文 沈 莉

每年的中考題花樣繁多，抽絲剝繭、仔細(xì)研究后，我們可以發(fā)現(xiàn)，有一些問題不過是“最熟悉的陌生人”，它們的基本模型是一樣的，解決方式也是一樣的。下面以2019年的一道中考題為例，一起來揭開這層面紗。

例1（2019·山東棗莊）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D。如圖1，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且∠EDF=90°，求證：BE=AF。

圖1

【分析】本題當(dāng)然可以利用等腰直角三角形的圖形特點(diǎn)，通過AD=BD，∠B=∠DAC，∠BDE=∠ADF，證 出△BDE≌△ADF，最終得到BE=AF。

如果對(duì)教材比較熟悉的話，我們就會(huì)想起另一種證法。蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第59頁第11題，是一個(gè)實(shí)驗(yàn)操作題：畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC。

（1）將三角尺的直角頂點(diǎn)落在射線OC的任意一點(diǎn)P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊OA、OB分別交于點(diǎn)E、F（如圖2）。度量PE、PF的長度，那么這兩條線段相等嗎？

（2）將三角尺繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)（如圖3），PE與PF相等嗎？

圖2

圖3

圖4

圖5

【分析】通過第一問的鋪墊和角平分線的引導(dǎo)，很自然地想到過點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足為M、N（如圖4），所以∠PME=∠PNF=90°，∠MPE=∠FPN，再利用角平分線定理可得PM=PN，證得△PEM≌△PFN，即可得出結(jié)論P(yáng)E=PF。

【方法歸納】在整個(gè)三角尺的旋轉(zhuǎn)變化過程中，積極尋找其中的不變量：正方形PMON。利用其邊PM始終與PN相等，構(gòu)造出Rt△PEM和Rt△PFN，利用全等解決問題。

因此，回到2019年山東省棗莊市的中考題，我們便可以利用教材上的方法：如圖5，過點(diǎn)D作DG⊥AB，DH⊥AC，通過證明△DGE≌△DHF，即可得出結(jié)論DE=DF，BE=AF。

此類問題都是利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，因此，我們可以將背景進(jìn)行變化。

【變式1】如圖6，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，正方形A′B′C′D′的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)O重合，將正方形A′B′C′D′繞點(diǎn)A′旋轉(zhuǎn)，在這個(gè)過程中，OE等于OF嗎？

圖6

圖7

【分析】我們同樣只要過點(diǎn)O作OG⊥BC，OH⊥DC，如圖7。通過證明△OGE≌△OHF，就能得到OE=OF。

【變式2】如圖8，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，將三角尺的直角頂點(diǎn)落在O點(diǎn)，使三角尺的兩條直角邊與BC交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，求OE與OF的比值。

圖8

圖9

【變式3】如圖10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，將三角尺的直角頂點(diǎn)落在P點(diǎn)，使三角尺的兩條直角邊與AB交于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)F，當(dāng)AP=2PC時(shí)，求PE與PF的比值。

圖10

【分析】可以通過一樣的處理方式去添加輔助線，得到比值為