于 拓, 唐亞勇

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 成都 610064)

1 引 言

不同于歐式期權(quán)，美式期權(quán)的期權(quán)持有人可以在期權(quán)到期日之前的任何時(shí)刻執(zhí)行該期權(quán).因此，我們無(wú)法用經(jīng)典的B-S公式為美式期權(quán)定價(jià).當(dāng)前，對(duì)于美式期權(quán)的定價(jià)主要采用數(shù)值分析的方法.

對(duì)美式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)的常用數(shù)值方法有三類(lèi)，其中的二項(xiàng)式方法和有限差分方法均采用逆向求解的方法.雖然它們可以用于美式期權(quán)定價(jià)，但是在處理具有多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題時(shí)這兩種方法均表現(xiàn)不好.蒙特卡洛模擬方法雖然在處理多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題以及有關(guān)路徑依賴(lài)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題上具有明顯的優(yōu)勢(shì)，但由于該方法采用正向求解方法，因而無(wú)法將某一時(shí)刻立即執(zhí)行該美式期權(quán)的收益與繼續(xù)持有該美式期權(quán)的期望收益相比較，從而導(dǎo)致在計(jì)算過(guò)程中無(wú)法確定是立即執(zhí)行期權(quán)還是繼續(xù)持有期權(quán).2001年，Longstaff和Schwartz[1]提出了最小二乘蒙特卡洛法，解決了這一問(wèn)題，進(jìn)而該方法成為美式期權(quán)定價(jià)中最常用的一種方法.此后，許多學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了研究，如Guo和Loeper[2]討論了應(yīng)用多個(gè)多項(xiàng)式基的最小二乘蒙特卡羅模擬法；Joshi和Kwon[3]對(duì)具有小偏差和單向偏差的最小二乘蒙特卡羅的信用值進(jìn)行討論和調(diào)整；孫延維和雷建軍[4]利用圖形處理器優(yōu)化實(shí)現(xiàn)了最小二乘蒙特卡洛模擬法的美式期權(quán)模擬定價(jià)系統(tǒng)；Mostovyi[5]分析了算法在行權(quán)日數(shù)增加時(shí)的穩(wěn)定性，證明了如果股票價(jià)格的基本過(guò)程是連續(xù)的，等.

基于LSM算法，需要對(duì)當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S進(jìn)行最小二乘回歸.選擇不同的基函數(shù)(通常是正交函數(shù))將導(dǎo)致最終美式期權(quán)定價(jià)得到不同的結(jié)果[6-16].本文中我們將對(duì)不同的基函數(shù)對(duì)最小二乘蒙特卡洛法的影響進(jìn)行討論.

2 美式期權(quán)

與歐式期權(quán)不同，美式期權(quán)在合約到期前的任何時(shí)刻都可以執(zhí)行.由此直觀(guān)來(lái)看，美式期權(quán)持有者可以在期權(quán)到期之前的任意一天行權(quán)也就表示著美式期權(quán)持有者比歐式期權(quán)持有者享有更多權(quán)利，因而一般來(lái)說(shuō)歐式期權(quán)的價(jià)格要小于美式期權(quán)的價(jià)格.其能否提前執(zhí)行的標(biāo)準(zhǔn)是在某一時(shí)刻執(zhí)行所獲得的價(jià)值是否大于不提前執(zhí)行所獲得的價(jià)值，后者是后續(xù)存續(xù)期內(nèi)期權(quán)的價(jià)值.值得注意的是，在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)可能有多次提前執(zhí)行的機(jī)會(huì)，而只有一次是最優(yōu)的——只有一次可以使得期權(quán)的價(jià)值最大，此時(shí)的價(jià)值才是期權(quán)真正的價(jià)值.

由于美式期權(quán)的連續(xù)性，在討論美式期權(quán)時(shí)我們往往討論另一種期權(quán)——百慕大期權(quán)，它可以在到期日前的某一固定時(shí)間點(diǎn)行權(quán)，也就是說(shuō)在某一系列的離散時(shí)間中百慕大期權(quán)的價(jià)值可以由最優(yōu)截止問(wèn)題給出.對(duì)于某一有限時(shí)間點(diǎn)集合0

當(dāng)t=tn時(shí)，即在最后行權(quán)時(shí)，百慕大期權(quán)的價(jià)格應(yīng)該等同于和其有著一樣標(biāo)的歐式期權(quán)的價(jià)格，此時(shí)的歐式期權(quán)的價(jià)格可以由B-S方程給出，即Un=En=(K-Sn)+.由于百慕大期權(quán)可以在到期日前的某一固定時(shí)間點(diǎn)行權(quán)，所以我們需要找到一個(gè)使得執(zhí)行美式期權(quán)以后可以獲得最大利潤(rùn)的時(shí)停(最優(yōu)時(shí)停).那么，在某一時(shí)刻tn，期權(quán)的持有者有著兩個(gè)選擇：

(i) 執(zhí)行期權(quán)的收益En-1；

(ii) 保留期權(quán)的收益EQ[Un|Ftn-1]，

其中EQ為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的期望值(在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，任何期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值等于其未來(lái)支付期望值的折現(xiàn))，F(xiàn)為一個(gè)σ-域.此時(shí)，某個(gè)百慕大期權(quán)在tn-1時(shí)刻的價(jià)值為

Un-1=max(En-1,EQ[Un|Ftn-1]).

問(wèn)題的關(guān)鍵就變?yōu)榍蠼釫Q[Un|Ftn-1]的值，此時(shí)便可以用最小二乘法去近似求解.

3 正交多項(xiàng)式和LSM

運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛法(LSM)去近似求解美式期權(quán)最早由Longstaff和Schwarts于2001年給出.方法的核心就是經(jīng)過(guò)引入最小二乘法來(lái)估計(jì)繼續(xù)持有某一期權(quán)的價(jià)值的條件期望，再通過(guò)比較在某一時(shí)刻立即執(zhí)行該美式期權(quán)所獲得的收益與在該時(shí)刻所求得的繼續(xù)持有期權(quán)的價(jià)值的條件期望的大小，從而得出對(duì)于該路徑的美式期權(quán)的最優(yōu)行權(quán)時(shí)刻.對(duì)于百慕大期權(quán)這種能夠在離散時(shí)間點(diǎn)行權(quán)的情形，需要求解的問(wèn)題則變?yōu)樵谖磥?lái)某一個(gè)固定的時(shí)間點(diǎn)繼續(xù)持有期權(quán)的價(jià)值的條件期望，這同樣也可以用LSM法進(jìn)行求解.于是，對(duì)于tn-1,tn-2,…t1中的某一時(shí)刻tm-1，EQ[Um|Ftm-1]可以表示為可列個(gè)Ftm-1可測(cè)函數(shù)的線(xiàn)性組合.不妨假設(shè)該條件期望屬于Hilbert空間L2.則由最小二乘法有

EQ[Um|Ftm-1]=∑αjPj(X)，

其中X是一個(gè)馬爾科夫過(guò)程，αj是一組常數(shù)，Pj是一組基函數(shù).于是可以得到如下算法：

Step 1輸入S0、K、T、σ、r、m、n,其中m為樣本路徑數(shù)，n為每年期 權(quán)可執(zhí)行數(shù);

Step 2生成一列服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的m維向量A(生成m條樣本路徑 數(shù));

Step 3計(jì)算末尾的期權(quán)價(jià)格

及每個(gè)時(shí)期行權(quán)的收益(EV)

EVn=max(K-Sn,0);

Step 4從時(shí)間末尾開(kāi)始逆向比較某一時(shí)期繼續(xù)持有期權(quán)和行使期權(quán)的收益;

Step 4.1令i=n-1,計(jì)算Si與EVi，

其中

Δt=T/n,

EVi=max(K-Si,0);

Step 4.2計(jì)算此時(shí)繼續(xù)持有期權(quán)的條件期望值(使用LSM法)

Step 4.2.1選擇所有j使得EVi(j)>0,計(jì)算回歸時(shí)所需的繼續(xù)持有期權(quán)時(shí)的價(jià)值(HV)

HVi(j)=EVi+1(j)e-rT;

Step 4.2.2選取某一組正交多項(xiàng)式Lk關(guān)于HVi做最小二乘回歸得到常系數(shù)a與回歸系數(shù)ak;

Step 4.2.3計(jì)算此時(shí)繼續(xù)持有期權(quán)的條件期望值E(HVi(j)),

E(HVi(j))=a+ak·Lk;

Step 4.3比較EVi(j)與E(HVi(j)),當(dāng)EVi(j)

EVi(j)=EVi+1(j)e-rT;

Step 4.4i=i-1，i=0時(shí)停止;

Step 5計(jì)算期權(quán)價(jià)格

誤差

該算法可以選取一系列不同的正交多項(xiàng)式作為該最小二乘回歸的基函數(shù)，從而獲取一系列不同的獨(dú)立算法，進(jìn)而比較不同的正交多項(xiàng)式對(duì)最終結(jié)果的影響.下面我們給出一些正交多項(xiàng)式并討論其對(duì)LSM算法結(jié)果的影響.

拉蓋爾多項(xiàng)式(Laguerre polynomials) 權(quán)函數(shù)

勒讓德多項(xiàng)式(Legendre Polynomials) 權(quán)函數(shù)

w(x)=1,

P0(x)=1,

P1(x)=x,

埃爾米特多項(xiàng)式(Hermite polynomials) 權(quán)函數(shù)

w(x)=e-x2,

H0(x)=e-x2,

H1(x)=e-x2·x,

H2(x)=e-x2(x2-1),

第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev polynomials of the first class) 權(quán)函數(shù)

Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)；

第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev polynomials of the second class) 權(quán)函數(shù)

Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x);

廣義拉蓋爾多項(xiàng)式(generalized Laguerrepolynomials) 權(quán)函數(shù)

w(x)=xαe-x,

分別用這些正交多項(xiàng)式作為最小二乘回歸的基函數(shù)做LSM算法，并得出結(jié)果.

4 數(shù)值計(jì)算

取現(xiàn)價(jià)S0=36，期權(quán)協(xié)議價(jià)K=40，期權(quán)年限T=1，波動(dòng)率σ=0.2，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.06，樣本路徑數(shù)m=1 000，每年期權(quán)可執(zhí)行數(shù)n=50T.使用R語(yǔ)言進(jìn)行編程設(shè)計(jì)，計(jì)算結(jié)果如表1所示.

表1 第一個(gè)算例的計(jì)算結(jié)果

當(dāng)我們改變參數(shù)而得到多組數(shù)據(jù)時(shí)，取S0=38,K=40,T=1,σ=0.2,r=0.06,m=1 000,n=50T，計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表2 第二個(gè)算例的計(jì)算結(jié)果

再取S0=40,K=40,T=1,σ=0.4,r=0.06,m=1 000,n=50T，計(jì)算結(jié)果如表3所示.

表3 第三個(gè)算例的計(jì)算結(jié)果

最后，我們?nèi)0=42，K=40，T=2，σ=0.4，r=0.06，m=1 000，n=50T，計(jì)算結(jié)果如表4所示.

表4 第四個(gè)算例計(jì)算結(jié)果

通過(guò)對(duì)參數(shù)進(jìn)行不同選取，我們可以看出，選取不同的正交多項(xiàng)式作為基函數(shù)時(shí)其對(duì)得出的最終定價(jià)p和誤差e略有差異.綜合來(lái)看，勒讓德多項(xiàng)式(Legendre Polynomials)表現(xiàn)最好，第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev polynomials)表現(xiàn)較差.

本文主要討論使用最小二乘蒙特卡洛法(LSM)為美式期權(quán)定價(jià)時(shí)選取不同正交多項(xiàng)式作為基函數(shù)對(duì)最終結(jié)果的影響.首先，我們簡(jiǎn)單介紹了美式期權(quán)(為了簡(jiǎn)化模型而選用百慕大期權(quán)近似美式期權(quán))及最小二乘蒙特卡洛法(LSM).在給出算法后，我們計(jì)算不同正交多項(xiàng)式作為基函數(shù)下使用最小二乘蒙特卡洛法對(duì)美式期權(quán)定價(jià)的結(jié)果.值得注意的是本文所使用的B-S模型過(guò)于理想化，并不符合實(shí)際應(yīng)用計(jì)算.此外對(duì)于最小二乘法的改進(jìn)形式如偏最小二乘法、加權(quán)最小二乘法也可以作進(jìn)一步討論.