文 董榮燕

在四邊形的學習中，關注圖形的性質與判定是重點；靈活運用相關定理，借助基本圖形的重組與分解，解決類似翻折等問題是難點。下面結合例題做簡要剖析。

一、基于條件開放探特殊

例1如圖1，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H。

（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形。

（2）?ABCD滿足什么條件時，四邊形EHFG是矩形？（說明理由。）

（3）?ABCD滿足什么條件時，四邊形EHFG是正方形？（不用說明理由。）

【解析】（1）由題意易得AE∥＝CF，BE∥＝DF，所以四邊形AECF、四邊形BEDF是平行四邊形，所以AF∥CE，DE∥BF，即四邊形EHFG是平行四邊形。

（2）滿足條件AB=2AD。理由：連接EF，由條件知四邊形AEFD是平行四邊形，?EHFG邊EG、FG在?AEFD對角線AF、ED上。若四邊形EHFG是矩形，則∠EGF=90°，即?AEFD是菱形，所以AE=AD，即AB=2AD。

（3）滿足條件AB=2AD且∠BAD=90°。

【點評】本題的易錯點在于混淆了特殊四邊形的判定條件。因此，我們可以利用類比思想理解記憶易混的證明方式。

二、基于翻折變化用定理

例2將平行四邊形紙片ABCD按圖2的方式折疊，使點C與A重合，點D落到D′處，折痕為EF。（1）求證：△ABE≌△AD′F；（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，并證明你的結論。

圖2

【解析】（1）由題意易得AB=CD=AD′，∠B=∠D=∠D′，∠BAD=∠BCD=∠EAD′，即∠BAE=∠D′AF，由ASA證得△ABE≌△AD′F。

（2）因為△ABE≌△AD′F，所以AF=AE=CE。因為AF∥CE，所以四邊形AECF是平行四邊形。再由AE=CE，得四邊形AECF是菱形。

【點評】本題的易錯點在第（2）問。有的同學會這么做：因為AF∥CE，AE∥D′C，所以四邊形AECF是平行四邊形；又因為AE=CE，所以四邊形AECF是菱形。由于未證明點D′、F、C共線，故錯誤。