基于高增益觀測器的挖掘機(jī)工作裝置滑?？刂?/h1>
2021-06-10 05:27:12徐國勝於祖慶陸念力呂廣明
哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào) 2021年6期
徐國勝， 於祖慶， 陸念力， 呂廣明
(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)
挖掘機(jī)自動(dòng)控制一直是工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1-4]采用滑模變結(jié)構(gòu)或其與模糊邏輯、自適應(yīng)理論的結(jié)合，調(diào)節(jié)挖掘機(jī)輸入轉(zhuǎn)矩，使關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角跟蹤規(guī)劃值，仿真結(jié)果證明了算法有效性。挖掘機(jī)工作裝置由單活塞桿液壓缸驅(qū)動(dòng)，相較于電機(jī)驅(qū)動(dòng)的機(jī)械臂，由于液壓缸系統(tǒng)的非線性，采用關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩作為輸入，控制不直接且控制精度低，使關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角實(shí)際軌跡與規(guī)劃軌跡存在很大誤差，進(jìn)而使鏟斗斗尖在工作空間不能有效跟蹤規(guī)劃路徑。為此，文獻(xiàn)[5]分析了某機(jī)械臂系統(tǒng)液壓伺服驅(qū)動(dòng)空間與關(guān)節(jié)空間關(guān)系，以關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩為紐帶，建立輸入伺服電流與輸出關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角間的數(shù)學(xué)模型，從而將控制器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)移到伺服驅(qū)動(dòng)空間。
針對液壓伺服系統(tǒng)的控制，阻抗滑模控制[6]、高階滑模控制[7]、非連續(xù)投射[8-9]、及其與滑?？刂频慕Y(jié)合[10]、反饋線性化滑模控制[11-13],被廣泛應(yīng)用并取得較好的仿真試驗(yàn)效果。然而上述控制方式需要采集活塞桿位移、速度或加速度，以及液壓缸兩腔壓力信號(hào)，增加了控制成本。為降低傳感器使用數(shù)量，觀測器被引入至控制器的設(shè)計(jì)，用來對狀態(tài)變量或干擾進(jìn)行觀測[14-19]。文獻(xiàn)[14]基于投射法對干擾進(jìn)行觀測，文獻(xiàn)[15]基于低通濾波對速度觀測，文獻(xiàn)[16]基于擴(kuò)張觀測器對狀態(tài)變量及干擾觀測，并采用反演法設(shè)計(jì)液壓系統(tǒng)控制器。相較于上述觀測器，高增益觀測器能夠?qū)刂扑璧乃袪顟B(tài)信息進(jìn)行有效估計(jì)，且設(shè)計(jì)更為簡單，容易實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[17]構(gòu)造了基于高增益狀態(tài)觀測器的電液系統(tǒng)無源控制器，仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證了控制輸出活塞桿位移對目標(biāo)位移信號(hào)優(yōu)良的跟隨性能。文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)了基于高增益觀測器的積分滑?？刂破?，并采用奇異攝動(dòng)理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[19]針對電液系統(tǒng)構(gòu)造了基于高增益觀測器的反演控制器，仿真與試驗(yàn)效果較好。
本文通過計(jì)算挖掘機(jī)關(guān)節(jié)空間與驅(qū)動(dòng)空間的位移、速度與力之間的關(guān)系，得到控制輸入伺服閥電壓與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系。采用基于高增益觀測器的滑模控制理論，對驅(qū)動(dòng)空間電液系統(tǒng)進(jìn)行軌跡控制。并采用奇異攝動(dòng)方法，將觀測器狀態(tài)觀測誤差與系統(tǒng)控制誤差分別作為快變子系統(tǒng)變量與慢變子系統(tǒng)變量，基于李雅普諾夫函數(shù)，證明閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。相較于文獻(xiàn)[18]，本文采用文獻(xiàn)[20]中高增益觀測器的設(shè)計(jì)方法，只需調(diào)節(jié)觀測器帶寬參數(shù)，不需整定其他增益參數(shù)，因而觀測器設(shè)計(jì)更加簡便；在滑?？刂浦校捎没Ｃ婧瘮?shù)代替符號(hào)函數(shù)，消除了抖振且對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性有重要作用；在液壓系統(tǒng)中引入匹配不確定項(xiàng)與非匹配不確定項(xiàng)，通過定義新的狀態(tài)變量，對非匹配不確定項(xiàng)補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的基于高增益觀測器的滑?？刂破餍Ч^好，且對匹配與非匹配不確定項(xiàng)有良好的魯棒性。
1 挖掘機(jī)規(guī)劃軌跡生成
1.1 挖掘機(jī)驅(qū)動(dòng)空間與關(guān)節(jié)空間關(guān)系
圖1為挖掘機(jī)工作裝置模型，采用D-H方法建立了系統(tǒng)坐標(biāo)。
圖1 挖掘機(jī)工作裝置模型Fig.1 Coordinate frames of the excavator
則挖掘機(jī)關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角與驅(qū)動(dòng)空間液壓缸活塞桿長度之間的關(guān)系：
(1)
式中：∠CO1O2、∠AO1x1、∠O1O2B、∠DO2O3、∠GO3O2、 ∠HO3O4、∠EGO2、∠O2GO3與桿長lO1C、lO1A、lO2D、lO2B、lGE、lGF、lO3G、lO3H、lFG、lFH為常量，代入本文研究對象柳工某型液壓挖掘樣機(jī)參數(shù)，得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角與對應(yīng)液壓缸活塞桿長度曲線如圖2所示。
圖2 液壓挖掘機(jī)活塞桿位移與對應(yīng)轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.2 The relationship between piston rod displacement and corresponding rotation angle
由虛功原理，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩與驅(qū)動(dòng)力關(guān)系表示為：
(2)
(3)
式中：φ2=θ2+∠CO1O2+∠AO1x1，φ3=θ3+∠O1O2B+∠DO2O3，φ2=θ4+∠EO3O2+∠HO3O4。由式(1)，θ4與lEF之間機(jī)構(gòu)連接關(guān)系導(dǎo)致雅克比矩陣J中J3項(xiàng)表達(dá)復(fù)雜，在誤差可控條件下，采用θ4與lEH的雅克比關(guān)系代替(或直接由圖2曲線函數(shù)擬合后求導(dǎo)得到對應(yīng)各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的雅克比項(xiàng))。
1.2 挖掘機(jī)驅(qū)動(dòng)空間軌跡規(guī)劃
挖掘機(jī)不考慮回轉(zhuǎn)時(shí)，其鏟斗末端軌跡在基坐標(biāo)系O0x0y0z0(圖1)中表示為：
(4)
式中：a1為動(dòng)臂鉸接點(diǎn)水平長度，a2為動(dòng)臂桿長，a3為斗桿桿長，a4為鏟斗桿長，c234=cos(θ2+θ3+θ4)，s234=sin(θ2+θ3+θ4)等。以挖掘機(jī)整平作業(yè)為例，實(shí)際中要求鏟斗相對設(shè)定直線軌跡以固定的切削角進(jìn)行工作。如圖3所示，θd為固定切削角，θb為鏟斗齒尖與銷軸的連線與切削板的夾角，則鏟斗位姿角φ表示為：
圖3 挖掘機(jī)整平作業(yè)鏟斗位姿Fig.3 The bucket posture of the excavator during straight-line motion
φ=θ2+θ3+θ4=θd+θb-π
(5)
即φ為固定值。
采用速度規(guī)劃曲線[21]
(6)
在水平作業(yè)面，以切削角θb=π/6進(jìn)行整平作業(yè)(鏟斗斗尖從機(jī)身遠(yuǎn)端移動(dòng)至近端)，由幾何關(guān)系式：
(7)
得到研究對象挖掘機(jī)動(dòng)臂、斗桿與鏟斗關(guān)節(jié)空間角度規(guī)劃曲線及相應(yīng)液壓缸桿軌跡規(guī)劃曲線，結(jié)果如圖4所示。
圖4 挖掘機(jī)作業(yè)面為水平面時(shí)的規(guī)劃曲線Fig.4 Excavator planning curves with horizontal working surface
2 閥控非對稱液壓缸數(shù)學(xué)模型
根據(jù)文獻(xiàn)[22]，對挖掘機(jī)進(jìn)行電液比例改造，圖5為改造后斗桿閥控非對稱液壓缸結(jié)構(gòu)框圖。PS與PT分別為液壓泵供油壓力與回油壓力，UV為電磁閥閥芯位移，xp=lBD為斗桿活塞桿長度，QA與QB分別表示流入非對稱缸無桿腔的流量與流出有桿腔的流量，PA、AA與VA分別表示無桿腔壓力，活塞面積與容積。PB、AB與VB則表示有桿腔壓力，活塞面積與容積。
圖5 斗桿液壓系統(tǒng)Fig.5 The schematic of the stick cylinder system
斗桿液壓缸力平衡方程為：
(8)
式中：m為活塞桿及腔內(nèi)液體等效質(zhì)量；c為活塞桿粘性阻尼系數(shù)；k為活塞桿剛度系數(shù)。FBD為式(2)中對應(yīng)于斗桿的驅(qū)動(dòng)力分量。挖掘機(jī)在水平作業(yè)面按照規(guī)劃速度整平作業(yè)，考慮自重影響不計(jì)斗尖阻力時(shí)，F(xiàn)BD理論計(jì)算結(jié)果如圖6。
圖6 FBD的理論值Fig.6 Nominal value of FBD
斗桿閥控非對稱液壓缸在不考慮泄露因素條件下的流量連續(xù)性方程為：
(9)
式中：VA=VA0+AAxp為無桿腔容積，VB=VB0-ABxp有桿腔容積，VA0與VB0為各腔初始容積,β為液壓油液彈性模量。閥的節(jié)流方程：
(10)
式中h1與h2為流量增益系數(shù)。根據(jù)比例伺服閥特性曲線，流量QA和QB與伺服閥輸入電壓Vin的關(guān)系可線性化表示為[23]：
(11)
(12)
3 基于觀測器的滑模變結(jié)構(gòu)控制
3.1 滑模高增益狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)
以斗桿液壓缸活塞桿軌跡控制為例，挖掘機(jī)在水平作業(yè)面整平作業(yè)時(shí)，采用規(guī)劃速度曲線得到的斗桿液壓缸活塞桿規(guī)劃軌跡如圖4(b)點(diǎn)劃線所示。為了降低控制成本，減少傳感器使用數(shù)量，僅使用位移傳感器測量活塞桿實(shí)際長度，采用高增益觀測器對其他控制狀態(tài)變量進(jìn)行觀測。為對非匹配不確定項(xiàng)d1(t)補(bǔ)償，定義狀態(tài)變量：
(13)
則式(12)轉(zhuǎn)換為：
(14)
(15)
(16)
3.2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)理論定義滑模面：
(17)
(18)
設(shè)計(jì)控制輸入u為：
(19)
(20)
3.3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性
(21)
(22)
則狀態(tài)變量η與s可表示為奇異攝動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)形式：
(23)
式中：η為快變子系統(tǒng)狀態(tài)變量；s為慢變子系統(tǒng)狀態(tài)變量，且
(24)
定義李雅普諾夫函數(shù)：
(25)
則有：
(26)
易知V指數(shù)收斂，且在有限時(shí)間內(nèi)V=0?s=0，
(27)
因?yàn)锳e為Hurwitz，則跟蹤誤差e有限時(shí)間指數(shù)收斂。將式(23)時(shí)間尺度變換為τ=t/ε，則系統(tǒng)變換為：
(28)
當(dāng)ε→0，式(28)表示為：
(29)
因?yàn)锳是Hurwitz，存在正定矩陣Pη使得：
ATPη+PηA=-I
(30)
定義李雅普諾夫函數(shù)為：
Vη=ηTPηη
(31)
則其對時(shí)間尺度τ的微分：
(32)
3.4 仿真
d(t)=(-89.1t4+1142.16t3-4 805.82t2+
7 149.8t+157.09)/160+100cos(2t)+
100sin(5t)/160
(33)
3 574.90t2-157.09t+20 816.56)/160
圖7 κ=100時(shí)ε對觀測誤差的影響Fig.7 The state estimation errors of high-gain observer with κ=100
由圖7易知，在不考慮系統(tǒng)噪聲環(huán)境下，ε值越小，對非匹配不確定項(xiàng)與匹配不確定項(xiàng)補(bǔ)償效果越好，觀測誤差越小。由圖8和圖9，κ值越大，閉環(huán)系統(tǒng)收斂越快。
圖8 ε=0.001不同κ值的軌跡跟蹤效果Fig.8 The tracking performance of the HOSMC with ε=0.001
圖9 ε=0.001時(shí)不同κ值的軌跡跟蹤誤差Fig.9 The tracking error of the HOSMC with ε=0.001
4 結(jié)論
1)通過建立挖掘機(jī)關(guān)節(jié)空間與驅(qū)動(dòng)空間關(guān)系，以液壓缸桿規(guī)劃曲線為跟蹤目標(biāo)，伺服閥輸入電壓為控制輸入，使控制方式更加直接，易于實(shí)踐。
2)以斗桿活塞桿軌跡控制為例，采用高增益觀測器減少了傳感器使用數(shù)量，降低了控制成本。觀測器只需設(shè)計(jì)增益帶寬ε，設(shè)計(jì)參數(shù)少，方法更為簡便。在滑?？刂浦?，通過對輸入切換項(xiàng)的符號(hào)函數(shù)采用滑模面函數(shù)代替，消除了抖振。閉環(huán)系統(tǒng)通過奇異攝動(dòng)理論驗(yàn)證了穩(wěn)定性，跟蹤誤差有限時(shí)間收斂。
3)對于式(12)型的一類系統(tǒng)，通過定義新的狀態(tài)變量，采用基于高增益觀測器的滑?？刂茣r(shí)，可選擇較小的帶寬參數(shù)ε與較大的κ值，滿足控制需要。對于挖掘機(jī)其他液壓缸的控制，在進(jìn)行流量分配后，可類似斗桿液壓缸系統(tǒng)進(jìn)行分析控制。
徐國勝， 於祖慶， 陸念力， 呂廣明
(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)
挖掘機(jī)自動(dòng)控制一直是工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1-4]采用滑模變結(jié)構(gòu)或其與模糊邏輯、自適應(yīng)理論的結(jié)合，調(diào)節(jié)挖掘機(jī)輸入轉(zhuǎn)矩，使關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角跟蹤規(guī)劃值，仿真結(jié)果證明了算法有效性。挖掘機(jī)工作裝置由單活塞桿液壓缸驅(qū)動(dòng)，相較于電機(jī)驅(qū)動(dòng)的機(jī)械臂，由于液壓缸系統(tǒng)的非線性，采用關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩作為輸入，控制不直接且控制精度低，使關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角實(shí)際軌跡與規(guī)劃軌跡存在很大誤差，進(jìn)而使鏟斗斗尖在工作空間不能有效跟蹤規(guī)劃路徑。為此，文獻(xiàn)[5]分析了某機(jī)械臂系統(tǒng)液壓伺服驅(qū)動(dòng)空間與關(guān)節(jié)空間關(guān)系，以關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩為紐帶，建立輸入伺服電流與輸出關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角間的數(shù)學(xué)模型，從而將控制器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)移到伺服驅(qū)動(dòng)空間。
針對液壓伺服系統(tǒng)的控制，阻抗滑模控制[6]、高階滑模控制[7]、非連續(xù)投射[8-9]、及其與滑?？刂频慕Y(jié)合[10]、反饋線性化滑模控制[11-13],被廣泛應(yīng)用并取得較好的仿真試驗(yàn)效果。然而上述控制方式需要采集活塞桿位移、速度或加速度，以及液壓缸兩腔壓力信號(hào)，增加了控制成本。為降低傳感器使用數(shù)量，觀測器被引入至控制器的設(shè)計(jì)，用來對狀態(tài)變量或干擾進(jìn)行觀測[14-19]。文獻(xiàn)[14]基于投射法對干擾進(jìn)行觀測，文獻(xiàn)[15]基于低通濾波對速度觀測，文獻(xiàn)[16]基于擴(kuò)張觀測器對狀態(tài)變量及干擾觀測，并采用反演法設(shè)計(jì)液壓系統(tǒng)控制器。相較于上述觀測器，高增益觀測器能夠?qū)刂扑璧乃袪顟B(tài)信息進(jìn)行有效估計(jì)，且設(shè)計(jì)更為簡單，容易實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[17]構(gòu)造了基于高增益狀態(tài)觀測器的電液系統(tǒng)無源控制器，仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證了控制輸出活塞桿位移對目標(biāo)位移信號(hào)優(yōu)良的跟隨性能。文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)了基于高增益觀測器的積分滑?？刂破?，并采用奇異攝動(dòng)理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[19]針對電液系統(tǒng)構(gòu)造了基于高增益觀測器的反演控制器，仿真與試驗(yàn)效果較好。
本文通過計(jì)算挖掘機(jī)關(guān)節(jié)空間與驅(qū)動(dòng)空間的位移、速度與力之間的關(guān)系，得到控制輸入伺服閥電壓與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系。采用基于高增益觀測器的滑模控制理論，對驅(qū)動(dòng)空間電液系統(tǒng)進(jìn)行軌跡控制。并采用奇異攝動(dòng)方法，將觀測器狀態(tài)觀測誤差與系統(tǒng)控制誤差分別作為快變子系統(tǒng)變量與慢變子系統(tǒng)變量，基于李雅普諾夫函數(shù)，證明閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。相較于文獻(xiàn)[18]，本文采用文獻(xiàn)[20]中高增益觀測器的設(shè)計(jì)方法，只需調(diào)節(jié)觀測器帶寬參數(shù)，不需整定其他增益參數(shù)，因而觀測器設(shè)計(jì)更加簡便；在滑?？刂浦校捎没Ｃ婧瘮?shù)代替符號(hào)函數(shù)，消除了抖振且對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性有重要作用；在液壓系統(tǒng)中引入匹配不確定項(xiàng)與非匹配不確定項(xiàng)，通過定義新的狀態(tài)變量，對非匹配不確定項(xiàng)補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的基于高增益觀測器的滑?？刂破餍Ч^好，且對匹配與非匹配不確定項(xiàng)有良好的魯棒性。
1 挖掘機(jī)規(guī)劃軌跡生成
1.1 挖掘機(jī)驅(qū)動(dòng)空間與關(guān)節(jié)空間關(guān)系
圖1為挖掘機(jī)工作裝置模型，采用D-H方法建立了系統(tǒng)坐標(biāo)。
圖1 挖掘機(jī)工作裝置模型Fig.1 Coordinate frames of the excavator
則挖掘機(jī)關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角與驅(qū)動(dòng)空間液壓缸活塞桿長度之間的關(guān)系：
(1)
式中：∠CO1O2、∠AO1x1、∠O1O2B、∠DO2O3、∠GO3O2、 ∠HO3O4、∠EGO2、∠O2GO3與桿長lO1C、lO1A、lO2D、lO2B、lGE、lGF、lO3G、lO3H、lFG、lFH為常量，代入本文研究對象柳工某型液壓挖掘樣機(jī)參數(shù)，得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角與對應(yīng)液壓缸活塞桿長度曲線如圖2所示。
圖2 液壓挖掘機(jī)活塞桿位移與對應(yīng)轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.2 The relationship between piston rod displacement and corresponding rotation angle
由虛功原理，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩與驅(qū)動(dòng)力關(guān)系表示為：
(2)
(3)
式中：φ2=θ2+∠CO1O2+∠AO1x1，φ3=θ3+∠O1O2B+∠DO2O3，φ2=θ4+∠EO3O2+∠HO3O4。由式(1)，θ4與lEF之間機(jī)構(gòu)連接關(guān)系導(dǎo)致雅克比矩陣J中J3項(xiàng)表達(dá)復(fù)雜，在誤差可控條件下，采用θ4與lEH的雅克比關(guān)系代替(或直接由圖2曲線函數(shù)擬合后求導(dǎo)得到對應(yīng)各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的雅克比項(xiàng))。
1.2 挖掘機(jī)驅(qū)動(dòng)空間軌跡規(guī)劃
挖掘機(jī)不考慮回轉(zhuǎn)時(shí)，其鏟斗末端軌跡在基坐標(biāo)系O0x0y0z0(圖1)中表示為：
(4)
式中：a1為動(dòng)臂鉸接點(diǎn)水平長度，a2為動(dòng)臂桿長，a3為斗桿桿長，a4為鏟斗桿長，c234=cos(θ2+θ3+θ4)，s234=sin(θ2+θ3+θ4)等。以挖掘機(jī)整平作業(yè)為例，實(shí)際中要求鏟斗相對設(shè)定直線軌跡以固定的切削角進(jìn)行工作。如圖3所示，θd為固定切削角，θb為鏟斗齒尖與銷軸的連線與切削板的夾角，則鏟斗位姿角φ表示為：
圖3 挖掘機(jī)整平作業(yè)鏟斗位姿Fig.3 The bucket posture of the excavator during straight-line motion
φ=θ2+θ3+θ4=θd+θb-π
(5)
即φ為固定值。
采用速度規(guī)劃曲線[21]
(6)
在水平作業(yè)面，以切削角θb=π/6進(jìn)行整平作業(yè)(鏟斗斗尖從機(jī)身遠(yuǎn)端移動(dòng)至近端)，由幾何關(guān)系式：
(7)
得到研究對象挖掘機(jī)動(dòng)臂、斗桿與鏟斗關(guān)節(jié)空間角度規(guī)劃曲線及相應(yīng)液壓缸桿軌跡規(guī)劃曲線，結(jié)果如圖4所示。
圖4 挖掘機(jī)作業(yè)面為水平面時(shí)的規(guī)劃曲線Fig.4 Excavator planning curves with horizontal working surface
2 閥控非對稱液壓缸數(shù)學(xué)模型
根據(jù)文獻(xiàn)[22]，對挖掘機(jī)進(jìn)行電液比例改造，圖5為改造后斗桿閥控非對稱液壓缸結(jié)構(gòu)框圖。PS與PT分別為液壓泵供油壓力與回油壓力，UV為電磁閥閥芯位移，xp=lBD為斗桿活塞桿長度，QA與QB分別表示流入非對稱缸無桿腔的流量與流出有桿腔的流量，PA、AA與VA分別表示無桿腔壓力，活塞面積與容積。PB、AB與VB則表示有桿腔壓力，活塞面積與容積。
圖5 斗桿液壓系統(tǒng)Fig.5 The schematic of the stick cylinder system
斗桿液壓缸力平衡方程為：
(8)
式中：m為活塞桿及腔內(nèi)液體等效質(zhì)量；c為活塞桿粘性阻尼系數(shù)；k為活塞桿剛度系數(shù)。FBD為式(2)中對應(yīng)于斗桿的驅(qū)動(dòng)力分量。挖掘機(jī)在水平作業(yè)面按照規(guī)劃速度整平作業(yè)，考慮自重影響不計(jì)斗尖阻力時(shí)，F(xiàn)BD理論計(jì)算結(jié)果如圖6。
圖6 FBD的理論值Fig.6 Nominal value of FBD
斗桿閥控非對稱液壓缸在不考慮泄露因素條件下的流量連續(xù)性方程為：
(9)
式中：VA=VA0+AAxp為無桿腔容積，VB=VB0-ABxp有桿腔容積，VA0與VB0為各腔初始容積,β為液壓油液彈性模量。閥的節(jié)流方程：
(10)
式中h1與h2為流量增益系數(shù)。根據(jù)比例伺服閥特性曲線，流量QA和QB與伺服閥輸入電壓Vin的關(guān)系可線性化表示為[23]：
(11)
(12)
3 基于觀測器的滑模變結(jié)構(gòu)控制
3.1 滑模高增益狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)
以斗桿液壓缸活塞桿軌跡控制為例，挖掘機(jī)在水平作業(yè)面整平作業(yè)時(shí)，采用規(guī)劃速度曲線得到的斗桿液壓缸活塞桿規(guī)劃軌跡如圖4(b)點(diǎn)劃線所示。為了降低控制成本，減少傳感器使用數(shù)量，僅使用位移傳感器測量活塞桿實(shí)際長度，采用高增益觀測器對其他控制狀態(tài)變量進(jìn)行觀測。為對非匹配不確定項(xiàng)d1(t)補(bǔ)償，定義狀態(tài)變量：
(13)
則式(12)轉(zhuǎn)換為：
(14)
(15)
(16)
3.2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)理論定義滑模面：
(17)
(18)
設(shè)計(jì)控制輸入u為：
(19)
(20)
3.3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性
(21)
(22)
則狀態(tài)變量η與s可表示為奇異攝動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)形式：
(23)
式中：η為快變子系統(tǒng)狀態(tài)變量；s為慢變子系統(tǒng)狀態(tài)變量，且
(24)
定義李雅普諾夫函數(shù)：
(25)
則有：
(26)
易知V指數(shù)收斂，且在有限時(shí)間內(nèi)V=0?s=0，
(27)
因?yàn)锳e為Hurwitz，則跟蹤誤差e有限時(shí)間指數(shù)收斂。將式(23)時(shí)間尺度變換為τ=t/ε，則系統(tǒng)變換為：
(28)
當(dāng)ε→0，式(28)表示為：
(29)
因?yàn)锳是Hurwitz，存在正定矩陣Pη使得：
ATPη+PηA=-I
(30)
定義李雅普諾夫函數(shù)為：
Vη=ηTPηη
(31)
則其對時(shí)間尺度τ的微分：
(32)
3.4 仿真
d(t)=(-89.1t4+1142.16t3-4 805.82t2+
7 149.8t+157.09)/160+100cos(2t)+
100sin(5t)/160
(33)
3 574.90t2-157.09t+20 816.56)/160
圖7 κ=100時(shí)ε對觀測誤差的影響Fig.7 The state estimation errors of high-gain observer with κ=100
由圖7易知，在不考慮系統(tǒng)噪聲環(huán)境下，ε值越小，對非匹配不確定項(xiàng)與匹配不確定項(xiàng)補(bǔ)償效果越好，觀測誤差越小。由圖8和圖9，κ值越大，閉環(huán)系統(tǒng)收斂越快。
圖8 ε=0.001不同κ值的軌跡跟蹤效果Fig.8 The tracking performance of the HOSMC with ε=0.001
圖9 ε=0.001時(shí)不同κ值的軌跡跟蹤誤差Fig.9 The tracking error of the HOSMC with ε=0.001
4 結(jié)論
1)通過建立挖掘機(jī)關(guān)節(jié)空間與驅(qū)動(dòng)空間關(guān)系，以液壓缸桿規(guī)劃曲線為跟蹤目標(biāo)，伺服閥輸入電壓為控制輸入，使控制方式更加直接，易于實(shí)踐。
2)以斗桿活塞桿軌跡控制為例，采用高增益觀測器減少了傳感器使用數(shù)量，降低了控制成本。觀測器只需設(shè)計(jì)增益帶寬ε，設(shè)計(jì)參數(shù)少，方法更為簡便。在滑?？刂浦?，通過對輸入切換項(xiàng)的符號(hào)函數(shù)采用滑模面函數(shù)代替，消除了抖振。閉環(huán)系統(tǒng)通過奇異攝動(dòng)理論驗(yàn)證了穩(wěn)定性，跟蹤誤差有限時(shí)間收斂。
3)對于式(12)型的一類系統(tǒng)，通過定義新的狀態(tài)變量，采用基于高增益觀測器的滑?？刂茣r(shí)，可選擇較小的帶寬參數(shù)ε與較大的κ值，滿足控制需要。對于挖掘機(jī)其他液壓缸的控制，在進(jìn)行流量分配后，可類似斗桿液壓缸系統(tǒng)進(jìn)行分析控制。
