王 濤，鄭 歡，王 貞，許國山

(1.黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2.武漢理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院， 武漢 430070； 3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院， 哈爾濱 150090)

0 引 言

針對土木工程結(jié)構(gòu)開展抗震實驗研究是獲取結(jié)構(gòu)抗震性能的主要手段。當(dāng)前主要的抗震實驗研究方法有擬靜力實驗[1]、擬動力實驗[2]、模擬地震振動臺實驗[3]和實時混合實驗[4-5]。其中實時混合實驗方法兼具較高的實驗精度與經(jīng)濟(jì)性，受到眾多學(xué)者的關(guān)注。該方法將整體結(jié)構(gòu)劃分為物理子結(jié)構(gòu)和數(shù)值子結(jié)構(gòu)，分別進(jìn)行物理加載與數(shù)值模擬，建立高速數(shù)據(jù)交互通道實現(xiàn)二者間的實時數(shù)據(jù)交互。但是由于實時混合實驗要求實時，時滯便成了影響實驗精度的主要問題，目前針對實時混合實驗的研究工作集中在時滯與補償上[6-7]。2016年，郭進(jìn)等[8-9]提出了基于全局迭代的混合實驗方法，該方法改變了傳統(tǒng)實時混合實驗方法的數(shù)據(jù)交互方式，將數(shù)據(jù)交互時間步長由積分步轉(zhuǎn)變成了全時程，并通過離線迭代不斷逼近真實結(jié)構(gòu)響應(yīng)，避開了時滯問題。當(dāng)前針對迭代混合實驗對不同結(jié)構(gòu)適用性與物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型精度對迭代收斂性的影響，尚需要開展進(jìn)一步研究。

筆者以安裝有黏滯阻尼器的單層框架為研究對象，將框架內(nèi)的黏滯阻尼器作為物理子結(jié)構(gòu)，其余部分作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，分別進(jìn)行了不同結(jié)構(gòu)阻尼比與物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型精度下的迭代混合實驗數(shù)值模擬，比較了不同工況的迭代收斂速度和收斂精度，探究了結(jié)構(gòu)阻尼比和初始物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型精度與收斂性對迭代混合實驗收斂速度和收斂精度的影響規(guī)律。

1 實驗方法及流程

迭代混合實驗方法源于實時混合實驗方法，實時混合實驗方法運動方程為

MNaN,i+CNvN,i+KNdN,i+FE,i=Fi，

(1)

式中：MN、CN、KN——數(shù)值子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；

aN、vN、dN——數(shù)值子結(jié)構(gòu)的加速度向量、速度向量、位移向量；

FE——物理子結(jié)構(gòu)反力向量；

F——結(jié)構(gòu)的外荷載向量；

i——積分步數(shù)。

引入迭代思想，在方程(1)中增加迭代輪次這一變量。在迭代過程中，首先對整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全時程數(shù)值計算，得到物理子結(jié)構(gòu)全時程加載命令，再對物理子結(jié)構(gòu)進(jìn)行全時程加載，加載結(jié)束后采集當(dāng)前輪次的全時程試件反力，并將該反力帶入運動方程，進(jìn)行下一迭代輪次的運動方程求解，迭代混合實驗方法運動方程為

式中，j——迭代輪次。

該方法的原理如圖1所示。

圖1 迭代混合實驗方法流程Fig. 1 Direct of iterative hybrid test method

迭代混合實驗方法的具體流程如下：

(1)模型建立。將整體結(jié)構(gòu)劃分為物理子結(jié)構(gòu)和數(shù)值子結(jié)構(gòu)，建立物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型。

(2)迭代啟動。迭代首輪利用物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型，進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)的純數(shù)值計算，得到整體結(jié)構(gòu)全時程力-位移響應(yīng)。

(3)反力采集。將上一步得到的物理子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)在作動器上進(jìn)行加載，得到真實的物理子結(jié)構(gòu)全時程反力響應(yīng)。

(4)多輪迭代。將上一步采集的物理子結(jié)構(gòu)反力帶入運動方程當(dāng)中，代替物理子結(jié)構(gòu)，進(jìn)行下一輪整體結(jié)構(gòu)全時程數(shù)值計算。

(5)收斂判斷。將計算得到的物理子結(jié)構(gòu)全時程位移與參考解進(jìn)行比較，若收斂則實驗成功結(jié)束，若不收斂則進(jìn)行最大輪次判斷。

(6)輪次判斷。由于迭代不可能無限制進(jìn)行下去，因此需要在實驗前預(yù)先設(shè)定一個最大迭代輪次，進(jìn)行迭代輪次判斷。若當(dāng)前輪次小于最大迭代輪次，則返回第(4)步，否則實驗失敗結(jié)束。

由圖1可知，該方法的物理子結(jié)構(gòu)與數(shù)值子結(jié)構(gòu)相互獨立，在迭代過程中一個完整時程僅進(jìn)行一次數(shù)據(jù)交互，這樣對于數(shù)值子結(jié)構(gòu)部分而言，不再需要與物理子結(jié)構(gòu)實時通信，逐步積分過程變成了純數(shù)值計算，對于物理子結(jié)構(gòu)而言，加載過程變成了給定加載制度的加載方式，這在避開時滯問題的同時，解決了逐步積分算法穩(wěn)定性的問題，具有其獨特的優(yōu)勢。

但是該方法由于其迭代的特點，在對于不同類型的結(jié)構(gòu)會表現(xiàn)出不同的收斂特征，同時由于迭代首輪需要假定物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型，不同的模型精度對迭代收斂性的影響規(guī)律是需要研究的問題。

2 單層框架迭代混合實驗數(shù)值模擬

2.1 工程概況

為了研究結(jié)構(gòu)阻尼比與物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型精度對迭代收斂速度與收斂穩(wěn)定性的影響，開展整體結(jié)構(gòu)為安裝有黏滯阻尼器的單層框架的迭代混合實驗數(shù)值模擬，單層框架迭代混合實驗原理如圖2所示。由圖2可知，將黏滯阻尼器作為物理子結(jié)構(gòu)，剩余部分作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)。在迭代首輪，分別建立物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型和數(shù)值子結(jié)構(gòu)有限元模型，進(jìn)行全時程數(shù)值計算，得到單層框架全時程響應(yīng)。在迭代次輪，利用上一迭代輪次加載得到的物理子結(jié)構(gòu)全時程反力代替物理子結(jié)構(gòu)本身，參與運動方程求解，計算出物理子結(jié)構(gòu)全時程位移命令，再將命令傳輸給作動器進(jìn)行加載，依次循環(huán)直至實驗結(jié)束。本文中上述實驗過程通過Matlab編程模擬，定義框架質(zhì)量mN=3.6×105kg，框架剛度KN=1.24×105kg，框架阻尼比作為模擬研究的變量，分別取值為0.5%、1.0%、1.5%、2.0%、2.5%。

圖2 單層框架迭代混合實驗原理Fig. 2 Principle of iterative hybrid test of single layer frame

物理子結(jié)構(gòu)為黏滯阻尼器，其力學(xué)模型為

FE=cEsgn(vE)|vE|α1，

(2)

vE——物理子結(jié)構(gòu)速度向量；

α1——黏滯阻尼器速度指數(shù)。

在迭代混合實驗首輪，需要假定物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型。為了研究不同模型精度對迭代收斂性的影響，分別假定模型精度為0、20%、40%、60%、80%，需要說明的是，模型精度為0即無阻尼器，僅僅針對數(shù)值子結(jié)構(gòu)的框架開展迭代混合實驗?zāi)M。地震波選擇EL centro波如圖3所示，激勵時長20 s，積分步長0.01 s，積分步數(shù)2 000步。

由于黏滯阻尼器恢復(fù)力計算要以當(dāng)前步速度為輸入，因此積分算法選用文獻(xiàn)[10]中的方法，該方法為顯式兩步的數(shù)值積分方法，可以將位移、速度、加速度顯式表達(dá)，且不需要用到結(jié)構(gòu)的參數(shù)，具體積分格式如下：

aN,i=(Fi-CNvN,i-KNdN,i-FE,i)/mN，

dN,i+1=dN,i+vN,iΔt+(1/2+ψ)·aN,iΔt2-ψaN,i-1Δt2，

vN,i+1=vN,i+(1+φ)aN,iΔt-φaN,i-1Δt，

式中，φ、ψ——翟方法引入的參數(shù)。

圖3 EL centro地震波Fig. 3 EL centro ground motion record

在逐步積分第一步，定義dN,1=vN,1=0、φ=ψ=0；在后續(xù)積分過程中，定義φ=ψ=0.5，此時其最大穩(wěn)定步長與中心差分法相同。

2.2 工況設(shè)計

擬開展的模擬工況如表1所示。工況1～5為不同阻尼比下的迭代混合實驗?zāi)M，工況6～10為不同物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型精度的迭代混合實驗?zāi)M。

疼痛可以直接影響到病人的生活質(zhì)量,疼痛發(fā)作時,機(jī)體會出現(xiàn)一系列地病理和生理反應(yīng),同時會讓患者主觀出現(xiàn)不悅的感受,在心理上給患者造成了巨大的困擾,而這些因素又恰恰決定著化療、放療及相關(guān)的一些治療能否繼續(xù)進(jìn)行。[3]疼痛是一些晚期癌癥病人常見的臨床表現(xiàn),尤其是持久、強烈、無法忍受的疼痛,這些會經(jīng)常引起一系列癥狀,如食欲發(fā)聵、睡眠不佳、焦慮、煩躁、憂郁、甚至消極抗拒治療等等,從而使得病情惡化。因而改善患者的疼痛狀況,緩解情緒反應(yīng)至關(guān)重要。我們需要加強對患者疼痛方面的教育,使晚期癌癥患者度過舒服、平靜的終末期。

表1 模擬工況

為量化迭代收斂速度，定義收斂步數(shù)指標(biāo)如式(3)所示，其物理意義為當(dāng)前迭代輪次與參考解在第i積分步前的位移差值小于限定值，即認(rèn)為當(dāng)前迭代輪次收斂步數(shù)為i。該指標(biāo)能夠直接體現(xiàn)當(dāng)前迭代輪次的迭代收斂積分步數(shù)，能直觀反應(yīng)收斂速度。其中收斂步數(shù)限定位移s根據(jù)實際情況定義，通常認(rèn)為當(dāng)該值小于參考解位移幅值的2%，即為合理取值范圍。

(3)

式中：ε——收斂步數(shù)；

d0——參考解位移, m；

s——收斂步數(shù)限定位移, m。

為量化迭代過程中的收斂精度，定義絕對誤差如式(4)所示，即當(dāng)前迭代輪次內(nèi)每一積分步與參考解差值的最大值，該指標(biāo)能夠反映當(dāng)前迭代輪次內(nèi)計算的位移時程與參考時程局部誤差大小，以體現(xiàn)迭代收斂精度。

(4)

式中,σ1——絕對誤差, m。

2.3 實驗結(jié)果分析

不同阻尼比下迭代收斂位移時程響應(yīng)如圖4所示。可見隨著阻尼比的增大，位移響應(yīng)的幅值逐漸降低，這表明阻尼比越大，結(jié)構(gòu)消能減震的能力越強，位移響應(yīng)越小。不同阻尼比時迭代收斂速度如圖5所示。

圖4 不同阻尼比下阻尼器的位移響應(yīng) Fig. 4 Damper displacement response of different damping ratio

圖5 不同阻尼比迭代收斂速度 Fig. 5 Iterative convergence rate of different damping ratio

由圖5可知，結(jié)構(gòu)阻尼比越小，相同迭代輪次下的收斂步數(shù)就越大。當(dāng)阻尼比分別為0.5%、1.0%、1.5%、2.0%、2.5%時，完全收斂分別需要迭代7輪、21輪、42輪、65輪、96輪。通常開展迭代混合實驗不超過20輪，由此可以認(rèn)為，對于本次模擬選用的結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度下，結(jié)構(gòu)阻尼比ζ≤1.0%才能較好地利用迭代混合實驗進(jìn)行抗震分析。通常大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的阻尼比往往較小，這將為開展迭代混合實驗的收斂性提供保證，可見迭代混合實驗對大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)較為適用。不同阻尼比的迭代誤差如圖6所示，當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比為0.5%時，迭代100輪的絕對誤差最大值為1.37 mm；當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比為1.0%時，絕對誤差最大值為51.22 mm；當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比為1.5%時，絕對誤差最大值為145.44 mm；當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比為2.0%時，絕對誤差最大值為267.62 mm；當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比為2.5%時，最大絕對誤差為397.78 mm，可見隨著結(jié)構(gòu)阻尼比的增加，物理子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的絕對誤差不斷增加，迭代收斂精度下降。

圖6 不同阻尼比迭代誤差Fig. 6 Iterative error of different damping ratio

不同黏滯阻尼器初始模型精度下迭代收斂速度如圖7所示。由圖7可知，物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型精度分別為0、20%、40%、60%、80%時，完全收斂分別需要迭代24輪、23輪、23輪、22輪、22輪，可見隨著物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型精度的提高，迭代收斂速度無明顯變化，模型精度從0提到至80%，完全收斂的輪次減少兩輪。由此可以認(rèn)為，物理子結(jié)構(gòu)初始數(shù)值模型精度對迭代收斂速度影響不明顯，即迭代混合實驗對物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型精度魯棒性較強。

不同阻尼器模型精度的迭代誤差如圖8所示。

圖7 不同阻尼器模型精度迭代收斂速度Fig. 7 Iterative convergence rate of different damper models accuracy

圖8 不同阻尼器模型精度迭代誤差Fig. 8 Iterative error of different damper models accuracy

由圖8可知，當(dāng)模型精度分別為0、20%、40%、60%、80%時，絕對誤差最大值分別為127.94、102.98、92.75、76.45、51.22 mm，表明隨著模型精度的提高，迭代誤差降低，迭代收斂精度提高。

3 結(jié) 論

(1)結(jié)構(gòu)阻尼比越小，迭代收斂速度與收斂精度越高。針對本文模擬對象，當(dāng)阻尼比分別為0.5%、1.0%、1.5%、2.0%、2.5%時，完全收斂分別需要迭代7輪、21輪、42輪、65輪、96輪，可見當(dāng)阻尼比小于等于1.0%時，迭代混合實驗收斂速度較快，滿足迭代混合實驗收斂速度要求。

(2)物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型精度越高，迭代收斂精度越高，迭代收斂速度無明顯變化。當(dāng)模型精度分別為0、20%、40%、60%、80%時，完全收斂分別需要迭代24輪、23輪、23輪、22輪、22輪，可見迭代混合實驗對物理子結(jié)構(gòu)數(shù)值模型精度魯棒性較強。