何贏男，郝淑英，宋宇昊，張琪昌，劉 君

（天津理工大學(xué) 機械工程學(xué)院 天津市先進機電系統(tǒng)設(shè)計與控制重點實驗室 機電工程國家級實驗教學(xué)示范中心，天津 300384；2.天津大學(xué) 天津市非線性動力學(xué)與控制重點實驗室，天津 300072；3.鄭州宇通重工有限公司，鄭州 450000）

吸合效應(yīng)是靜電驅(qū)動MEMS器件一種典型的不穩(wěn)定行為[1].當(dāng)MEMS器件的驅(qū)動電壓超過所能承受的極限值的時候，會導(dǎo)致微梁與極板迅速吸合到一起，甚至還會損壞器件.因此靜態(tài)吸合不穩(wěn)定行為成為MEMS設(shè)計中最為關(guān)鍵的問題之一[2-3].Abdel-Rahman等[4]通過分析微梁的中性面彎曲的變化情況來推導(dǎo)出微梁的靜態(tài)吸合位置.Ghayesh M等[5]用改進的耦合應(yīng)力理論算出了MEMS諧振器的吸合電壓，發(fā)現(xiàn)結(jié)果偏大.Mobki H等[6]研究了單極板驅(qū)動和雙極板驅(qū)動兩種模型，發(fā)現(xiàn)吸合的位置與極板間的距離以及驅(qū)動電壓有關(guān).Feng J等[7]在考慮微梁刻蝕誤差的情況下研究了微諧振器的微梁形狀和間隙變化對靜態(tài)吸和的影響規(guī)律.上述研究主要集中在微梁結(jié)構(gòu)的微諧振器，多自由度微陀螺也是一種靜電驅(qū)動類MEMS器件，振動幅值過大時會出現(xiàn)微驅(qū)動梳齒與定梳齒迅速吸合的現(xiàn)象，此時MEMS器件的驅(qū)動電壓被稱為吸合電壓.吸合可能會損壞器件，因此對MEMS也應(yīng)該避免這種行為發(fā)生[8].

本文以一類雙驅(qū)動雙檢測四自由度微陀螺為研究對象，在考慮靜電力非線性的情況下建立了微陀螺的動力學(xué)微分方程，利用Hamilton原理分析了微陀螺復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)的靜態(tài)特性，通過勢能曲線圖以及相空間流形分布圖的變化研究了靜電力非線性及剛度非線性綜合作用下對微陀螺靜態(tài)特性的影響.

1 雙驅(qū)動雙檢測微陀螺儀的動力學(xué)方程

圖1為四自由度微陀螺動力學(xué)模型，由兩個驅(qū)動模塊和兩個檢測模塊組成[9].其中驅(qū)動模塊1由驅(qū)動質(zhì)量塊m1組成、驅(qū)動模塊2由轉(zhuǎn)換質(zhì)量塊m2和解耦質(zhì)量塊mf組成；檢測模塊1由轉(zhuǎn)換質(zhì)量塊m2組成、檢測模塊2由檢測質(zhì)量塊m3組成.因為這類陀螺儀是在真空封裝條件下使用的，空氣阻力對它產(chǎn)生的影響很小，因此本文只考慮線性阻尼的影響，忽略系統(tǒng)的阻尼非線性.

圖1 四自由度微陀螺動力學(xué)模型Fig.1 Lumped parameter model of the four-degree-of-freedom（4-DOF）micro gyroscope

建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，驅(qū)動方向：

其中，m1為驅(qū)動質(zhì)量塊的質(zhì)量、m2為轉(zhuǎn)換質(zhì)量塊的質(zhì)量、m3為檢測質(zhì)量塊的質(zhì)量、mf為解耦質(zhì)量塊的質(zhì)量，x1和x2分別為驅(qū)動方向第1個和第2個自由度的位移，y1和y2分別為檢測方向第1和第2個自由度的位移，ci（i=1，2，3，4，5，6）代表各阻尼系數(shù)，ki（i=1，2，3，4，5，6）代表各彈性微梁的剛度系數(shù)，F(xiàn)d和Fc分別為靜電驅(qū)動力和科氏力，檢測模塊通過科氏力與驅(qū)動模塊耦合為四個自由度系統(tǒng)，F(xiàn)c=-2m2Ωzx˙2，Ωz為微陀螺輸入角速度.

2 靜電力非線性分析

圖2為梳齒結(jié)構(gòu)示意圖，該結(jié)構(gòu)由固定梳齒和可動梳齒組成.圖中w為可動梳齒的寬度，l0為可動梳齒與固定梳齒的初始重疊長度，g0為可動梳齒端面與固定梳齒底面間距（后文統(tǒng)稱梳齒間距），d為固定梳齒與可動梳齒間的間隙，L為可動梳齒的長度，h為固定梳齒的厚度，x表示驅(qū)動方向.

圖2 梳齒結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of comb teeth

考慮邊緣效應(yīng)時變面積式電容的總靜電力[10]：

為分析此類驅(qū)動梁存在剛度非線性的情況，在式（4）要把立方剛度項考慮進去[11]，則系統(tǒng)驅(qū)動方向的動力學(xué)方程：

根據(jù)上述公式可以分別研究隨著直流偏置電壓的變化，不同非線性剛度參數(shù)下靜態(tài)平衡點的變化情況.圖3為當(dāng)g0=5μm時靜態(tài)平衡位置與直流偏置電壓的關(guān)系，圖中的實線為穩(wěn)定解，虛線為不穩(wěn)定解，點劃線為沒有物理意義的解.由圖3可知當(dāng)g0的值固定時系統(tǒng)發(fā)生吸合的電壓值均相同，與剛度非線性的強弱無關(guān)，即所需的能量是相同的.但不同的是當(dāng)K=1013.5時系統(tǒng)中又增加了一個新的平衡點，導(dǎo)致系統(tǒng)中又出現(xiàn)了一個新的穩(wěn)定區(qū)域，這種變化代表著系統(tǒng)會發(fā)生二次吸合[12].

圖4為當(dāng)g0=5μm、K=1013.5時，不同直流偏置電壓Vd下的勢能曲線圖.隨著直流偏置電壓的增大，系統(tǒng)的外部勢壘能量大幅降低，非零非穩(wěn)定平衡點逐漸向零穩(wěn)定平衡點靠近.這表明系統(tǒng)中可能會存在兩個非零穩(wěn)定平衡點.當(dāng)系統(tǒng)中的穩(wěn)定零平衡點逐漸變得不穩(wěn)定時，系統(tǒng)不會立刻出現(xiàn)吸合現(xiàn)象，而是可能在任意一個非零穩(wěn)定點達到穩(wěn)定.

圖3 靜態(tài)平衡位置與直流偏置電壓的關(guān)系Fig.3 Relationship between statically balanced position and DC biasvoltage

圖4 電壓對勢能曲線影響Fig.4 the effect of Vdon Potential energy

圖5 為當(dāng)g0=5μm、K=1013.5時，不同直流偏置電壓Vd下的空間流形圖.通過分析相空間流形圖可知，當(dāng)Vd=104 V時兩個對稱的同宿軌道出現(xiàn)在系統(tǒng)中，如圖5（a）所示.當(dāng)Vd=106 V時，兩個同宿軌道消失，兩個異宿軌道轉(zhuǎn)化為同宿軌道，而且出現(xiàn)在同宿軌道以外的流形均不穩(wěn)定.如果再繼續(xù)增大系統(tǒng)的直流偏置電壓，當(dāng)電壓超過某一臨界值時，整個相空間中的流形均為不穩(wěn)定的，這時候會導(dǎo)致出現(xiàn)吸合現(xiàn)象，如圖5（c）所示.

圖5 不同直流偏置電壓V d下微陀螺系統(tǒng)的相空間圖Fig.5 phasespacediagram of themicro gyro system under different DC biasvoltages V d

3 結(jié)論

本文在考慮靜電力非線性的情況下利用Hamilton原理分析了微陀螺復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)的靜態(tài)特性，得到了四自由度微陀螺在非線性影響下的靜態(tài)動力學(xué)行為，結(jié)論如下：系統(tǒng)靜態(tài)特性對偏置電壓的敏感性隨著剛度非線性的加強而增加，且在梳齒g0=5μm時，剛度非線性系數(shù)達到K=1013.5，直流偏置電壓增大到一定程度時，微陀螺系統(tǒng)會出現(xiàn)二次吸合現(xiàn)象.