姚莉莎，李永宏，齊 凱，朱洪龍

(運(yùn)城學(xué)院 物理與電子工程系,山西 運(yùn)城 044000)

2019年IYPT(國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽)第4題，“通過(guò)向漏斗中吹氣，一個(gè)輕質(zhì)小球(如乒乓球)可以被拾起。解釋此現(xiàn)象并探究相關(guān)的參數(shù)”。本人作為參賽者有幸加了該競(jìng)賽的省賽，組織參與了該題目的整個(gè)過(guò)程，對(duì)該題目有了進(jìn)一步的認(rèn)知。該題目主要研究氣流作用下漏斗下方輕質(zhì)球的運(yùn)動(dòng)特性，關(guān)于漏斗中球狀物運(yùn)動(dòng)特性曾被中學(xué)物理的相關(guān)研究者的關(guān)注[1,2]，但相關(guān)參數(shù)影響的分析較少。通過(guò)COMSOL模擬確定漏斗的負(fù)壓區(qū)，并且分析得出影響輕質(zhì)球被抬起的影響因素。利用MATLAB繪制出臨界風(fēng)速與變量之間的關(guān)系。從理論和實(shí)驗(yàn)對(duì)漏斗下方輕質(zhì)球在氣流作用下的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析研究。

1 理論分析

1.1 基本理論分析

如圖1所示，箭頭方向即為氣流運(yùn)動(dòng)的方向,假設(shè)漏斗咀口處的橫截面積為s1，輕質(zhì)小球負(fù)壓區(qū)的橫截面積為s2，氣流通過(guò)漏斗咀口處時(shí)的流速為v1。在理想狀態(tài)下將氣流的運(yùn)動(dòng)近似看作為流體在不同橫截面的管道中的運(yùn)動(dòng)。因此根據(jù)連續(xù)性方程[3]

圖1 漏斗與球截面圖

s1v1=s2v2

(1)

得到橫截面與流速的關(guān)系并再通過(guò)幾何計(jì)算的方法可以得到氣流橫截面積為

(2)

根據(jù)流量與流速計(jì)算公式[3]

Q=sv

(3)

可得輕質(zhì)小球與漏斗壁間隙氣體流速[4]

(4)

將輕質(zhì)球下表面最低點(diǎn)所在水平面定義為h=0，以得到輕質(zhì)小球上下表面的氣體重力勢(shì)能差為[5]：

ΔE=ρ(sinα+1)Rg

(5)

根據(jù)伯努利方程(理想流體在重力場(chǎng)中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí))，能量守恒定律在流體中的表現(xiàn)形式：

(6)

得輕質(zhì)小球上下表面壓強(qiáng)差為

(7)

1.2 COMSOL模擬分析

負(fù)壓區(qū)的定義為輕質(zhì)球受到的壓強(qiáng)最大點(diǎn)到壓強(qiáng)最小點(diǎn)之間的區(qū)域即小球上表面區(qū)域的范圍稱(chēng)作為負(fù)壓區(qū)。如圖2所示，圖中顏色不同代表流經(jīng)漏斗咀口氣流流速不同，其中藍(lán)色代表流速最慢位置，按圖示顏色變化流速依次加快，紅色則表示為流速最快的區(qū)域位置。圖2為漏斗及漏斗下方輕質(zhì)小球的截面圖，半圓弧表示輕質(zhì)小球的截面其余位置為漏斗的截面圖。如圖3所示，圖中顏色不同代表輕質(zhì)小球所受壓力不同，其中藍(lán)色區(qū)域表示輕質(zhì)小球所受壓力最小區(qū)域，隨著顏色的變化輕質(zhì)小球所受壓力逐漸增大而紅色區(qū)域表示輕質(zhì)小球所受壓力最大區(qū)域。對(duì)比發(fā)現(xiàn)輕質(zhì)小球與漏斗咀口間距處流速最快，輕質(zhì)小球所受的壓強(qiáng)最小。

m

圖3 COMSOL模擬氣壓圖

根據(jù)COMSOL模擬發(fā)現(xiàn)壓強(qiáng)的豎直分量對(duì)輕質(zhì)小球整體的作用可以近似看作其對(duì)負(fù)壓區(qū)的作用。因此研究負(fù)壓區(qū)的作用效果即可以看作是研究壓強(qiáng)的豎直分量對(duì)輕質(zhì)小球整體的作用。在實(shí)驗(yàn)分析過(guò)程中采用研究負(fù)壓區(qū)的作用的方法研究整個(gè)輕質(zhì)小球的受力作用。

如圖4所示，球冠表面積S為

圖4 球冠面積示意圖

(8)

輕質(zhì)小球上方空氣流速為

(9)

則球負(fù)壓區(qū)上方球冠受到氣流向下的沖擊力可表示為：

(10)

1.3 主要影響因素

如圖5為輕質(zhì)球受力示意圖，根據(jù)COMSOL瞬態(tài)模擬確定輕質(zhì)球所受升力為

圖5 輕質(zhì)小球受力示意圖

F升=ΔP·S-F沖

(11)

輕質(zhì)球達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)受力分析結(jié)果為：

mg=F升

(12)

定義輕質(zhì)球恰好能被抬起時(shí)的最小風(fēng)速為臨界風(fēng)速。因此在其他變量保持一定時(shí)，臨界風(fēng)速與輕質(zhì)小球的質(zhì)量呈正相關(guān)關(guān)系。

對(duì)原輕質(zhì)小球(如圖6中的黑色圓形)輕質(zhì)小球球心到漏斗壁的垂直距離為：

圖6 輕質(zhì)球球心在不同情況下到漏斗壁垂直距離示意圖

L=(R+K)sinα-R

(15)

對(duì)半徑增大ΔR的輕質(zhì)小球，該輕質(zhì)小球的球心到漏斗壁的垂直距離為：

L′=(R+ΔR+K)sinα-(R+ΔR)=L+ΔR(sinα-1)

(16)

因?yàn)閟inα<1則ΔR(sinα-1)<0因此L′L(如圖6)，當(dāng)漏斗壁傾斜角α減小時(shí)，輕質(zhì)小球球心到漏斗壁的垂直距離L將減小。因此可以得到當(dāng)改變漏斗傾角與改變小球直徑時(shí)所產(chǎn)生的影響相同。

根據(jù)上述的理論分析以及理論公式得推導(dǎo)解讀可得到相應(yīng)的結(jié)論，第一：在其他變量一定時(shí)，臨界風(fēng)速與輕質(zhì)小球的質(zhì)量呈正相關(guān)關(guān)系。第二：在其他變量一定時(shí)，臨界風(fēng)速與輕質(zhì)小球頂端距漏斗咀口間距離呈正相關(guān)關(guān)系。第三：在其他變量一定時(shí)臨界風(fēng)速與輕質(zhì)小球的半徑呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)分析

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

如圖7所示，將漏斗固定在鐵架臺(tái)上，首先在漏斗的正下方放置一個(gè)盛放有輕質(zhì)小球的輕質(zhì)小球支架，以保證輕質(zhì)小球可以平穩(wěn)不自由滾動(dòng)。然后將風(fēng)槍放置于漏斗上口徑處，使得氣流可以均勻鼓入漏斗內(nèi)部，選取不同高度放置漏斗，在測(cè)量高度時(shí)使用激光器將激光投射于與鐵架臺(tái)一樣垂直放置的坐標(biāo)紙上來(lái)確定輕質(zhì)小球頂部與漏斗咀口間的間距，確保測(cè)量位置的準(zhǔn)確性，最后用硬度較大不易變形的橡膠管連接風(fēng)槍與800 W空氣壓縮機(jī)，打開(kāi)空氣壓縮機(jī)，由風(fēng)槍將空氣鼓入漏斗中，當(dāng)輕質(zhì)小球恰好被抬起時(shí)使用數(shù)字風(fēng)速儀測(cè)量此時(shí)的風(fēng)速大小并記錄數(shù)據(jù)，此時(shí)的風(fēng)速即為輕質(zhì)小球恰好被抬起的臨界風(fēng)速，在記錄數(shù)據(jù)時(shí)采用多次測(cè)量求平均值的方法進(jìn)行記錄，然后將記錄好的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)使用MATLAB繪制成圖線，如果遇到誤差較大的數(shù)據(jù)將反復(fù)多次進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，也進(jìn)一步排除外界環(huán)境對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。最后通過(guò)分析圖線得出相關(guān)臨界風(fēng)速與影響輕質(zhì)球被抬起的相關(guān)參數(shù)的線性關(guān)系。

圖7 器材搭建實(shí)物圖

2.2 數(shù)據(jù)分析

(1)臨界風(fēng)速與小球質(zhì)量的關(guān)系.

表1為不同質(zhì)量下，輕質(zhì)球的臨界風(fēng)速。圖8為輕質(zhì)球質(zhì)量與臨界風(fēng)速關(guān)系曲線圖。通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)擬合圖線分析可以得到小球質(zhì)量與臨界風(fēng)速的關(guān)系式為：y=-0.79x2-4.44x+17.77：從圖8可以看出，輕質(zhì)球恰好被抬起時(shí)的臨界風(fēng)速隨輕質(zhì)球質(zhì)量的增加而增大。

表1 輕質(zhì)球質(zhì)量對(duì)臨界風(fēng)速的影響

圖8 輕質(zhì)球質(zhì)量與臨界風(fēng)速關(guān)系曲線圖

(2)臨界風(fēng)速與小球頂端距漏斗咀口距離的關(guān)系

表2為不同輕質(zhì)球距漏斗咀口間距下，輕質(zhì)球的臨界風(fēng)速。圖9輕質(zhì)球到漏斗咀口間距與臨界風(fēng)速關(guān)系曲線圖。

圖9 輕質(zhì)球到漏斗咀口間距與臨界風(fēng)速關(guān)系曲線圖

表2 輕質(zhì)球距漏斗咀口間距對(duì)臨界風(fēng)速的影響

通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)擬合圖線分析可以得到輕質(zhì)球距漏斗咀口間距與臨界風(fēng)速的關(guān)系式為：y=-0.79x2-4.44x+17.77，可以看出，輕質(zhì)球恰好被抬起時(shí)的臨界風(fēng)速隨輕質(zhì)球到漏斗咀口間距的增加而增大。

(3)臨界風(fēng)速與小球直徑的關(guān)系

表3為不同輕質(zhì)球直徑下，輕質(zhì)球的臨界風(fēng)速。圖10輕質(zhì)球直徑與臨界風(fēng)速關(guān)系曲線圖。通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)擬合圖線分析可以得到輕質(zhì)球距漏斗咀口間距與臨界風(fēng)速的關(guān)系式為：y=-0.13x3+6.29x2-53.09x+140.78，可以看出，輕質(zhì)球恰好被抬起時(shí)的臨界風(fēng)速隨輕質(zhì)球直徑的增加而減小。

表3 輕質(zhì)球直徑對(duì)臨界風(fēng)速的影響

D/cm

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)2019年IYPT(國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽)第4題，通過(guò)理論分析、模擬仿真以及設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)對(duì)漏斗下方輕質(zhì)球在氣流作用下的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析研究。研究確定了壓力差的產(chǎn)生、負(fù)壓區(qū)的位置和輕質(zhì)球被抬起的影響因素。通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析擬合得出輕質(zhì)球被抬起的臨界風(fēng)速(y)與輕質(zhì)球直徑(x)的關(guān)系為：y=-0.13x3+6.29x2-53.09x+140.78，擬合曲線圖顯示輕質(zhì)球恰好被抬起的臨界風(fēng)速隨輕質(zhì)球直徑的增大而減??；臨界風(fēng)速(y)與輕質(zhì)球距漏斗咀口間距(x)呈指數(shù)關(guān)系：y=3.19e0.33x，曲線圖顯示輕質(zhì)球恰好被抬起時(shí)的臨界風(fēng)速隨輕質(zhì)球到漏斗咀口間距的增加而增大；臨界風(fēng)速(y)與輕質(zhì)球質(zhì)量(x)的關(guān)系為y=-0.79x2-4.44x+17.77，曲線圖顯示輕質(zhì)球恰好被抬起的臨界風(fēng)速隨輕質(zhì)球質(zhì)量的增加而增大。