張淑杰，李國(guó)澤，周 陽，沈海軍

(1. 同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院， 上海 200092； 2. 上海躍盛信息技術(shù)有限公司， 上海 200240)

雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)是指該結(jié)構(gòu)能在無外力作用的情況下，存在兩個(gè)不同的穩(wěn)定形態(tài)。并且這兩種形態(tài)均可在沒有外部載荷加載的情況下保持自身穩(wěn)定，并能在很小的外界能量作用下，實(shí)現(xiàn)兩種穩(wěn)態(tài)之間的變換。雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)因?yàn)檫@一特性，廣泛應(yīng)用于可變機(jī)翼飛機(jī)[1]、多形態(tài)薄膜天線[2]、可變形鉸鏈與彈簧[3]等領(lǐng)域。

一般來說，各向同性材料不存在雙穩(wěn)態(tài)特性，但在引入某些預(yù)應(yīng)力的情況下也會(huì)表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)特性[4]。對(duì)雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的現(xiàn)有研究集中于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)，采用反對(duì)稱鋪層時(shí)，可以避免層合板受到彎曲和扭轉(zhuǎn)的耦合作用，得到標(biāo)準(zhǔn)的圓柱面殼，且兩個(gè)穩(wěn)態(tài)下圓柱殼的曲率方向相同。Sousa等[5]利用特殊的鋪層角和彎曲的碳纖維，設(shè)計(jì)非傳統(tǒng)穩(wěn)態(tài)形狀的雙穩(wěn)態(tài)殼，并對(duì)其形態(tài)與應(yīng)力分布進(jìn)行模擬。Zhang等[6]模擬不同鋪層角度、鋪層層數(shù)和幾何形狀對(duì)圓柱殼穩(wěn)態(tài)跳變的驅(qū)動(dòng)力的影響。Mattioni等[7]同樣利用特殊的鋪層結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一種連續(xù)變化的多穩(wěn)態(tài)翼型。上述研究主要集中在跳變(snap-through)過程中不同鋪層設(shè)計(jì)對(duì)驅(qū)動(dòng)載荷以及第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑等宏觀參數(shù)的影響，但并未研究包括跳回過程的整個(gè)變形過程中應(yīng)力分布情況等可能造成材料被損傷破壞的因素。

本文在模擬反對(duì)稱鋪層設(shè)計(jì)的圓柱殼從第一穩(wěn)態(tài)到第二穩(wěn)態(tài)跳變(snap-through)過程的基礎(chǔ)上，模擬其從第二穩(wěn)態(tài)到第一穩(wěn)態(tài)的跳回(snap-back)過程，得到了圓柱殼在整個(gè)過程中應(yīng)力分布及變化的情況，以及整個(gè)結(jié)構(gòu)中應(yīng)力較大的危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線。對(duì)圓柱殼上不同特征點(diǎn)的應(yīng)力變化情況以及整個(gè)圓柱殼最大應(yīng)力變化情況進(jìn)行分析，得到圓柱殼應(yīng)力變化的特性。同時(shí)，獲得跳變、跳回過程以及第二穩(wěn)態(tài)下應(yīng)力較大的區(qū)域，以便于對(duì)其進(jìn)行特殊設(shè)計(jì)，防止材料被損傷破壞，進(jìn)而指導(dǎo)相關(guān)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)以及應(yīng)用。

1 反對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

將復(fù)合材料層合板橫截面上的內(nèi)力定義為：

(1)

(2)

其中，t為板厚。

對(duì)于由n層復(fù)合材料單層板構(gòu)成的復(fù)合材料層合板，其應(yīng)力沿層合板厚度方向在各層之間間斷，故應(yīng)將式(1)、式(2)改寫為：

(3)

(4)

其中，zi為第i層至層合板中面的z坐標(biāo)。

層合板的幾何方程為：

(5)

將式(5)與單層板應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入式(2)，得：

(6)

同理，有：

(7)

將式(6)、式(7)合并，可以得到復(fù)合材料層合板的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，即

(8)

式中：

(9)

(10)

(11)

其中，A、B、D分別是復(fù)合材料板的剛度矩陣、耦合矩陣和彎曲矩陣。

對(duì)反對(duì)稱鋪層層合板(如[α/-α]n)，由式(9)～(11)知：A16=A26=0，B11=B12=B22=0，D16=D26=0。

故其廣義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(12)

由式(12)可知，反對(duì)稱層合板不存在彎扭耦合效應(yīng)。雖然B≠0，但是其導(dǎo)致的拉彎耦合效應(yīng)較弱，對(duì)圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)的性能影響很小，一般不考慮其對(duì)雙穩(wěn)態(tài)特性的影響[8-9]。

2 跳變與跳回過程的有限元模擬

為了研究圓柱殼整個(gè)變形過程中應(yīng)力分布及變化情況，采用ABAQUS有限元軟件來模擬雙穩(wěn)態(tài)層合圓柱殼的穩(wěn)態(tài)跳變過程。考慮到反對(duì)稱鋪層的圓柱殼在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)跳變的過程中發(fā)生了非線性變形的特點(diǎn)，模擬過程中打開幾何非線性選項(xiàng)，并取衰減因子為0.000 2，從而使計(jì)算結(jié)果更容易收斂。材料選用T700-3234碳纖維環(huán)氧樹脂復(fù)合材料，[45°/-45°/45°/-45°]反對(duì)稱鋪層。單元類型采用S4R減縮積分殼單元，可在保證結(jié)果精度的條件下降低計(jì)算成本。材料參數(shù)如表1所示，n為鋪層層數(shù)，t為單層板厚度。

表1 T700-3234復(fù)合材料單層板材料參數(shù)

借鑒現(xiàn)有的雙穩(wěn)態(tài)層合板實(shí)驗(yàn)加載方法[10]，在ABAQUS軟件中建立簡(jiǎn)化模型，如圖1所示。取半圓柱殼為研究對(duì)象，如圖2所示，曲邊半徑R=25 mm，直邊長(zhǎng)L=100 mm。在圓柱殼的兩條圓弧殼邊使用光滑支撐，并在兩條直線殼邊上利用剛性壓頭施加向下的位移載荷，實(shí)現(xiàn)圓柱殼從第一穩(wěn)態(tài)到第二穩(wěn)態(tài)的跳變(snap-through)過程。在圓柱殼到達(dá)第二個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)后，抬起剛性壓頭，將試樣順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。之后再利用壓頭施加向下的位移載荷，直至圓柱殼完成從第二穩(wěn)態(tài)變回第一穩(wěn)態(tài)的跳回(snap-back)過程。整個(gè)加載和跳變過程如圖3所示。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼有限元分析模型Fig.1 Finite element analysis model of bistable cylindrical shell

(a) 幾何參數(shù)(a) Geometric sizes

(b) 鋪層(b) Lay-up圖2 圓柱殼幾何參數(shù)與鋪層Fig.2 Geometric sizes and lay-up of the cylindrical shells

圖3 雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼變形過程示意圖Fig.3 Snap-through and snap-back process of the shell

3 結(jié)果與分析

3.1 不同結(jié)構(gòu)特征點(diǎn)應(yīng)力變化情況分析

對(duì)于幾何與材料參數(shù)已確定的雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼，穩(wěn)態(tài)跳變過程中對(duì)應(yīng)力情況有影響的主要因素是變形載荷的加載方式與位置。由于使用壓桿施加位移載荷，故取壓桿加載位置，即第一穩(wěn)態(tài)的直邊中點(diǎn)a、第一穩(wěn)態(tài)的圓弧邊中點(diǎn)b和圓柱殼中心點(diǎn)c為特征點(diǎn)，如圖2所示。

這些點(diǎn)在跳變過程中，von Mises應(yīng)力情況隨壓桿加載位移變化的曲線如圖4所示?？梢钥吹?，在跳變過程中，a點(diǎn)的von Mises等效應(yīng)力整體上大于c點(diǎn)，而b點(diǎn)的最小。a、c兩點(diǎn)應(yīng)力在整個(gè)跳變過程中隨著壓桿下壓而增大，而在形態(tài)變換的變形之后有一定減小，到達(dá)穩(wěn)定值。而b點(diǎn)則是首先在變形時(shí)到達(dá)應(yīng)力極小值，接近于零，在跳變變形之后增大至穩(wěn)定值。

圖4 跳變過程中a、b、c點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線Fig.4 Stress curve at points a, b and c during snap-through process

在跳回過程中a、b、c點(diǎn)的應(yīng)力變化情況如圖5所示，載荷加載點(diǎn)b的Mises等效應(yīng)力在變形之前略小于a點(diǎn)，兩者除了在形態(tài)變換瞬間的屈曲狀態(tài)下有應(yīng)力突然變大的情況，其余均呈下降趨勢(shì)。但是在跳回變形過程中c點(diǎn)的應(yīng)力先增大，在發(fā)生跳回變形的形態(tài)變換之后迅速減小。

圖5 跳回過程中a、b、c點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線Fig.5 Stress curve at points a, b and c during snap-back process

3.2 圓柱殼上最大應(yīng)力與載荷間的關(guān)系分析

圓柱殼跳變與跳回變形均依靠壓桿施加的壓力載荷，通過讀取壓桿受到的支撐反力就可以獲得每個(gè)時(shí)刻下圓柱殼受到的驅(qū)動(dòng)力載荷大小。以壓桿位移為橫坐標(biāo)，將對(duì)應(yīng)時(shí)刻下驅(qū)動(dòng)力與圓柱殼上最大von Mises應(yīng)力進(jìn)行繪制，可得到跳變過程與跳回過程中驅(qū)動(dòng)力與最大von Mises應(yīng)力的變化趨勢(shì)。

在跳變過程中，開始時(shí)驅(qū)動(dòng)力與圓柱殼上的最大von Mises應(yīng)力均隨著壓桿位移的增大而增大。在跳變過程中形態(tài)切換開始前的瞬間，驅(qū)動(dòng)力到達(dá)最大點(diǎn)，之后開始下降，直至減小到零。而整個(gè)圓柱殼上的最大von Mises應(yīng)力，則在驅(qū)動(dòng)力到達(dá)最大點(diǎn)之后，即在形態(tài)切換的過程中產(chǎn)生，在形態(tài)切換的變形過程結(jié)束后下降至穩(wěn)定點(diǎn)，如圖6所示。

圖6 跳變過程中驅(qū)動(dòng)力與最大von Mises應(yīng)力的變化情況對(duì)比Fig.6 Change comparison between driving force and maximum von Mises stress during snap-through process

同理，在跳回過程中，開始時(shí)驅(qū)動(dòng)力與圓柱殼上的最大von Mises應(yīng)力也隨著壓桿位移的增大而增大，但最大von Mises應(yīng)力變化的幅度相對(duì)較小。且驅(qū)動(dòng)力也先于最大von Mises應(yīng)力到達(dá)最大點(diǎn)。和跳變過程一樣，驅(qū)動(dòng)力與最大von Mises應(yīng)力的變化趨勢(shì)并不同步，如圖7所示。

圖7 跳回過程中驅(qū)動(dòng)力與最大von Mises應(yīng)力的變化情況對(duì)比Fig.7 Change comparison between driving force and maximum von Mises stress during snap-through process

這是因?yàn)閴簵U下壓至該穩(wěn)態(tài)與另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的臨界狀態(tài)時(shí)，驅(qū)動(dòng)力先到達(dá)最大值，此時(shí)結(jié)構(gòu)自動(dòng)開始兩種穩(wěn)態(tài)間的切換過程，即跳變或跳回過程開始，驅(qū)動(dòng)力減小。而在跳變或者跳回的過程中，圓柱殼慢慢到達(dá)最嚴(yán)重的非線性屈曲狀態(tài)，此時(shí)應(yīng)力到達(dá)最大值，故應(yīng)力晚于驅(qū)動(dòng)力到達(dá)最大值。

3.3 整個(gè)跳變與跳回過程中圓柱殼上最大應(yīng)力的變化情況分析

圓柱殼在整個(gè)跳變跳回過程中，即從第一穩(wěn)態(tài)跳變到第二穩(wěn)態(tài)，再?gòu)牡诙€(wěn)態(tài)跳回到第一穩(wěn)態(tài)的兩個(gè)過程中，應(yīng)力分布情況有明顯的不同。

在跳變過程中，最大應(yīng)力發(fā)生在載荷施加點(diǎn)與約束點(diǎn)附近。即壓桿與圓柱殼接觸位置以及圓柱殼支撐點(diǎn)位置附近處的應(yīng)力最大。這些位置受到外界施加的載荷，是整個(gè)結(jié)構(gòu)在跳變過程中應(yīng)力分布最集中的區(qū)域，如圖8所示。

圖8 跳變過程中應(yīng)力較大區(qū)域分布情況Fig.8 Distribution of larger stress areas during snap-through process

圓柱殼經(jīng)過跳變過程，從第一穩(wěn)態(tài)變換到第二穩(wěn)態(tài)之后，應(yīng)力分布情況如圖9所示?？梢钥吹?，由于圓柱殼采用反對(duì)稱鋪層設(shè)計(jì)，應(yīng)力關(guān)于雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料殼的中心對(duì)稱。并且應(yīng)力較大的區(qū)域主要集中在沿對(duì)角線方向的4個(gè)角內(nèi)側(cè)附近，即沿碳纖維方向的纖維末端附近，von Mises應(yīng)力最大達(dá)217.4 MPa。

圖9 第二穩(wěn)態(tài)下圓柱殼應(yīng)力分布情況Fig.9 Stress distribution of cylindrical shell at the second stable state

圓柱殼在跳回變形過程開始時(shí)處于第二穩(wěn)態(tài)，而第二穩(wěn)態(tài)下圓柱殼上本來就已經(jīng)有應(yīng)力分布，故而在跳回過程中，圓柱殼上的應(yīng)力分布情況又與跳變過程不同，如圖10、圖11所示。在跳回過程中，應(yīng)力最大的區(qū)域有所變化。首先是圓柱殼與支撐面的接觸點(diǎn)附近區(qū)域和第二穩(wěn)態(tài)下圓柱殼的應(yīng)力最大點(diǎn)區(qū)域，如圖10所示。隨著壓桿繼續(xù)下壓，應(yīng)力最大的區(qū)域集中到了圓柱殼和支撐面的接觸面區(qū)域，如圖11所示。而圓柱殼與壓桿接觸點(diǎn)附近的應(yīng)力，在整個(gè)跳回過程中均較小，低于圓柱殼上應(yīng)力的平均值。

圖10 跳回過程初期應(yīng)力較大區(qū)域的分布情況Fig.10 Distribution of larger stress areas at initial stage during snap-back process

圖11 跳回過程后期應(yīng)力較大區(qū)域的分布情況Fig.11 Distribution of stress areas at late stage during snap-back process

取有限元分析過程的分析步時(shí)間為橫坐標(biāo)，繪制整個(gè)圓柱殼上對(duì)應(yīng)時(shí)刻的最大應(yīng)力，如圖12所示。由圖12可見，在整個(gè)變形過程中，跳變過程中圓柱殼上的最大應(yīng)力大于跳回過程，而跳回過程中圓柱殼上的最大應(yīng)力變化更快，而且應(yīng)力分布情況更復(fù)雜。

圖12 整個(gè)跳變跳回過程中圓柱殼模型積分點(diǎn)上最大Mises應(yīng)力的變化情況Fig.12 The variation of the maximum Mises stress on the cylindrical shell during the entire process

4 結(jié)論

依據(jù)復(fù)合材料單層板應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與經(jīng)典層合板理論，建立了反對(duì)稱鋪層碳纖維復(fù)合材料圓柱殼有限元分析模型，并分析了跳變與跳回全過程。

1)在跳變過程中，應(yīng)力主要集中在載荷施加位置以及約束施加的位置，即壓桿和支撐面分別與圓柱殼的接觸位置。因?yàn)檫@兩個(gè)位置是外部載荷的施加位置，受到外部載荷作用。尤其是壓桿與圓柱殼接觸位置，在跳變過程形態(tài)切換瞬間的應(yīng)力達(dá)到整個(gè)變形過程中的應(yīng)力最大值。相比于支撐面與圓柱殼的接觸位置，壓桿與圓柱殼的接觸面更小，故而應(yīng)力集中現(xiàn)象更明顯。

2)在第二穩(wěn)態(tài)下，由于圓柱殼采用反對(duì)稱鋪層，材料鋪層設(shè)計(jì)本身關(guān)于圓柱殼的中心呈中心對(duì)稱分布，所以應(yīng)力關(guān)于圓柱殼的中心對(duì)稱分布。鋪設(shè)角為±45°，即碳纖維方向?yàn)閳A柱殼的對(duì)角線方向，故沿對(duì)角線處的應(yīng)力較大，最大應(yīng)力位于圓柱殼的四角內(nèi)側(cè)附近。

3)在跳回過程中，圓柱殼上應(yīng)力較大的區(qū)域主要是第二穩(wěn)態(tài)下的應(yīng)力較大的區(qū)域以及圓柱殼與支撐面的接觸位置，同樣是因?yàn)樵撐恢檬峭獠枯d荷的施加位置。而圓柱殼與壓桿的接觸位置受到外部載荷的作用，產(chǎn)生的應(yīng)力恰好抵消了材料因變形而產(chǎn)生的應(yīng)力，總的應(yīng)力較小，低于整個(gè)結(jié)構(gòu)的平均值。

4)載荷即壓桿驅(qū)動(dòng)力和圓柱殼上最大應(yīng)力的變化趨勢(shì)相同，但是并不同步。驅(qū)動(dòng)力先于應(yīng)力到達(dá)最大值，之后結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)開始自動(dòng)切換，驅(qū)動(dòng)力減小。而在穩(wěn)態(tài)切換的過程中，圓柱殼在非線性屈曲最嚴(yán)重的狀態(tài)下應(yīng)力到達(dá)最大值。

通過分析圓柱殼上應(yīng)力的變化情況，可以對(duì)雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)、變形驅(qū)動(dòng)裝置以及約束裝置等進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，如增大外載荷與圓柱殼的接觸面積，減小變形過程中雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力，減小結(jié)構(gòu)和材料的損傷，降低破壞風(fēng)險(xiǎn)。