文 董榮玉

四邊形既可以以平行四邊形、矩形、菱形、正方形出現，也可以用普通身份出現；試題中，既可以考查四邊形的知識點，也可以包羅三角形等其他知識點，而這其中少不了與圓的結合。下面，老師就結合一些中考題與同學們共同感受一下四邊形與圓的完美呈現。

一、開門見山，直截了當

例1（2020·浙江湖州）如圖1，已知四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數是（ ）。

圖1

A.70° B.110° C.130° D.140°

【解析】直接運用四邊形內接于圓的性質：圓內接四邊形的對角互補。所以∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°。故選B。

【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵。

例2（2020·山東濱州）如圖2，⊙O是正方形ABCD的內切圓，切點分別為E、F、G、H，ED與⊙O相交于點M，則sin∠MFG的值為_____。

圖2

【解析】連接EG，如圖3。因為⊙O是正方形ABCD的內切圓，所以，EG=BC。根據圓周角的性質可得∠MFG=∠MEG，所以。故答案為。

圖3

【點評】本題是以正方形內切圓為背景，通過利用切線性質和切線長定理得到角和線段的關系。求三角函數值需將此角放置于直角三角形中，而直角也是由切線得到的。

二、半遮半掩，引人入勝

例3（2019·江蘇鹽城）如圖4，點A、B、C、D、E在⊙O上，且為50°，則∠E+∠C=______°。

圖4

【解析】連接EA，如圖5，構造四邊形DCAE為⊙O的內接四邊形。根據圓的內接四邊形對角互補得到∠DEA+∠C=180°，結合為50°，得到∠BEA=25°，所以∠DEB+∠C=180°-25°=155°。故答案為155。

圖5

【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理。作輔助線構造出圓內接四邊形，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵。

三、深藏不露，魅力無窮

例4（2019·山東德州）如圖6，點O為線段BC的中點，點A、C、D到點O的距離相等，若∠ABC=40°，則∠ADC的度數是（ ）。

圖6

A.130° B.140° C.150° D.160°

【解析】由點O為線段BC的中點，點A、C、D到點O的距離相等可得到OA=OB=OC=OD。根據圓的定義（到定點的距離等于定長的點的集合），可知點A、B、C、D在以點O為圓心的同一個圓上，所以作出圓O，如圖7。因此，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠ABC+∠ADC=180°，所以∠ADC=180°-∠ABC=140°。故選B。

圖7

【點評】本題表面上是四邊形的圖形，如果直接求解會比較麻煩。當題目中出現到同一點的距離相等時，我們可以巧妙借助隱藏的輔助圓，再根據圓內接四邊形的性質就可以輕松解決。

四、拓展外延，精彩提升

例5（2019·江蘇南京）如圖8，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，點C、D在⊙O上。若∠P=102°，則∠A+∠C=________。

圖8

【解析】本題是五邊形和圓的結合，沒有直接聯系的知識點，所以要構造有關聯的圖形。連接AB，如圖9，因為PA、PB是⊙O的切線，根據切線長定理（過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等），得PA=PB；再根據等腰三角形性質，由∠P=102°，得（180°-102°）=39°；根據圓的內接四邊形對角互補，得∠DAB+∠C=180°，所以∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°。故答案為219°。

圖9

【點評】本題將五邊形分割成四邊形和三角形，從而可以利用切線長定理、圓內接四邊形的性質、等腰三角形的性質來解決問題。正確作出輔助線，把多邊形轉化為圓內接四邊形，掌握切線長定理是解題的關鍵。