劉士明，劉俊汝，孟麗霞

（沈陽建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168）

1 引言

全地面起重機(jī)作為現(xiàn)代建筑施工中典型的起重設(shè)備，其起升高度和工作幅度隨著建筑向高聳化發(fā)展而不斷增加，導(dǎo)致伸縮臂結(jié)構(gòu)的長細(xì)比逐漸增大。經(jīng)典力學(xué)中的線性理論分析，在很多種情況下并不適用，因此，在起重臂結(jié)構(gòu)分析時需要考慮幾何非線性效應(yīng)[1]。隨著伸縮臂節(jié)數(shù)的增多其承載能力逐漸變?nèi)?，為提高伸縮臂的承載能力使其受力更加合理，引入了附加支撐裝置即超起裝置[2]。超起裝置中由于超起拉索的存在，使得伸縮臂承受非保向力的作用，導(dǎo)致伸縮臂幾何非線性變形不能顯示精確表達(dá)，也缺乏相應(yīng)的理論推導(dǎo)[3]。文獻(xiàn)[4]運用差分法對伸縮臂撓度進(jìn)行推導(dǎo)，在計算彎矩時略去了軸力的影響，這種方法沒有計入軸向力的二階效應(yīng)，對大長細(xì)比伸縮臂結(jié)構(gòu)存在較大的誤差。文獻(xiàn)[5-6]分別研究了根部固支和兩端鉸支兩種支撐情況下多節(jié)階梯柱的幾何非線性變形問題，得到其臂端部撓度精確表達(dá)的遞推公式，并給出適合工程實際應(yīng)用的計算表達(dá)式，但沒有涉及非保向力作用對多級階梯柱變形的影響。文獻(xiàn)[7-8]建立了空間對稱雙拉索作用下伸縮臂的撓曲微分方程，雖然考慮了非保向力的作用，為了便于推導(dǎo)，假設(shè)多節(jié)伸縮臂為等慣性矩，由于簡化了推導(dǎo)過程，導(dǎo)致與工程實際差異較大。文獻(xiàn)［9-10］利用有限元軟件進(jìn)行建模仿真得到了伸縮主臂的受力狀況，缺少深入的理論分析，同時所構(gòu)建模型也僅僅是針對特定型號，不具有通用性。為此，論文基于縱橫彎曲理論，考慮軸向力二階效應(yīng)的影響，建立空間對稱拉索非保向力作用下多級伸縮臂的撓曲微分方程，求解伸縮臂撓度的遞推表達(dá)式，為具有超起裝置的起重機(jī)伸縮臂設(shè)計計算提供理論依據(jù)。

2 等效力學(xué)模型的建立

具有超起裝置的典型全地面起重機(jī)，如圖1 所示。兩個對稱布置的超起撐桿2 與伸縮臂4 鉸接，后拉板3 的一端連接超起撐桿2 的活動端，另一端與伸縮臂4 的基本臂根部鉸接，對稱布置的超起拉索1 一端連接超起撐桿2，另一端連接伸縮臂4 頂部，變幅油缸5 可以調(diào)節(jié)起重機(jī)的工作角度，后拉板3 和超起拉索1均成對稱布置。超起撐桿2、拉板3 以及伸縮臂4 根部構(gòu)成一個三角形區(qū)域，它們對伸縮臂端部的撓曲變形影響很小，因此，在分析伸縮臂的非線性撓曲變形時可以忽略撐桿2 和拉板3 的影響。具有超起裝置的全地面起重機(jī)伸縮臂可等效為空間對稱非保向力作用下的多級階梯柱模型，如圖2 所示。在圖2 所示具有超起裝置的伸縮臂等效力學(xué)模型中，由于油缸的軸向剛度可假設(shè)為無窮大，則油缸以下的基本臂與油缸可等效為一個轉(zhuǎn)動剛度為K0的彈性支撐[6]。因此，圖2 所示的等效力學(xué)模型可進(jìn)一步等效為彈性支撐條件下的多級階梯柱模型，如圖3 所示。

圖1 具有超起裝置的全地面起重機(jī)Fig.1 All Terrain Crane with Super-Lifting Device

圖2 等效力學(xué)模型Fig.2 Equivalent Mechanical Model

圖3 具有超起裝置的多級伸縮臂的計算模型Fig.3 Computational Model of Telescopic Arm with Super-Lifting Device

3 伸縮臂幾何非線性變形的遞推表達(dá)式

超起拉索非保向力作用下多級伸縮臂幾何非線性分析模型，如圖3 所示。兩超起拉索的長度均為ls 且對稱分布，兩牽繩之間夾角為2α，主臂與兩拉索所成平面夾角為β，每節(jié)伸縮臂的慣性矩為Ii（i＝1，2，3…n），材料的彈性模量為E，在軸向力P、側(cè)向力Q、彎矩M 以及拉索非保向力作用下伸縮臂頂部的豎向撓度為δ。由圖3 所示拉索非保向力作用下伸縮臂變形前的幾何關(guān)系可知：

由于拉索呈對稱分布，所以兩根拉索產(chǎn)生的合力分解成軸向力Fx與側(cè)向力Fy：

多級伸縮臂自由度撓度表達(dá)式（17）是一個關(guān)于撓度δ 的超越方程，采用數(shù)值迭代的方法解此超越方程即可得伸縮臂自由端的撓度δ。

當(dāng)無非保向力作用時，F(xiàn)x、Fy均不存在，伸縮臂自由端撓度表達(dá)式（17）可退化成與文獻(xiàn)[6]具有相同的表達(dá)形式：

4 算例分析

為了驗證所推出的任意多級伸縮臂撓度遞推表達(dá)式的正確性，對具有超起裝置的7 節(jié)伸縮臂等效力學(xué)模型進(jìn)行幾何非線性分析，并與ANSYS 仿真結(jié)果對比，如圖4 所示。

圖4 具有超起裝置的7 節(jié)伸縮臂等效力學(xué)模型Fig.4 Mechanical Analysis Model of 7-Section Telescopic Arm with Super-Lifting Device

在如圖4 所示彈性支撐的7 節(jié)伸縮臂等效力學(xué)模型中，主臂彈性模量E＝2×1011Pa，各節(jié)臂慣性矩I1＝2.32×10-2m4，I2＝1.63×10-2m4，I3＝1.20×10-2m4，I4＝0.85×10-2m4，I5＝0.62×10-2m4，I6＝0.49×10-2m4，I7＝0.38×10-2m4，各節(jié)臂長度為L1＝5.4m，L2＝9.1m，L3＝9.1m，L4＝9.1m，L5＝9.1m，L6＝9.1m，L7＝9.1m。鋼絲繩長度ls＝57m，鋼絲繩的彈性模量Es＝1×1011Pa，橫截面積As＝1×10-3m2。伸縮臂頂部承受的載荷軸力P＝400kN，側(cè)向力Q＝100kN，端部彎矩M＝1000kN·m，α＝5°，β＝10°。ANSYS 仿真驗證：對超起拉索作用下伸縮臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行二階效應(yīng)的幾何非線性分析，在有限元分析中，將每節(jié)伸縮臂劃分成10 個單元，采用beam44 單元進(jìn)行建模，用link10 單元模擬單向受拉的超起拉索，彈性支撐用combin14 單元進(jìn)行模擬。引入ξ＝K0L/（EI1）作為無量綱彈性嵌固系數(shù)，在不同ξ 值下，計算結(jié)果，如表1所示。其中誤差1 表示為ANSYS 線性解與ANSYS 非線性解的誤差，誤差2 表示理論非線性解與ANSYS 非線性解的誤差。

表1 7 節(jié)伸縮臂自由端的撓度Tab.1 Free End Deflection of 7-Section Telescopic Arm

從表1 中的誤差可以看出，ANSYS 線性解與ANSYS 非線性解的最小誤差為8.81%，最大誤差為10.12%；理論非線性解與ANSYS 非線性解的誤差都在5%以內(nèi)。算例分析表明：對于大長細(xì)比的伸縮臂采用線性分析會引起較大的誤差，是不能滿足實際工程需要的。因此，對大長細(xì)比的伸縮臂進(jìn)行幾何非線性分析才能滿足工程實際的設(shè)計計算。

5 結(jié)論

（1）對超起拉索非保向力作用下多級伸縮臂的受力模型進(jìn)行合理等效，基于縱橫彎曲理論，推導(dǎo)了計及二階效應(yīng)的任意多級伸縮臂撓度的遞推表達(dá)式，獲得了伸縮臂幾何非線性變形的有效解。（2）對具有超起裝置的7 節(jié)伸縮臂幾何非線性分析表明，論文推導(dǎo)的空間對稱雙拉索作用下的任意多級伸縮臂撓度的遞推表達(dá)式是正確的和合理的，能夠有效地滿足工程實際應(yīng)用。