黃 群

(溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，浙江溫州 325035)

旋轉(zhuǎn)的二分量的Camassa-Holm系統(tǒng)[1]如下所示：

若σ=1，該系統(tǒng)就是經(jīng)典的二分量Camassa-Holm系統(tǒng)[2-4]：

這個(gè)系統(tǒng)是完全可積的．

文獻(xiàn)[1]通過(guò)線性傳輸理論建立系統(tǒng)（1）柯西問題的局部適定性，基于特征方法和Riccati型微分不等式研究了系統(tǒng)（1）在情況下的爆破準(zhǔn)則．受文獻(xiàn)[1]啟發(fā)，本文考慮系統(tǒng)（1）在情況下的解爆破的條件．當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)（1）變成如下形式：

通過(guò)證明得到，初值在一定的空間條件中，系統(tǒng)（4）的解發(fā)生爆破當(dāng)且僅當(dāng)它的一階導(dǎo)數(shù)趨于無(wú)窮．此外，給出了系統(tǒng)（4）發(fā)生爆破的初始條件．

1 準(zhǔn)備知識(shí)

介紹一些符號(hào)和屬性．用?表示卷積，Lebesgue空間中的范數(shù)表示為其中1≤p＜∞．L∞(R)包含了所有的本性上確界函數(shù)，若f為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)函數(shù)，其范數(shù)為為了定理證明，引入特征方法．設(shè)q(t,x)是隨著解u(t,x)發(fā)展的粒子軌跡，并且滿足方程

通過(guò)計(jì)算可得以下與時(shí)間無(wú)關(guān)的守恒量，記為：

2 爆破準(zhǔn)則

考慮系統(tǒng)（4）的初值在一定條件下，系統(tǒng)的相應(yīng)解發(fā)生爆破的充要條件，即解發(fā)生爆破的準(zhǔn)則．利用反證法進(jìn)行證明，關(guān)鍵在于估計(jì)如果得到有界，則產(chǎn)生矛盾．

時(shí)，(u,)ρ在有限時(shí)間內(nèi)爆破．

證明：為了方便運(yùn)算，把系統(tǒng)（4）改寫為如下形式：

利用這些符號(hào)，相應(yīng)地可以把（6）式改寫為如下形式：

假設(shè)T＜∞，（6）式不成立，則存在一個(gè)正數(shù)A，使得

對(duì)任意x∈R，有以下式子成立：

接下來(lái)我們估計(jì)函數(shù)f的上確界．

另一方面，可以得到以下估計(jì)：

其中常數(shù)C和C1只依賴于

給定任意x∈R和引入一個(gè)新的一階微分函數(shù)

滿足

現(xiàn)說(shuō)明P(t)≤0，t∈ [ 0,T)．如果不成立，則存在一些t0∈[0,T)，使得P(t0)＞0．令t1=max{t＜t0;P(t)≤ 0}，則P(t1)=0，P′(t1) ≥ 0，或等價(jià)于

和

同時(shí)有：

這與（22）式矛盾．因此有P(t)≤0， ?t∈ [ 0,T)．所以任意選擇x∈R，t∈ [0,T)，有

接下來(lái)考慮系統(tǒng)（4）的解爆破的充分條件．先介紹一個(gè)對(duì)證明爆破準(zhǔn)則有重要作用的引理．

引理1[5]令那么對(duì) ?t∈ [0,T)，至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ(t)∈R，使得函數(shù)m(t)在(0,T)中絕對(duì)連續(xù)，且有在(0,T)上幾乎處處成立．

下面給出系統(tǒng)（4）的解發(fā)生爆破的初始條件．

證明：由稠密性知，只要證明定理對(duì)s≥3成立即可．注意到系統(tǒng)（4）的第二個(gè)方程對(duì)x求導(dǎo)得：

進(jìn)而可以得到以下估計(jì)：

從而有：

在[0,T)幾乎處處成立．