杜師師， 李 兵**， 鄒 聰

(重慶交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400074)

0 引 言

耦合動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用十分廣泛，其同步性分析是應(yīng)用的前提[1-5]。由于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點信息傳輸速度的限制，時滯普遍存在并可能引起網(wǎng)絡(luò)的不穩(wěn)定現(xiàn)象[6-8]。另外，信號傳輸中的頻率改變可能產(chǎn)生脈沖信號,不同的脈沖信號對耦合動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的影響也各不相同。近年來，學(xué)者們針對時滯耦合動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步性問題，展開了廣泛的研究并已取得大量很有意義的成果[9-18]。除了時滯和脈沖以外，隨機噪聲和外部擾動也時刻影響著網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的動態(tài)行為，最近已有學(xué)者在隨機耦合網(wǎng)絡(luò)的同步性研究方面，陸續(xù)得到一些有價值的理論成果[19-27]。

值得注意的是，文獻(xiàn)[1-27]都是分別討論脈沖信號和隨機噪聲對耦合動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步過程的影響。然而在實際問題中，脈沖信號和隨機擾動常常同時出現(xiàn)，共同影響耦合網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)行為與同步控制。其次，已有研究往往只考慮了單一的有限時滯網(wǎng)絡(luò)模型，忽略了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點并行過程中可能存在的分布時滯的影響。另外，在有界但并不消失的外部擾動影響下，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的誤差并不會趨于零，因而無法達(dá)到已有文獻(xiàn)中提出的完全同步性。

基于上述分析，本文將研究具有混合時滯的耦合動態(tài)網(wǎng)絡(luò)在隨機噪聲和外部擾動影響下的脈沖同步控制問題，主要創(chuàng)新點包括：所考慮的網(wǎng)絡(luò)模型同時具有混合時滯、隨機噪聲、外部擾動以及脈沖信號，比已研究的模型更一般，更符合現(xiàn)實需要；引入指數(shù)最終有界性指標(biāo)來刻畫同步誤差的變化，克服了外部擾動的影響，比文獻(xiàn)[7，12，15，18，26，27，28]中的同步性指標(biāo)更適用；提出了基于改進(jìn)型混合時滯差分不等式的分析方法和線性矩陣不等式的判據(jù)，克服了混合時滯因素的影響，理論結(jié)果易于檢驗。

1 模型描述及預(yù)備知識

考慮孤立節(jié)點滿足下列時滯差分方程：

(1)

在外部擾動和隨機噪聲影響下，考慮N個形如式(1)的孤立節(jié)點耦合而成的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)如下：

(2)

令ei(k)=xi(k)-v(k)，由式(1)(2)可得同步誤差系統(tǒng)：

(3)

在本文中，給出以下假設(shè)：

由文獻(xiàn)[10]可知，存在4個正對角矩陣H=diag{σ1，…，σn}，=diag{η1，…，ηn}，G=diag{ζ1，…，ζn}和Ψ=diag{ρ1，…，ρn}，使得條件(A1)可等價轉(zhuǎn)化為

(4)

(5)

(6)

(7)

為了得到同步性判據(jù)，先給出如下改進(jìn)的時滯差分不等式：

引理1 假設(shè)正實數(shù)序列V(k)對任意正整數(shù)k≥k0，都滿足：

(8)

其中:α，β1，β2，β3，r為已知正常數(shù)且滿足α+β1+β2+β3<1，那么當(dāng)V(k)≤v0e-λk+d，k∈(-∞，ko]時，必有V(k)≤v0e-λk+d，k≥ko。

(9)

證明過程與文獻(xiàn)[10]類似，故省略。

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)(A1)和(A2)成立，且存在正數(shù)α，β1，β2，β3，λ滿足式(9)，如果存在5個常數(shù)β4，，ε，，p以及5個正定對角矩陣，G，Ψ，P，使得

P?！躀，APΓ≤εI，Ξ<0

則耦合網(wǎng)絡(luò)式(3)達(dá)到指數(shù)最終有界同步，其中

Ξ2=-β1P-HF1，Ξ3=P+η3I-H

Ξ4=P+η3I-，Ξ5=η1I+2εI+2I-G

Ξ6=-β2P-GD1，Ξ7=P+η3I-Ψ

Ξ8=-β3P-ΨΘ1，Ξ9=P+η2I-β4P

η1=λmax(CTC?ΓTPΓ)，η2=ελmax(CCT)

η3=

成立。

證明令

則對任意k≠nl，可得

由網(wǎng)絡(luò)模型式(3)并結(jié)合鄰接矩陣的性質(zhì)，可以得到V(k+1)中下列各項分別滿足:

(ei(k))f(ei(k))+

將上述不等式及式(4)—式(7)代入V(k+1)并取數(shù)學(xué)期望，可得

由Ξ<0可知對k≠nl，有式(8)成立，故對k∈[0，n1],有

E{V(k)}≤v0e-λk+d

由式(3)中的第二個方程可得

ei(nl+1)=(I+Binl)ei(nl)

因此有

E{V(nl+1)}≤ρn1eλv0e-λ(n1+1)+ρn1d

假設(shè)對l=1，2，…，m，下列不等式成立：

其中：k∈(-∞，nm]，n0=0，Zn0=1。由數(shù)學(xué)歸納法，可知對任意l∈Z+及k∈[nl-1+1，nl]，有

定理1得證。

3 數(shù)值例子

擾動信號為

r1(k)=-2cos(k)，r2(k)=-2sin(k)

σ(k，xi(k)-s(k))=0.05(xi(k)-s(k))

取α=0.3，β1=0.11，β2=0.18，β3=0.16，λ=0.05，Z1=diag{2，3}，Q1=diag{2，3}，D1=diag{3，4}，Θ1=diag{3，4}和Z2=diag{0.003 4，0.003 4}，Q2=diag{0.002 5，0.002 5}，D2=diag{0.001 5，0.001 5}，Θ2=diag{0.002 2，0.002 2}以及θ=0.002 5。

設(shè)計脈沖反饋矩陣：

脈沖時刻nl=4l(l∈Z+)，易驗證定理1的條件滿足，故網(wǎng)絡(luò)可實現(xiàn)指數(shù)最終有界同步，仿真結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 同步誤差分量一數(shù)值仿真結(jié)果Fig. 1 Numerical simulation result of synchronization error fraction 1

圖2 同步誤差分量二數(shù)值仿真結(jié)果Fig. 2 Numerical simulation result of synchronization error fraction 2

4 結(jié)果與討論

本文考慮的耦合動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型中混合時滯和擾動共存，模型更具一般性，所獲得的理論成果更具適用性。在外源性有界擾動之下，通過設(shè)計脈沖型反饋控制器，使得耦合網(wǎng)絡(luò)節(jié)點狀態(tài)快速收斂到孤立節(jié)點的有界范圍內(nèi)，從而準(zhǔn)確刻畫出外部擾動對同步誤差的影響，解決了傳統(tǒng)的完全同步無法實現(xiàn)的問題。通過建立新的混合時滯差分不等式，克服了耦合時滯與分布時滯對誤差系統(tǒng)動力學(xué)分析造成的困難，改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果。后續(xù)將進(jìn)一步考慮將本文的研究方法推廣到馬爾科夫跳變網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步控制中。