5%)Fig.5 Force transmissibility curves of isolator Ⅱ1 corresponding to different arrangement of damping(u=0.3,λ=1,ζi=5%)

對于隔振器Ⅱ1，阻尼c1、c2、c3都存在主影響區(qū)。綜合而言，阻尼c1是局部阻尼，僅控制第2階共振峰值，相應(yīng)地也控制第2階共振峰之后的力傳遞率幅值，影響寬帶隔振效果；阻尼c3是區(qū)域阻尼，控制第1階共振峰值和反共振峰值；阻尼c2是全局阻尼，對第1、2階共振峰值和反共振峰值都有控制作用，主要影響線譜隔振效果。

圖6 隔振器Ⅱ2不同阻尼排列方式對應(yīng)的力傳遞曲線(u=0.3,λ=1,ζi=5%)Fig.6 Force transmissibility curves of isolator Ⅱ2 corresponding to different arrangement of damping(u=0.3，λ=1，ζi=5%)

以上分析結(jié)果表明，不同位置阻尼對力傳遞曲線峰值的影響是相對解耦的。這為滿足不同隔振要求提供有效的調(diào)節(jié)途徑，如以線譜隔振為主要目標(biāo)，應(yīng)減小或不設(shè)阻尼c2，同時(shí)增大阻尼c1，以改善整體隔振效果。

3.3 參數(shù)優(yōu)化

由于阻尼c2是全局阻尼，在隔振器Ⅱ1、Ⅱ2三元件基礎(chǔ)型結(jié)構(gòu)中引入阻尼c2，根據(jù)前述所定義的無量綱量，推導(dǎo)出隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的無量綱力傳遞函數(shù)分別為：

(15)

(16)

觀察式(15)、(16)，根據(jù)動(dòng)力調(diào)諧優(yōu)化理論，隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞函數(shù)都存在不隨阻尼比ζ2變化的兩固定點(diǎn)?；趦晒潭c(diǎn)對隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的動(dòng)力參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，基本步驟是：

1)尋求最優(yōu)剛度比λopt，使兩固定點(diǎn)幅值相等；

2)尋求最優(yōu)阻尼比ζ2opt，使兩固定點(diǎn)為最大值點(diǎn)。

以質(zhì)量比u為自變量，計(jì)算得到隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的最優(yōu)剛度比分別為：

(17)

(18)

最優(yōu)阻尼比的解析解推導(dǎo)較繁復(fù)，采用最小二乘法擬合得到其數(shù)值解為：

(19)

(20)

在最優(yōu)狀態(tài)下，隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞函數(shù)關(guān)于質(zhì)量比u的曲線簇如圖7所示。比較看出，隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2力傳遞曲線共振峰值和反共振峰值關(guān)于質(zhì)量比u的變化規(guī)律相反。隔振系統(tǒng)Ⅱ1與質(zhì)量比u負(fù)相關(guān)，提高隔振效果應(yīng)減小質(zhì)量比u，而隔振系統(tǒng)Ⅱ2與質(zhì)量比u正相關(guān)，增大質(zhì)量比u可改善隔振效果。

圖7 隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞曲線簇Fig.7 Force transmissibility curves of vibration isolation system Ⅱ1, Ⅱ2

反共振峰值表征隔振效果，而共振峰值間距則反映隔振效果的穩(wěn)定性。對于隔振系統(tǒng)Ⅱ1，減小質(zhì)量比u在降低反共振峰值的同時(shí)也增大共振峰值間距。而對于隔振系統(tǒng)Ⅱ2，增大質(zhì)量比u，既降低反共振峰值，也增大共振峰值間距。因此，質(zhì)量比u對隔振性能有決定性作用。

4 結(jié)論

1)“慣容-彈簧”串、并聯(lián)組合可構(gòu)建3型反共振隔振器基本型結(jié)構(gòu)，其中，1型二元件并聯(lián)結(jié)構(gòu)和2型三元件混聯(lián)結(jié)構(gòu)，反共振頻率對應(yīng)于隔振器固有頻率；

2)三元件“慣容-彈簧”反共振隔振器同時(shí)具有線譜和寬帶隔振性能，在基本型結(jié)構(gòu)中匹配增加阻尼元件可針對共振峰值和反共振峰值實(shí)施獨(dú)立控制；

3)質(zhì)量比是三元件“慣容-彈簧”反共振隔振器進(jìn)行隔振設(shè)計(jì)的關(guān)鍵參數(shù)，最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比都是關(guān)于質(zhì)量比的函數(shù)，對隔振性能有決定性作用。